추상대수학, 그 열네 번째 이야기 | 순환군 ( Cyclic Group )

이번 글은 순환군이라고 불리는 대수 구조에 대해 이야기할 것이다. 순환군에 대한 이야기를 하기에 앞서, 오늘 서술할 내용에 사용될 개념들을 먼저 정의하도록 하겠다.

 

Definition 1. 군의 위수 ( Order of Group )

군 $G$에 대하여, $G$의 집합으로서의 기수 $\lvert G \rvert$를 군 $G$의 위수 ( Order )라고 한다.

 

Definition 2. 순환부분군 ( Cyclic Subgroup )

어떤 군 $G$와 $G$의 원소 $a$가 주어졌다고 하자. 이때, 다음과 같이 정의되는 집합 $\left< a \right>$를 $a$를 생성원 ( Generator )으로 가지는 $G$의 순환부분군이라고 한다. $$ \left< a \right> = \{ a^n \;|\; n \in \mathbb{Z} \} $$

 

위와 같이 정의되는 순환부분군에는 아주 중요한 성질이 하나 있다. 다음 정리를 보자.

 

Theorem 1.

임의의 군 $G$와 그의 원소 $a$에 대하여, 순환부분군 $\left< a \right>$는 $G$의 부분군이다.

 

Proof.

$e = a^0$이므로 $e \in \left< a \right>$이다.

또한, 임의의 정수 $n,m \in \mathbb{Z}$에 대하여 $a^n a^m = a^{n+m} \in \left< a \right>$이다.

또한, 임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대하여 $(a^n)^{-1} = a^{-n} \in \left< a \right>$이다.

따라서 $\left< a \right>$는 $G$의 부분군이다.

$\blacksquare$

 

위 정의 덕에 순환군의 정의가 정당성을 얻는다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 3. 순환군 ( Cyclic Group )

스스로의 순환부분군이 되는 군 $G$를 순환군 ( Cyclic Group )이라고 한다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 $a \in G$가 존재한다면, $G$를 순환군이라고 한다. $$ G = \left< a \right> $$

 

이제 이 글의 주제인 순환군이 정의되었으므로 이제 순환군의 성질에 대해 알아보자.

 

Definition 4. 원소의 위수 ( Order of Element )

군 $G$와 그의 원소 $a$가 주어졌다고 하자. 그러면 $a$의 위수 ( Order ) $\operatorname{ord} a$는 다음과 같이 정의된다. $$ \operatorname{ord} a = \lvert \left< a \right> \rvert $$

 

Theorem 2.

위수가 $n > 1$인 군 $G$의 원소 $a \neq e$에 대하여, $a$의 위수 $d = \operatorname{ord} a$는 언제나 $n$의 약수이다. 더 나아가서, 만약 $n$이 소수라면, $G$가 순환군이며, $G = \left< a \right>$이다.

 

Proof.

Theorem 1에 의해 $\left< a \right>$는 $G$의 부분군이다. 따라서 Lagrange's Theorem에 의해 $\lvert \left< a \right> \rvert | n$이 성립하며, $d = \lvert \left< a \right> \rvert$이므로 $d | n$이 성립한다.

만약 $G$의 위수가 소수 $p$라면, $d | p$로부터 $d$는 $1$ 또는 $p$임을 알 수 있다. 이때, $a \neq e$로부터 $\left< a \right> \neq \{ e \}$임을 알 수 있으며, 따라서 $d \neq 1$임을 알 수 있다.

그러므로 $d = p$가 성립하며, $\left< a \right> \leq G$와 $\lvert \left< a \right> \rvert = \lvert G \rvert$, 그리고 $G$가 유한군이라는 사실로부터 $\left< a \right> = G$임을 알 수 있다.

따라서 $G$의 위수가 소수이면 $G$는 순환군이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 3.

두 군 $G$, $G'$이 isomorphic하다고 하자. 이때, $G$가 순환군이라면, $G'$ 역시 순환군이다.

 

Proof.

$G$가 순환군이므로 $G = \left< a \right>$이도록 하는 $a \in G$가 존재한다. 또한, $G$와 $G'$이 isomorphic하므로 isomorphism $\phi : G \to G'$가 존재한다.

따라서 임의의 $x \in G'$에 대하여 $\phi(a^n) = x$가 성립하도록 하는 정수 $n \in \mathbb{Z}$이 존재한다.

즉, $x = \phi(a^n) = \phi(a)^n$이 성립하며, 따라서 $G' = \left< \phi(a) \right>$가 성립한다.

따라서 $G'$은 순환군이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 4.

가환군 $\left< \mathbb{Z}, + \right>$의 모든 부분군은 순환군이다.

 

Proof.

자명 부분군의 경우, 순환군임이 자명하므로 비자명 부분군에 대해서만 생각해도 충분하다.

$\mathbb{Z}$의 비자명 부분군 $H$를 생각하자.

그러면 $H$는 항상 적어도 하나 이상의 양의 정수를 원소로 가지므로 $H$의 양의 정수인 원소들의 최솟값 $n$이 존재한다.

이제 임의의 정수 $m \in H$를 생각하자. 그러면 나눗셈 정리에 의해 $m = nq + r \land 0 \leq r < n$이 성립하는 두 정수 $n,r$이 존재한다.

이때, $nq \in H$임은 자명하므로 $r = m - nq \in H$이다.

그런데, $n$이 $H$의 양의 정수인 원소 중 가장 작은 정수이므로 $r$이 양수라면 모순이다.

따라서 $r = 0$이며, 따라서 $n | m$이다. 즉, $H = n\mathbb{Z}$이다.

이때, $\phi : \mathbb{Z} \to n\mathbb{Z}$를 $\phi : a \mapsto na$로 정의하면 $\phi$가 isomorphism임을 쉽게 확인할 수 있으므로 $\mathbb{Z}$와 $n\mathbb{Z}$는 isomorphic하다.

따라서 Theorem 3에 의해 $n\mathbb{Z}$ 역시 순환군이며, 이로 인해 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Theorem 5.

순환군 $G$의 모든 부분군 $H$는 순환군이다. 또한, $f : G \to G'$가 group-homomorphism이라면, $f(G)$ 역시 순환군이다.

 

Proof.

먼저, $f(G)$가 순환군임을 보이자. $G$의 생성원 $a$에 대해 다음이 성립하므로 $f(G)$는 순환군이다.

$$f(G) = \{ f(a^n) \;|\; n \in \mathbb{Z} \} = \{ f(a)^n \;|\; n \in \mathbb{Z} \} = \left< f(a) \right>$$

이제 $G$의 부분군 $H$가 순환군임을 보이자.

$G$의 생성원이 $a$이므로 $\phi(n) = a^n$인 함수 $\phi : \mathbb{Z} \to G$는 Epimorphism이다.

이때, 역상 $\phi^{-1}(H)$를 생각하면, $\phi^{-1}(H)$는 $\mathbb{Z}$의 부분군임을 쉽게 알 수 있다.

따라서 Theorem 4에 의해 $\phi^{-1}(H)$는 순환군임을 알 수 있으며, 순환군으로부터의 group-homomorphism의 상이 순환군임을 위에서 보였으므로 $H$ 역시 순환군임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

위 정리 덕에 순환군과 isomorphic한 군은 모두 순환군임을 알 수 있다. 그런데, 이 순환군이라는 개념이 왜 중요한 것일까? 아래 정리를 보자.

 

Theorem 6.

순환군 $G$가 무한군이라면 $\mathbb{Z}$와 isomorphic하며, 순환군 $G$가 위수 $n$의 유한군이라면 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$와 isomorphic하다.

 

Proof.

먼저, $G$가 무한군인 경우를 살펴보자. $G$가 순환군이므로 $G$는 생성원 $a \in G$를 가진다.

이제 $f : \mathbb{Z} \to G$를 $f : n \mapsto a^n$와 같이 정의하자.

그러면 $f$가 isomorphism임을 쉽게 보일 수 있으며, 따라서 $G$는 $\mathbb{Z}$와 isomorphic하다.

이제 $G$가 위수 $n$인 유한군이라고 하고, $a \in G$를 $G$의 생성원이라고 하자.

이번에도 $f : \mathbb{Z} \to G$를 $f : n \mapsto a^n$과 같이 정의하자.

그러면 $f$가 epimorphism이 됨은 쉽게 보일 수 있다.

또한, $G$의 위수가 $n$이라는 사실로부터 $a^n = e$임을 알 수 있으며, 따라서 $n\mathbb{Z} \subseteq \text{ker}f$임을 알 수 있다.

임의의 정수 $m$에 대하여, 나눗셈 정리에 의해 $m = nq + r \land 0 \leq r < n$을 만족하는 두 정수 $q,r \in \mathbb{Z}$이 존재하므로, $m \in \text{ker}f \Rightarrow r \in \text{ker}f \Rightarrow r = 0 \Rightarrow n | m$임을 알 수 있다. 즉, $\text{ker}f \subseteq n\mathbb{Z}$가 성립한다.

따라서 $\text{ker} f = n\mathbb{Z}$이며, 이제 여기에 군에서의 제1동형 정리를 적용하면, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong G$임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

위 정리는 상당히 중요한 의미를 가지는데, 위 정리 덕에 우리는 대수구조를 다루다가 순환군 구조를 발견하면 해당 구조에 정수론의 정리들을 사용할 수 있게 된다. 즉, 위 정리는 대수학의 일부를 정수론에 통합시킬 수 있다는 엄청난 의미를 가진다.

 

※ 2022.02.13 추가내용

Definition 5. 군의 지수 ( Exponent of Group )

군 $G$에 대하여 $G$의 지수 $\operatorname{exp} G$는 다음과 같이 정의된다. $$ \operatorname{exp} G = \begin{cases} \underset{x \in G}{\operatorname{lcm}} \left( \operatorname{ord} x \right) & \mbox{if } \exists n \in \mathbb{Z} \text{ s.t. } \forall x \in G ,\; x^n = e \\ \infty & \mbox{otherwise} \end{cases} $$물론, 위에서 $e$는 $G$의 항등원을 나타낸다.

 

※ 2022.02.25 추가내용

Definition 6. 유한생성군 ( Finitely Generated Group )

군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 부분집합 $S$가 다음을 만족하면 $S$를 $G$의 생성 집합 ( Generating Set )이라고 한다. $$ \forall g \in G, \; \exists n \in \mathbb{Z} \text{ s.t. } \exists s_1, s_2, \cdots, s_n \in \{ x \;|\; x \in S \lor x^{-1} \in S \} \text{ s.t. } g = s_1 s_2 \cdots s_n $$ 또한, 위와 같은 경우 $G = \left< S \right>$와 같이 표기한다. 만약 $S = \{ s_1, s_2, \cdots, s_n \}$가 유한집합이라면 $G = \left< s_1, s_2, \cdots, s_n \right>$와 같이 나타내기도 한다. 만약 군 $G$가 유한한 생성 집합을 가지면, $G$를 유한생성군 ( Finitely Generated Group )이라고 한다.