집합론, 그 열두 번째 이야기 | 동치류

 

앞선 동치관계의 글에서, 집합 $X$위의 동치관계 $\sim$ 는 같다의 성질을 잘 가짐을 알았다.

 

어떤 집합 $X$와 그 위의 동치관계 $\sim$이 주어질 때,

$x\in X$ 에 대한 동치류(Equivalence calss) $\bar{x}$ 는 다음처럼 정의되는 집합이다.

$$\bar{x}=\{x^{\prime }\in X:x\sim x^{\prime }\}$$

또한, 이 때 $x$를 $\bar{x}$의 대표원(Representative) 이라고 한다.

 

이 때, $a,b\in X$ 와 $X$ 위의 동치관계 $$에 대해 다음 세 가지 명제는 동치이다.

$1.a\sim b$      $2.\bar{a}=\bar{b}$      $3.\bar{a}\cap \bar{b}\ne \varnothing$

증명은 아래와 같다

 

Part 1. $a\sim b\Rightarrow \bar{a}=\bar{b}$

 

$\mathrm{\forall }x\in \bar{a},x\sim a$임은 정의에 의해 자명하다. 또, $a\sim b$ 이므로 동치관계의 추이성에 의해

$$x\sim a\wedge a\sim b\Rightarrow x\sim b$$ 따라서 $x\sim b$ 이므로 $x\in \bar{b}$, $$\therefore \bar{a}\subseteq \bar{b}$$

$\mathrm{\forall }y\in \bar{b},y\sim b$임은 정의에 의해 자명하다. 또, $a\sim b$ 이므로 동치관계의 대칭성에 의해 $b\sim a$, 그러므로 $$y\sim b\wedge b\sim a\Rightarrow y\sim a$$ 따라서 $y\sim a$ 이므로 $y\in \bar{a}$ $$\therefore \bar{b}\subseteq \bar{a}$$

 

$\therefore \bar{a}=\bar{b}$

 

Part 2. $\bar{a}=\bar{b}\Rightarrow \bar{a}\cap \bar{b}\ne \varnothing$

 

$\bar{a}=\bar{b}$ 이므로 $\bar{a}\cap \bar{b}=\bar{a}$이고, 동치관계의 반사성에 의해 $$a\sim a\Rightarrow \bar{a}\ne \varnothing$$

 

$\therefore \bar{a}\cap \bar{b}=\bar{a}\ne \varnothing$

 

Part 3. $\bar{a}\cap \bar{b}\ne \varnothing \Rightarrow a\sim b$

 

$\bar{a}\cap \bar{b}\ne \varnothing$ 이므로 $\mathrm{\exists }x\in Xs.t.(x\in \bar{a}\wedge x\in \bar{b})$

정의에 의해, $x\in \bar{a}\Rightarrow x\sim a$이고, $x\in \bar{b}\Rightarrow x\sim b$

동치관계의 추이성에 의해, $$a\sim x\wedge x\sim b\Rightarrow a\sim b$$

 

$\therefore a\sim b$

 

 

또, 이러한 동치류들을 모아놓은 집합을 몫집합(Quotient set) 이라 하고, 아래처럼 쓸 수 있다.

$$X/\sim =\{\bar{x}:x\in X\}$$

$X/\sim$ 은 집합 $X$위의 동치관계 $\sim$에 대한 몫집합이라는것을 의미한다.

몫집합은 상집합이라고 부르기도 한다.