집합론, 그 열네 번째 이야기 | 초한 귀납법 ( Transfinite Induction )  By 초코맛 도비

수학/집합론 | Set Theory|2020. 8. 14. 01:41

초한 귀납법(Transfinite Induction)은 자연수에서의 수학적 귀납법을 정렬 집합으로 확장한 것을 말한다. 초한 귀납법은 다음과 같은 명제이다.

 

Theorem 1. 초한 귀납법 ( Transfinite Induction )

 (X,)가 정렬집합이고 P가 명제함수라고 하자. 이때, 다음 명제가 성립한다.
(xX,(yXwithy<x,P(y))P(x))(xX,P(x))

 

Proof:

증명의 편의를 위해 X의 최소원소를 0이라고 하자. 그러면 xX,(yXwithy<x,P(y))P(x)로부터 tP(0)이 성립함을 알 수 있으며, 이는 ¬tP(0)와 동치이므로 P(0)가 참임을 알 수 있다. 이제 집합 X의 부분집합 S를 다음과 같이 정의하자.

S={xX|¬P(x)}

이때, 귀납법을 위해 S을 가정하자. 그러면 SX이므로 S의 최소원소 cS가 존재한다. 이때, 0S이므로 0<c가 성립함을 알 수 있다. 즉, c보다 작은 X의 원소가 존재한다. 이때, xX,(yXwithy<x,P(y))P(x)가 참이라는 것으로부터 xX,¬P(x)(yXs.t.y<x¬P(y)) 역시 성립함은 자명하다. 따라서 x<c이면서 동시에 P(x)가 거짓인 xX가 존재한다. 이때, P(x)가 거짓이므로 xS가 성립하게 되며 이는 cS의 최소원소임에 모순이다. 따라서 S=이며, 따라서 xX,P(x)가 성립한다.

 

이때, 이를 모든 서수에 대해 확장이 가능하며, 이 경우, 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다.

 

다음 세 가지 조건을 만족한다면 모든 서수 α에 대해 P(α)가 성립한다.

1. P(0)이 성립한다.

2. 모든 서수 β에 대해 P(β)P(β+1)이다.

3. 모든 극한 서수 α에 대해 모든 β<αP(β)이면 P(α)이다.

이때, α극한 서수라는 것은 α=S(β)=β{β}가 성립하는 서수 β가 없음을 의미한다. 이때, 0 역시 극한 서수임에 주의하라. 또한, 극한 서수가 아닌 서수는 따름 서수라고 한다. 또한, 위의 세 가지 조건을 만족한다면 초한귀납법을 사용하기 위한 조건을 만족한다는 것의 증명은 간단하니 한 번쯤은 직접 해보는 것을 추천한다.

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