추상대수학, 그 스물여섯 번째 이야기 | 자유 아벨군 ( Free Abelian Group )

In this post, we will learn about what free abelian group is. Free abelian group is an abelian group which has a basis. If you learned linear algebra, you're probably familiar with the concept of basis. The concept of basis in group theory is similar to the concept of basis in linear algebra. So if you studied linear algebra, you'll easily understand the concept of free abelian group. First, look at the definition below.

이번 글에서는 자유 아벨군에 대한 이야기를 해보려 한다. 자유 아벨군은 기저를 갖는 아벨군을 말한다. 만약 지금 이 글을 읽고 있는 여러분이 선형대수를 공부해본 적이 있다면 아마 꽤 높은 확률로 기저의 개념에 익숙할 것이다. 군론에서의 기저의 개념 역시 선형대수에서의 그것과 크게 다르지 않다. 따라서 선형대수를 공부해본 사람이라면 이번 글을 좀 더 쉽게 이해할 수 있을 것이다. 그럼 이제 아래의 정의를 살펴보자.

 

Definition 1. Direct Sum

Let $\{ A_i \}_{i \in I}$ be a family of abelian groups. We define their direct sum $$ A = \underset{i \in I}{\bigoplus} A_i $$ to be the subset of the direct product $\prod A_i$ consisting of all families $\left( x_i \right)_{i \in I}$ with $x_i \in A_i$ such that $x_i = 0$ for all but a finite number of indices $i$. Then it is clear that $A$ is a subgroup of the product. For each index $j \in I$, we map $$ \lambda_j : A_j \to A $$ by letting $\lambda_j(x)$ be the element whose $j$-th component is $x$, and having all other components equal to $0$. Then $\lambda_j$ is an injective homomorphism. $\{ A_i \}_{i \in I}$가 아벨군의 집합족이라고 하자. 그러면 이들의 Direct Sum $$ A = \underset{i \in I}{\bigoplus} A_i $$은 유한 개의 첨수를 제외한 모든 $i \in I$에 대하여 $x_i = 0$을 만족하도록 하는 $x_i \in A_i$들의 순서쌍 $\left( x_i \right)_{i \in I}$를 원소로 가지는 direct product $\prod A_i$의 부분집합으로 정의된다. 그러면 $A$가 direct product의 부분군이 됨은 매우 자명하다. 각 첨수 $j \in I$에 대하여 사상 $$ \lambda_j : A_j \to A $$를 $\lambda_j(x)$가 $j$번째 성분이 $x$이고 나머지 성분은 $0$인 원소에 대응되도록 정의하자. 그러면 $\lambda_j$는 단사 homomorphism이 됨을 알 수 있다.

 

Theorem 1. 보편 성질 ( Universal Property )

Theorem 1. Universal Property

Let $\{ f_i : A_i \to B \}$ be a family of homomorphisms into an abelian group $B$. Let $A = \bigoplus A_i$. There exists a unique homomorphism $$ f : A \to B $$ such that $f \circ \lambda_j = f_j$ for all $j$. 아벨군 $B$로의 homomorphism의 집합 $\{ f_i : A_i \to B \}$가 주어졌다고 하고 $A = \bigoplus A_i$라고 하자. 그러면 모든 $j$에 대하여 $f \circ \lambda_j = f_j$가 되도록 하는 homomorphism $ f : A \to B $가 유일하게 존재한다.

 

Proof.

We can define a map $f : A \to B$ by the rule

$$ f((x_i)_{i \in I}) = \sum_{i \in I} f_i(x_i). $$

The sum on the right is actually finite since all but a finite number of terms are $0$. It is immediately verified that our map $f$ is a homomorphism. Furthermore, we clearly have $f \circ \lambda_j (x) = f_j (x)$ for each $j$ and each $x \in A_j$. Thus $f$ has the desired commutativity property. It is also clear that the map $f$ is uniquely determined, as was to be shown.

함수 $f : A \to B$를 다음과 같이 정의하자.

$$ f((x_i)_{i \in I}) = \sum_{i \in I} f_i(x_i) $$

우변의 합은 유한 개의 항을 제외하고는 모두 $0$이기 때문에 사실은 유한합임을 알 수 있다. 따라서 $f$가 homomorphism임은 그 즉시 알 수 있으며, 더 나아가서 $f \circ \lambda_j (x) = f_j (x)$가 임의의 $j$와 $x \in A_j$에 대하여 성립함이 자명하다. 따라서 $f$는 목표했던 가환성을 지니며, 이러한 $f$가 유일하게 결정된다는 것 역시 매우 자명하므로 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

The property expressed in Theorem 1 is called the universal property of the direct sum. If you want to know more about universal property, google what universal property is. If the index set $I$ is a finite set in the definition of the direct sum, depending on the context, the following definitions may be used.

위 정리에서 설명된 성질은 direct sum의 보편 성질이라고 불린다. 보편 성질에 대해 더 깊게 알고 싶다면 직접 찾아보는 걸 추천한다. 만약 direct sum의 정의에서 첨수 집합인 $I$가 유한 집합이라면, 문맥에 따라 아래의 정의를 사용하기도 한다.

 

Definition 2.

Let $A$ be an abelian group and $B$, $C$ subgroups. If $B+C = A$ and $B \cap C = \{ 0 \}$ then the map $$B \times C \to A$$ given by $\left( x , y \right) \mapsto x+y$ is an isomorphism. Instead of writing $A = B \times C$ we shall write $$ A = B \oplus C $$ and say that $A$ is the direct sum of $B$ and $C$. We use a similar notation for the direct sum of a finite number of subgroups $B_1,\cdots,B_n$ such that $$B_1 + B_2 + \cdots + B_n = A$$ and $$ B_{i+1} \cap \left( B_1 + B_2 + \cdots + B_i \right) = \{ 0 \}. $$ In that case we write $$ A= B_1 \oplus B_2 \oplus \cdots \oplus B_n. $$ $A$가 아벨군이고 $B$와 $C$가 그의 부분군이라고 하자. 만약 $B+C = A$이고 $B \cap C = \{ 0 \}$이라면 $\left( x , y \right) \mapsto x+y$로 주어지는 사상 $$ B \times C \to A $$이 $B \times C$와 $A$ 사이의 isomorphism이 된다. 이 경우에는 $A = B \times C$라고 쓰는 대신에 $$ A = B \oplus C $$와 같이 쓰며, $A$를 $B$와 $C$의 Direct Sum이라고 부른다. 이러한 노테이션은 유한 개의 부분집합 $B_1, \cdots, B_n$에 대하여 $$ B_1 + B_2 + \cdots + B_n = A $$와 $$ B_{i+1} \cap \left( B_1 + B_2 + \cdots + B_i \right) = \{ 0 \} $$이 성립하는 경우에도 $$ A = B_1 \oplus B_2 \oplus \cdots \oplus B_n $$와 같이 사용된다.

 

Definition 3. 기저와 자유 아벨군 ( Basis & Free Abelian Group )

Definition 3. Basis & Free Abelian Group

Let $A$ be an abelian group. Let $\{ e_i \}_{i \in I}$ be a family of elements of $A$. We say that this family is a basis for $A$ if the family is not empty, and if every element of $A$ has a unique expression as a linear combination $$ x = \sum x_i e_i $$ with $x_i \in \mathbb{Z}$ and $x_i = 0$ for all but a finite number of indices $i$. Thus the sum is actually a finite sum. An abelian group is said to be free if it has a basis. $A$가 아벨군이라고 하고 $\{ e_i \}_{i \in I}$가 $A$의 원소들만으로 이루어진 집합이라고 하자. 만약 이 집합이 공집합이 아니고 동시에 임의의 $A$의 원소에 대하여 해당 원소를 표현하는 $$ x = \sum x_i e_i $$꼴의 선형결합 표현이 유일할 때 이 집합 $\{ e_i \}_{i \in I}$을 $A$의 기저 ( Basis )라고 부른다. 이때, 선형결합 표현에서 계수 $x_i$는 모두 $\mathbb{Z}$의 원소이며, 유한한 개수의 첨수 $i$를 제외하고는 $x_i = 0$이어야 한다. 즉, $A$의 모든 원소는 $\{ e_i \}_{i \in I}$의 원소들의 유한합으로 표현 가능해야 한다. 기저를 가지는 아벨군을 자유 아벨군 ( Free Abelian Group )이라고 한다.

 

Theorem 2.

Let $A$ be a free abelian group and $\mathcal{B} = \{ b_i \}_{i \in I}$ be a basis of $A$. Then $A \cong \displaystyle \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$. $A$가 자유 아벨군이고 $\mathcal{B} =\{ b_i \}_{i \in I}$가 $A$의 기저라고 하자. 그러면 $A \cong \displaystyle \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$이다.

 

Proof.

Let $x \in A$ and $x = \displaystyle \sum_{i \in I} x_i b_i$ the linear combination presentation of $x$. Then $x_i = 0$ for all but a finite number of indices $i$. Thus $\left( x_i \right)_{i \in I}$ is an element of $\displaystyle \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$. Now we define a map $f : A \to \displaystyle \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$ as

$$ x = \sum_{i \in I} x_i b_i \mapsto \left( x_i \right)_{i \in I}. $$

Then it is immediately verified that $f$ is a homomorphism. Also it is obvious that $f$ is a one-to-one correspondence and $f$ is therefore an isomorphism. This proves the theorem.

$x \in A$라고 하고 $x = \displaystyle \sum_{i \in I} x_i b_i$가 $x$의 선형결합 표현이라고 하자. 그러면 유한 개의 첨수 $i$를 제외한 모든 $i$에 대하여 $x_i = 0$이므로 $\left( x_i \right)_{i \in I}$는 $\displaystyle \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$의 원소가 됨을 알 수 있다. 이제 사상 $f : A \to \displaystyle \bigoplus_{i \in I} \mathbb{Z}$를

$$ x = \sum_{i \in I} x_i b_i \mapsto \left( x_i \right)_{i \in I} $$

와 같이 정의하자. 그러면 $f$가 homomorphism이 됨은 그 즉시 보여지며 $f$가 일대일 대응이라는 것 역시 자명하다. 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Next we shall define the free abelian group generated by a set. Look at below.

이제 집합으로부터 생성된 자유 아벨군을 정의할 것이다. 아래를 보자.

 

Definition 4. 집합으로부터 생성된 자유 아벨군 ( Free Abelian Group Generated by Set )

Definition 4. The Free Abelian Group Generated by A Set

Let $S$ be a set. We shall define the free abelian group generated by $S$ as follows. Let $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$ be the set of all maps $\phi : S \to \mathbb{Z}$ such that $\phi(x) = 0$ for all but a finite number of elements $x \in S$. Then $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$ is an abelian group (addition being the usual addition of maps). If $k$ is an integer and $x$ is an element of $S$, we denote by $k \cdot x$ the map $\phi$ such that $\phi(x) = k$ and $\phi(y) = 0$ if $y \neq x$. Then it is obvious that every element $\phi$ of $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$ can be written in the form $$ \phi = k_1 \cdot x_1 + \cdots + k_n \cdot x_n $$ for some integers $k_i$ and elements $x_i \in S$, all the $x_i$ being distinct. Furthermore, $\phi$ admits a unique expression, because if we have $$ \phi = \sum_{x \in S} k_x \cdot x = \sum_{x \in S} k'_x \cdot x $$ then $$ 0 = \sum_{x \in S} \left( k_x - k'_x \right) \cdot x, $$ whence $k'_x = k_x$ for all $x \in S$. We shall denote $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$ also by $F_\mathrm{ab} (S)$, and call $F_\mathrm{ab} (S)$ the free abelian group generated by $S$. We call elements of $S$ its free generators. 집합 $S$가 주어졌다고 하자. 그러면 $S$로부터 생성된 자유 아벨군을 다음과 같이 정의한다. $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$를 유한 개의 $x \in S$를 제외한 모든 $x$에 대하여 $\phi(x) = 0$이 성립하도록 하는 함수 $\phi : S \to \mathbb{Z}$의 집합이라고 하자. 그러면 함수의 덧셈 연산 아래에서 $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$가 아벨군을 이룬다는 것을 알 수 있다. 만약 $k$가 정수이고 $x \in S$라면, $\phi(x) = k$이고 $x \neq y$이면 $\phi(y) = 0$인 함수 $\phi : S \to \mathbb{Z}$를 $k \cdot x$와 같이 나타낸다. 그러면 $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$의 모든 원소 $\phi$는 몇 개의 정수들 $k_i$와 서로 다른 $x_i \in S$들에 대하여 $$ \phi = k_1 \cdot x_1 + \cdots + k_n \cdot x_n $$과 같이 표현할 수 있음이 자명하다. 또한, 이러한 표현법은 유일한데, 만약 $$ \phi = \sum_{x \in S} k_x \cdot x = \sum_{x \in S} k'_x \cdot x $$라면, $$ 0 = \sum_{x \in S} \left( k_x - k'_x \right) \cdot x $$가 성립하므로 $k_x = k'_x$가 성립한다는 것을 그 즉시 알 수 있기 때문이다. 때때로 $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$를 $F_\mathrm{ab} (S)$와 같이 나타내기도 하며, $F_\mathrm{ab} (S)$를 $S$로부터 생성된 자유 아벨군 ( Free Abelian Group Generated by $S$ )이라고 한다. 또한, $S$의 원소들을 $F_\mathrm{ab} (S)$의 자유 생성자 ( Free Generator )라고 한다.

 

It is customary to identify $S$ in $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$, and we sometimes omit the dot when we write $k_x x$ or a sum $\sum k_x x$.

$\mathbb{Z} \! \left< S \right>$가 주어질 때 $S$를 식별하는 것은 상당히 어려운 작업이며, 때때로 원소들을 나타낼 때 $k_x x$나 $\sum k_x x$와 같이 점을 생략해서 나타내기도 한다.

 

Theorem 3.

Let $f_S$ be a mapping of $S$ into $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$ such that $f_S(x) = 1 \cdot x$. It is then clear that $f_S$ is injective, and that $f_S(S)$ generates $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$. If $g : S \to B$ is a mapping of $S$ into some abelian group $B$, then there exists a homomorphism $g_* : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to B$ such that $g_* \circ f_S = g$ and such homomorphism is unique. 함수 $f_S : S \to \mathbb{Z} \! \left< S \right>$를 $x \mapsto 1 \cdot x$로 정의하자. 그러면 $f_S$가 단사사상이며 $f_S(S)$가 $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$를 생성한다는 것이 자명하다. 이제 아벨군 $B$에 대하여 함수 $g : S \to B$가 주어졌다고 하자. 그러면 $g_* \circ f_S = g$를 만족하는 homomorphism $g_* : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to B$가 유일하게 존재한다.

 

Proof.

Let's define $g_* : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to B$ as

$$ g_* : \sum_{x \in S} k_x \cdot x \mapsto \sum_{x \in S} k_x g(x). $$

It is then clear that $g_*$ is a homomorphism and that $g_* \circ f_S = g$. Thus, such homomorphism exists and now only showing uniqueness of such homomorphism is remaining.

Now let's focus on the condition that $g_* \circ f_S = g$. We can rewrite $g_* \circ f_S = g$ to $g_*(1 \cdot x) = g(x)$. Since $g_*$ is a homomorphism and $f_S(S)$ generates $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$, such $g_*$ is unique, obviously.

사상 $g_* : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to B$를 다음과 같이 정의하자.

$$ g_* : \sum_{x \in S} k_x \cdot x \mapsto \sum_{x \in S} k_x g(x) $$

그러면 $g_*$가 homomorphism이고 $g_* \circ f_S = g$가 성립함은 분명하다. 따라서 조건을 만족하는 homomorphism은 존재하며, 이제 이러한 homomorphism의 유일성만을 보이면 정리가 증명된다.

이제 $g_* \circ f_S = g$라는 조건에 집중하자. $g_* \circ f_S = g$는 $g_* ( 1 \cdot x ) = g(x)$로 고쳐 쓸 수 있다. 이때 $g_*$가 homomorphism이고 $f_S(S)$가 $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$를 생성한다는 사실로부터 조건을 만족하는 $g_*$는 유일하다는 사실을 즉시 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

Theorem 4.

If $\lambda : S \to S'$ is a mapping of sets, there is a unique homomorphism $\bar{\lambda}$ making the following diagram commutative with the notation of the preceding theorem: 두 집합 사이의 사상 $\lambda : S \to S'$가 주어질 때, 위 정리에서의 노테이션 하에서 아래의 다이어그램이 가환이 되도록 하는 homomorphism $\bar{\lambda}$가 유일하게 존재한다. $$ \begin{CD} S @>f_S>> \mathbb{Z} \! \left< S \right> \\ @V{\lambda}VV @VV\bar{\lambda}V \\ S' @>>f_{S'}> \mathbb{Z} \! \left< S' \right> \end{CD} $$

 

Proof.

Let's define $\bar{\lambda} : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to \mathbb{Z} \! \left< S' \right>$ as

$$ \bar{\lambda} : \sum_{x \in S} k_x \cdot x \mapsto \sum_{x \in S} k_x ( f_{S'} \circ \lambda )(x). $$

Then it is obvious that $\bar{\lambda}$ is a homomorphism and that $f_{S'} \circ \lambda = \bar{\lambda} \circ f_S$. Thus, such homomorphism exists and now only showing uniqueness of such homomorphism is remaining.

Now let's focus on the condition that the diagram in the statement is commutative. We can rewrite the condition that the diagram in the statement is commutative to an equation $1 \cdot \lambda(x) = \bar{\lambda}(1 \cdot x)$. Suppose that a homomorphism $\underline{\lambda} : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to \mathbb{Z} \! \left< S' \right>$ also makes the diagram in the statement commutative. Then we can get $\underline{\lambda}(1 \cdot x) = 1 \cdot \lambda(x) = \bar{\lambda}(1 \cdot x)$ for every $x \in S$ and since $\{ 1 \cdot x \;|\; x \in S \}$ generates $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$ and $\bar{\lambda}$ and $\underline{\lambda}$ are homomorphisms, it is immediately verified that $\bar{\lambda} = \underline{\lambda}$. Therefore, the theorem is proved.

$\bar{\lambda} : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to \mathbb{Z} \! \left< S' \right>$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \bar{\lambda} : \sum_{x \in S} k_x \cdot x \mapsto \sum_{x \in S} k_x ( f_{S'} \circ \lambda )(x) $$

그러면 $\bar{\lambda}$가 homomorphism이고 $f_{S'} \circ \lambda = \bar{\lambda} \circ f_S$인 것은 자명하다. 따라서 조건을 만족하는 homomorphism은 존재하며, 이제 그러한 homomorphism이 유일하다는 것을 보이면 정리가 증명된다.

이제 위 다이어그램이 가환이라는 조건에 집중하자. 위 다이어그램이 가환이라는 조건은 $1 \cdot \lambda(x) = \bar{\lambda}(1 \cdot x)$라는 식으로 다시 쓸 수 있다. 이제 homomorphism $\underline{\lambda} : \mathbb{Z} \! \left< S \right> \to \mathbb{Z} \! \left< S' \right>$ 역시 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 임의의 $x \in S$에 대하여 $\underline{\lambda}(1 \cdot x) = 1 \cdot \lambda(x) = \bar{\lambda}(1 \cdot x)$가 성립함을 알 수 있으며, $\{ 1 \cdot x \;|\; x \in S \}$가 $\mathbb{Z} \! \left< S \right>$를 생성하고 $\bar{\lambda}$와 $\underline{\lambda}$가 homomorphism이므로 $\bar{\lambda} = \underline{\lambda}$인 것이 그 즉시 보여진다. 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Theorem 5.

Every abelian group $A$ is isomorphic to a factor group of a free abelian group $F$. If $A$ is finitely generated, show that one can select $F$ to be finitely generated also. 임의의 아벨군 $A$에 대하여 $A$와 $F$의 몫군이 isomorphic하도록 하는 자유 아벨군 $F$가 항상 존재한다. 만약 $A$가 유한생성군이면, $F$ 역시 유한생성군이 되도록 선택할 수 있다.

 

Proof.

Let $S$ be a generating set of $A$ and choose a set $T$ and a surjective map $g : T \to S$. Now define a homomorphism $g_* : \mathbb{Z} \! \left< T \right> \to A$ as

$$ g_* : \sum_{t \in T} k_t \cdot t \mapsto \sum_{t \in T} k_t g(t). $$

Since $g$ is surjective and $S$ generates $A$, $g_*$ is also surjective. Therefore, $A \cong \mathbb{Z} \! \left< T \right> / \operatorname{ker} g_*$ by the first isomorphism theorem for groups. The second assertion is obvious since if $A$ is finitely generated, we can choose finite sets $S$ and $T$.

$S$를 $A$의 생성 집합이라 하고, 전사함수 $g : T \to S$가 존재하도록 하는 집합 $T$를 생각하자. 이제 homomorphism $g_* : \mathbb{Z} \! \left< T \right> \to A$를 다음과 같이 정의하자.

$$ g_* : \sum_{t \in T} k_t \cdot t \mapsto \sum_{t \in T} k_t g(t) $$

$g$가 전사함수이고 $S$가 $A$를 생성한다는 것으로부터 $g_*$ 역시 전사함수임을 알 수 있다. 따라서 군에서의 제1동형 정리에 의해 $A \cong \mathbb{Z} \! \left< T \right> / \operatorname{ker} g_*$임을 알 수 있다. 또한, $A$가 유한생성군이라면 유한집합인 $S$와 $T$를 고를 수 있으므로 $\mathbb{Z} \! \left< T \right>$ 역시 유한생성군이 된다.

$\blacksquare$

 

Given an abelian group $A$ and a subgroup $B$, it is sometimes desirable to find a subgroup $C$ such that $A = B \oplus C$. The next lemma gives us a condition under which this is true.

아벨군 $A$와 그의 부분군 $B$가 주어질 때, $A = B \oplus C$가 되도록 하는 부분군 $C$를 얻기 쉬울 때가 있다. 아래는 어떤 조건 아래에서 그러한지를 알려주는 보조정리이다.

 

Theorem 6.

Let $f : A \to A'$ be a surjective homomorphism of abelian groups, and assume that $A'$ is free. Let $B$ be the kernel of $f$. Then there exists a subgroup $C$ of $A$ such that the restriction of $f$ to $C$ induces an isomorphism of $C$ with $A'$, and such that $A = B \oplus C$. 두 아벨군 사이의 homomorphism $f : A \to A'$가 전사함수이고 $A'$이 자유 아벨군이라고 하자. $B$를 $f$의 kernel이라고 하면 $f$의 $C$로의 축소가 $C$에서 $A'$으로 가는 isomorphism이 되도록 하면서 $A = B \oplus C$인 $A$의 부분군 $C$가 존재한다.

 

Proof.

Let $\{ x'_i \}_{i \in I}$ be a basis of $A'$, and for each $i \in I$, let $x_i$ be an element of $A$ such that $f(x_i) = x'_i$. Let $C$ be the subgroup of $A$ generated by all elements $x_i$, $i \in I$. If we have a relation

$$ \sum_{i \in I} n_i x_i = 0 $$

with integers $n_i$, which are equal to $0$ for all but a finite number of indices $i \in I$, then applying $f$ yeilds

$$ 0 = \sum_{i \in I} n_i f(x_i) = \sum_{i \in I} n_i x'_i $$

hence all $n_i = 0$. So our family $\{ x_i \}_{i \in I}$ is a basis of $C$. Similarly, one sees that if $z \in C$ and $f(z) = 0$ then $z = 0$. Hence $B \cap C = \{ 0 \}$. Let $x \in A$. Since $f(x) \in A'$, there exists integers $n_i$, $i \in I$, such that

$$ f(x) = \sum_{i \in I} n_i x'_i. $$

Applying $f$ to $x - \displaystyle \sum_{i \in I} n_i x_i$, we find that this element lies in the kernel of $f$, say $x - \displaystyle \sum_{i \in I} n_i x_i \in B$. From this we see $x \in B+C$, and hence finally that $A = B \oplus C$ is a direct sum, as contended.

$\{ x'_i \}_{i \in I}$를 $A'$의 기저라고 하고 각 $i \in I$에 대하여 $x_i$를 $f(x_i) = x'_i$인 $x_i \in A$라고 하자. 이제 $C$를 $x_i$들로부터 생성된 $A$의 부분군이라고 하자. 만약 유한 개를 제외한 모든 것이 $0$인 정수 $n_i$들에 대하여 $\displaystyle \sum_{i \in I} n_i x_i = 0$이 성립한다면, $0 = \displaystyle \sum_{i \in I} n_i f(x_i) = \sum_{i \in I} n_i x'_i$임을 알 수 있으며, 따라서 모든 $n_i$는 $0$이다. 따라서 $\{ x_i \}_{i \in I}$는 $C$의 기저임을 알 수 있다. 비슷한 방법으로, $z \in C$이고 $f(z) = 0$이면 $z = 0$임을 알 수 있으며, 따라서 $B \cap C = \{ 0 \}$이다. 이제 $x \in A$라고 하자. $f(x) \in A'$이므로 $f(x) = \sum_{i \in I} n_i x'_i$가 성립하도록 하는 정수 $n_i$들이 존재한다. 함수 $f$를 $x - \displaystyle \sum_{i \in I} n_i x_i$에 적용하면, 이 원소가 $f$의 kernel의 원소가 됨을 알 수 있다. 즉, $x - \displaystyle \sum_{i \in I} n_i x_i \in B$이다. 이로부터 $x \in B+C$임을 알 수 있으며, 따라서 $A = B \oplus C$이다.

$\blacksquare$

Theorem 7.

Let $A$ be a free abelian group, and let $B$ be a subgroup. Then $B$ is also a free abelian group. 자유 아벨군 $A$와 그의 부분군 $B$가 주어졌다고 하자. 그러면 $B$ 역시 자유 아벨군이다.

 

Proof.

Let $X$ be a set of every subset $S$ of $B$ such that $S$ is a basis of $\left< S \right>$. Since $A$ is free abelian, there exists an element $b \in B$ such that $\left< b \right> \cong \mathbb{Z}$ so $X$ is nonempty.

Now let $T \in X$ be a maximal element of $X$. Then $T$ is a basis of $\left< T \right>$. If $B / \left< T \right>$ is a trivial group, then $B = \left< T \right>$ so $B$ is a free abelian group. Now suppose that $B / \left< T \right>$ is not trivial. Then there exists an element $x \in B$ such that $x \notin \left< T \right>$ and $\{ m \in \mathbb{Z} \;|\; mx \in \left< T \right> \}$ is either $\{ 0 \}$ or $n\mathbb{Z}$ for some integer $n>1$. If $\{ m \in \mathbb{Z} \;|\; mx = \left< T \right> \} = \{ 0 \}$, then $\{ x \} \cup T$ is a basis of $\left< x \right> + \left< T \right>$, obviously, and this contradicts the maximality of $T$. Thus, $\{ m \in \mathbb{Z} \;|\; mx = \left< T \right> \}$ must be $n\mathbb{Z}$ for some integer $n > 1$. This means that $nx = \displaystyle \sum_{t \in T} m_t t$ for some integers $m_t$, $t \in T$ such that $m_t = 0$ for all but a finite number of elements $t \in T$. So we can take an elemtn $t_0 \in T$ such that $m_{t_0} \neq 0$ since $nx \neq 0$ (because $A$ is free abelian). It is then clear that $\left< nx \right> + \left< T \setminus \{ t_0 \} \right> = \left< T \right>$. Thus makes $\{ x \} \cup \left( T \setminus \{ t_0 \} \right)$ be a maximal element of $X$. So by the well-ordering theorem and the transfinite induction, we can construct a maximal element $T'$ of $X$ which generates $B$.

Hence, if a maximal element of $X$ exists, $B$ is a free abelian group, clearly. By the Zorn's lemma, if every chain in $X$ has an upper bound in $X$, $X$ always has a maximal element. So if we show that $\bigcup \mathcal{C} \in X$ for any chains $\mathcal{C}$ in $X$, the theorem will be proved.

Now let $\mathcal{C}$ be a chain in $X$. Fix an element $x \in \left< \bigcup \mathcal{C} \right>$. Then $x$ has an expression as a linear combination $x = \displaystyle \sum_{i \in \bigcup \mathcal{C}} m_i i$ with $m_i \in \mathbb{Z}$ and $m_i = 0$ for all but a finite number of elements $i \in \bigcup \mathcal{C}$. Now $x = \displaystyle \sum_{i \in \bigcup \mathcal{C}} m_i i = \sum_{i \in \bigcup \mathcal{C}} m'_i i$ with $m_i, m'_i \in \mathbb{Z}$ and $m_i = m'_i = 0$ for all but a finite number of elements $i \in \bigcup \mathcal{C}$. Now define a set $S = \{ i \in \bigcup \mathcal{C} \;|\; m_i \neq 0 \lor m'_i \neq 0 \}$ and $\mathcal{D}$ a subset of $\mathcal{C}$ such that each element of $\mathcal{D}$ has $S$ as a subset. Then $\mathcal{D}$ has a minimum element $M \in \mathcal{D}$ since $\mathcal{C}$ is a chain in $X$. Since $M$ is an element of $X$, $M$ is a basis of $\left< M \right>$ and, hence, $m_i = m'_i$ for every $i \in \bigcup \mathcal{C}$ by the fact that $S \subseteq M$ and the definition of $S$. Hence, $x$ has a unique expression as a linear combination. Since the choice of $x \in \left< \bigcup \mathcal{C} \right>$ is arbitrary, $\bigcup \mathcal{C}$ is a basis of $\left< \bigcup \mathcal{C} \right>$ and $\bigcup \mathcal{C}$ is therefore an element of $X$.

Therefore, every chain in $X$ has an upper bound so $B$ is a free abelian group.

Now we shall prove the second assertion. Let $\mathcal{A}$ be a basis of $A$ and $\mathcal{B}$ be a basis of $B$.

집합 $X$를 $S$가 $\left< S \right>$의 기저가 되도록 하는 $B$의 부분집합 $S$들의 집합으로 정의하자. $A$가 자유 아벨군이므로 $\left< b \right> \cong \mathbb{Z}$이도록 하는 $b \in B$가 존재하며, 따라서 $X$는 공집합이 아니다.

이제 $T \in X$가 $X$의 극대원소라고 가정하자. 그러면 $T$는 $\left< T \right>$의 기저이다. 만약 $B / \left< T \right>$가 자명군이라면, $B = \left< T \right>$이므로 $T$가 $B$의 기저가 되어 $B$가 자유 아벨군이 된다. 이번엔 $B / \left< T \right>$가 자명군이 아니라고 가정하자. 그러면 $x \notin \left< T \right>$인 $x \in B$가 존재하며, $\{ m \in \mathbb{Z} \;|\; mx \in \left< T \right> \}$는 $\{ 0 \}$이거나 어떤 정수 $n > 1$에 대하여 $n \mathbb{Z}$이다. 만약 $\{ m \in \mathbb{Z} \;|\; mx \in \left< T \right> \} = \{ 0 \}$이라면, $\{ x \} \cup T$가 $\left< x \right> + \left< T \right>$의 기저가 되므로 $T$가 $X$의 극대원소라는 사실에 모순이 발생한다. 따라서 $\{ m \in \mathbb{Z} \;|\; mx \in \left< T \right> \}$는 어떤 정수 $n > 1$에 대하여 $n\mathbb{Z}$이다. 이는 곧 $nx = \displaystyle \sum_{t \in T} m_t t$이고 유한 개의 $t$를 제외한 모든 $t \in T$에 대하여 $m_t = 0$이도록 하는 정수들 $m_t$가 존재함을 의미한다. 이때 $x \neq 0$이므로 $m_{t_0} \neq 0$이도록 하는 $t_0 \in T$가 존재하며, $\left< nx \right> + \left< T \setminus \{ t_0 \} \right> = \left< T \right>$임이 자명하다. 따라서 $\{ x \} \cup \left( T \setminus \{ t_0 \} \right)$가 $X$의 극대원소가 된다. 그러므로 정렬 정리와 초한 귀납법에 의해 $B$를 생성하는 $X$의 극대원소 $T'$을 구성할 수 있다.

따라서 $X$의 극대원소가 존재하면 $B$가 자유 아벨군임을 알 수 있다. 이때, 초른 보조정리에 의해 $X$의 모든 사슬이 상계를 가지면 $X$의 극대원소가 존재하므로 $X$의 임의의 사슬 $\mathcal{C}$에 대하여 $\bigcup \mathcal{C} \in X$가 성립한다면 정리가 증명된다.

이제 $\mathcal{C}$를 $X$의 사슬이라고 하고 원소 $x \in \left< \bigcup \mathcal{C} \right>$를 고정하자. 그러면 $x$는 유한 개의 $i$를 제외한 모든 $i \in \bigcup \mathcal{C}$에 대하여 $m_i = 0$이고 $x = \displaystyle \sum_{i \in \bigcup \mathcal{C}} m_i i$가 성립하도록 하는 정수 $m_i \in \mathbb{Z}$가 존재한다. 이제 $x$의 두 선형결합 표현 $x = \displaystyle \sum_{i \in \bigcup \mathcal{C}} m_i i = \sum_{i \in \bigcup \mathcal{C}} m'_i i$를 생각하고 집합 $S$를 $S = \{ i \in \bigcup \mathcal{C} \;|\; m_i \neq 0 \lor m'_i \neq 0 \}$와 같이 정의하고 $S$를 부분집합으로 가지는 집합들로만 이루어진 $\mathcal{C}$의 부분집합을 $\mathcal{D}$라고 하자. 그러면 $\mathcal{C}$가 사슬이라는 사실로부터 $\mathcal{D}$는 최소원소 $M$을 가진다는 것을 알 수 있으며, $M \in X$이므로 $M$은 $\left< M \right>$의 기저임을 알 수 있다. 따라서 $S \subseteq M$이라는 사실과 $S$의 정의로부터 임의의 $i \in \bigcup \mathcal{C}$에 대하여 $m_i = m'_i$가 성립함을 알 수 있다. 따라서 $x$의 선형결합 표현은 유일하게 존재하며, $x \in \left< \bigcup \mathcal{C} \right>$의 선택이 임의적이므로 $\bigcup \mathcal{C}$는 $\left< \bigcup \mathcal{C} \right>$의 기저이다.

따라서 $X$의 모든 사슬은 상계를 가지며, 이로 인해 $B$는 자유 아벨군이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 8.

Let $G$ be a free abelian group. Any two bases of $G$ have the same cardinality. 자유 아벨군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 임의의 두 기저는 같은 기저를 가진다.

 

Proof.

If $G$ has a finite basis $X = \{ x_1, x_2, \cdots, x_n \}$, then $G \cong \displaystyle \bigoplus_{i=1}^n \mathbb{Z}$ so $G / 2G \cong \left( \displaystyle \bigoplus_{i=1}^n \mathbb{Z} \right) / \left( \bigoplus_{i=1}^n 2\mathbb{Z} \right) \cong \bigoplus_{i=1}^n \left( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \right)$ and thus $\lvert G/2G \rvert = 2^n = 2^{\lvert X \rvert}$. Hence every finite basis of $G$ has the same cardinality. Now show that if $G$ has a finite basis, then there is no infinite basis of $G$. Let $X = \{ x_1, x_2, \cdots, x_n \}$ and $Y$ be a basis of $G$ and a finite set $\{ y_1, y_2, \cdots, y_s \}$ be a subset of $Y$. Let $H = \left< y_1, y_2, \cdots, y_s \right>$ and $K = \left< Y \setminus \{ y_1, y_2, \cdots, y_s \} \right>$ then it is clear that $G = H \oplus K$ so $G/2G = \left( H \oplus K \right) / \left( 2H \oplus 2K \right) \cong (H/2H) \oplus (K/2K)$. Thus makes $H/2H$ be a subgroup of $G/2G$ and, hence, $2^s = \lvert H/2H \rvert \leq \lvert G/2G \rvert = 2^n$. so it is obvious that $s \leq n$. Therefore, $Y$ is not an infinite set so if $G$ has a finite basis, then every basis of $G$ has the same cardinality.

Now suppose that $G$ has an infinite basis. Let $B_1$ and $B_2$ be two bases of $G$. Then $B_1$ and $B_2$ are infinite by the fact that there is no infinite basis of a free abelian group which has a finite basis as shown above. Now let $\mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1)$ be the set of the finite sets of $B_1$ and a map $f : B_2 \to \mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1)$ send an element $b \in B_2$ to the smallest set $U \in \mathcal{P}_\mathrm{fin}(B_1)$ such that $b \in \left< U \right>$. Then since every finite basis of a free abelian group has the same cardinality, $f^{-1}(U)$ is finite for every $U \in \mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1)$ thus makes $\lvert B_2 \rvert \leq \aleph_0 \times \lvert \mathcal{P}_\mathrm{fin}(B_1) \rvert = \aleph_0 \times \lvert B_1 \rvert = \lvert B_1 \rvert$. In the same way, we can show that $\lvert B_1 \rvert \leq \lvert B_2 \rvert$. By the Cantor-Bernstein theorem, $\lvert B_1 \rvert = \lvert B_2 \rvert$ and therefore the theorem is proved.

만약 $G$가 유한 기저 $X = \{ x_1, x_2, \cdots, x_n \}$를 가진다면, $G \cong \displaystyle \bigoplus_{i \in I}^n \mathbb{Z}$이며, 이로 인해 $G/2G \cong \left( \displaystyle \bigoplus_{i \in I}^n \mathbb{Z} \right) / \left( \bigoplus_{i \in I}^n 2\mathbb{Z} \right) \cong \bigoplus_{i \in I}^n \left( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \right)$임을 알 수 있고, 따라서 $\lvert G/2G \rvert = 2^n = 2^{\lvert X \rvert}$임을 알 수 있다. 따라서 $G$의 모든 유한 기저의 기수는 같다. 이제 $G$가 유한 기저를 가지면, $G$의 무한 기저가 존재하지 않는다는 것을 보이자. 유한집합 $X = \{ x_1, x_2, \cdots, x_n \}$와 집합 $Y$가 $G$의 기저이고 유한집합 $\{ y_1, y_2, \cdots, y_s \}$가 $Y$의 부분집합이라고 하자. 이제 $H = \left< y_1, y_2, \cdots, y_s \right>$이고 $K = \left< Y \setminus \{ y_1, y_2, \cdots, y_s \} \right>$라고 하면 $G = H \oplus K$임은 자명하다. 따라서 $G/2G = \left( H \oplus K \right) / \left( 2H \oplus 2K \right) \cong (H/2H) \oplus (K/2K)$임을 알 수 있다. 따라서 $H/2H$가 $G/2G$의 부분군이 되며, 이로 인해 $2^s = \lvert H/2H \rvert \leq \lvert G/2G \rvert 2^n$을 얻을 수 있다. 즉, $s \leq n$이 성립한다. 따라서 $Y$는 무한집합이 될 수 없으며, 따라서 $G$의 무한 기저는 존재하지 않는다.

이번엔 $G$가 무한 기저를 가진다고 가정하자. 그러면 위에서 보인 사실에 의해 $G$의 두 기저 $B_1$과 $B_2$는 무한집합이다. 이제 $\mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1)$을 $B_1$의 모든 유한 부분집합의 집합으로 정의하고 사상 $f : B_2 \to \mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1)$를 $b \in B_2$를 $b \in \left< U \right>$가 성립하도록 하는 가장 작은 집합 $U \in \mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1)$로 대응되는 사상으로 정의하자. 그러면 자유 아벨군의 모든 유한 기저가 같은 기수를 가진다는 사실에 의해 임의의 $U \in \mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1)$에 대하여 $f^{-1} (U)$가 유한집합임을 알 수 있다. 따라서 $\lvert B_2 \rvert \leq \aleph_0 \times \lvert \mathcal{P}_\mathrm{fin} (B_1) \rvert = \aleph_0 \times \lvert B_1 \rvert = \lvert B_1 \rvert$가 성립하며, 같은 방법으로 $\lvert B_1 \rvert \leq \lvert B_2 \rvert$임을 보일 수 있다. 따라서 칸토어-베른슈타인 정리에 의해 $\lvert B_1 \rvert = \lvert B_2 \rvert$이며, 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

The theorem above gives us the concept like dimension of a free abelian group. The number of elements in a basis of a free abelian group $A$ will be called the rank of $A$.

Moreover, free abelian groups have many other properties, but the rest is omitted for concison and if the properties not introduced in this post are used in other posts to be written later, we will prove them in those posts.

위의 정리는 우리에게 자유 아벨군에 일종의 차원과 비슷한 개념을 부여할 수 있음을 알려준다. 자유 아벨군의 기저의 원소의 개수를 우리는 자유 아벨군의 계수 ( Rank )라고 부른다.

이 외에도 자유 아벨군은 많은 성질들을 가지지만, 분량상 나머지는 생략했으며, 이후 작성하게 될 글들에서 이번 글에서 소개하지 않은 성질을 사용할 경우, 해당 글에서 증명하도록 하겠다.