추상대수학, 그 네 번째 이야기 | 이항구조에서의 Homomorphism과 Isomorphism ( Homomorphism and Isomorphism for Group-Like Structures )

이번 글에서는 두 이항구조가 '대수적으로 동일한' 이항구조인지 판단하는 기준에 대해 알아볼 것이다. 이 기준에 대해 명확하게 이해하기 위해서는 우선 homomorphism이 무엇인지 알아야 한다. 이것을 먼저 정의하도록 하자. 추상대수학에서는 homomorphism을 다음과 같이 정의한다.

 

두 이항구조 $⟨S,\ast ⟩$와 $⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$에 대해 다음 명제가 성립하도록 하는 함수 $\varphi :S\to S^{\prime }$를 $S$에서 $S^{\prime }$으로 가는 Homomorphism이라고 부른다. $$\mathrm{\forall }a,b\in S,\varphi (a\ast b)=\varphi (a){\ast }^{\prime }\varphi (b)$$

 

이때, 각 이항구조의 이항연산을 명시적으로 쓰지 않는다면, $\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)$와 같이 쓸 수 있다. 이때, 좌변과 우변에서 표기를 생략한 연산은 서로 다른 연산임에 주의하자.

 

이제 위에서 정의한 homomorphism에 한 가지 조건을 추가하면 isomorphism이라는 것을 정의할 수 있다. isomorphism의 정의는 다음과 같다.

 

이항구조 $⟨S,\ast ⟩$에서 이항구조 $⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$으로 가는 homomorphism $\varphi :S\to S^{\prime }$가 전단사함수라면 $\varphi$를 $S$에서 $S^{\prime }$으로 가는 Isomorphism이라고 하며, 두 이항구조 $⟨S,\ast ⟩$와 $⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$이 Isomorphic하다고 한다. 두 이항구조 $⟨S,\ast ⟩$와 $⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$이 isomorphic할 때 다음과 같이 쓴다. $$S\cong S^{\prime }$$

 

위 정의를 보면 임의의 이항구조 $⟨S,\ast ⟩$에 대해 $S\cong S$가 성립함은 자명하며, $\cong$가 일종의 동치관계임을 알 수 있다. 또한, 이 동치관계에 대한 동치류를 Isomorphism Class라고 부른다.

 

두 이항구조가 isomorphic하다는 말을 직관적으로 설명하자면, 두 이항구조의 연산이나 원소가 다른 대상이라고 하더라도 그 구조로부터 나오는 성질이 그대로 유지된다는 뜻이다. 예를 들어보면, 다음 명제가 성립한다.

 

Theorem 1.

두 이항구조 $⟨S,\ast ⟩$와 $⟨S^{\prime },{\ast }^{\prime }⟩$이 isomorphic하다면 $S$의 항등원의 존재성과 $S^{\prime }$의 항등원의 존재성은 동치이다.

 

Proof:

$S$에서 $S^{\prime }$으로 가는 isomorphism $\varphi :S\to S^{\prime }$를 생각하자.

만약 $S$의 항등원 $e$가 존재한다면 다음이 성립한다.

$$\mathrm{\forall }x\in S,\varphi (e)\varphi (x)=\varphi (ex)=\varphi (x)=\varphi (xe)=\varphi (x)\varphi (e)$$

그런데, $\varphi$가 전단사함수이므로 모든 $y\in S^{\prime }$에 대해 $y=phi(x)$인 $x\in S$가 존재한다. 즉, $\varphi (e)$는 $S^{\prime }$의 항등원이다.

따라서 $S$의 항등원이 존재하면 $S^{\prime }$의 항등원 역시 존재한다.

또한, $S$와 $S^{\prime }$이 isomorphic하면 $S^{\prime }$과 $S$도 isomorphic하므로 $S^{\prime }$의 항등원이 존재하면 $S$의 항등원이 존재한다.

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위와 같이 isomorphic한 두 이항구조 사이에서 유지되는 성질들을 대수적 성질이라고 하며, 이 내용은 추후에 포스팅하도록 하겠다.

 

추가적으로, 전사함수인 homomorphism을 Epimorphism, 단사함수인 homomorphism을 Monomorphism, 정의역과 공역이 같은 homomorphism을 Endomorphism이라고 부르며, endomorphism이면서 동시에 isomorphism인 경우, Automorphism이라고 부른다.

 

또한, 어떤 군 $G$에 대하여, $G$의 모든 automorphism을 모아놓은 집합 $\mathrm{Aut}(G)$는 함수의 합성 연산에 대하여 군을 이루며, 이 군을 Automorphism Group이라고 한다.