집합론, 그 열여섯 번째 이야기 | 부르바키 비트 고정점 정리 ( Bourbaki Witt Fixed Point Theorem )

부르바키 비트 고정점 정리는 순서론에서 가장 기본적인 고정점 정리 중 하나로, 그 내용은 다음과 같다.

 

부르바키 비트 고정점 정리(Bourbaki-Witt Fixed Point Theorem) 순서집합 $(X,\leq)$가 공집합이 아닌 chain complete인 부분순서집합이고 함수 $f:X\rightarrow X$가 $X$의 임의의 원소 $x$에 대해 항상 $x\leq f(x)$를 만족한다면 함수 $f$는 고정점을 갖는다.

 

이때, 어떤 순서집합 $(P,\leq)$의 모든 사슬이 상한을 갖는다면 순서집합 $(P,\leq)$를 chain complete인 순서집합이라고 한다. 또한, 일반적으로 사슬이라고 하면 전순서 부분집합을 말한다.

 

부르바키 비트 고정점 정리를 증명하기에 앞서, 이를 증명하기 위한 보조정리 하나를 소개하겠다.

 

Lemma 1. 하르톡스 정리(Hartogs Theorem)

 

하르톡스 정리는 아래의 명제를 가리킨다.

 

하르톡스 정리(Hartogs Theorem) 임의의 집합 $X$에 대해 $\alpha$에서 $X$로 가는 단사함수가 존재하지 않는 서수 $\alpha$가 존재한다.

 

다음은 하르톡스 정리의 증명이다.

 

$\alpha$를 다음과 같이 정의하자. $\alpha := \{\beta\in\text{Ord}\;|\;\exists i\;s.t.\;i : \beta\hookrightarrow X\}$

이때, $i : \beta\hookrightarrow X$는 함수 $i : \beta\rightarrow X$가 단사함수라는 의미이다. 위와 같이 $\alpha$를 정의하게 되면, $\alpha$는 $X$로의 전사함수가 존재하는 모든 서수의 모임이 된다. 이제 $\alpha$가 집합임을 증명하자.

$X$가 집합이므로 $X\times X$ 역시 집합이며, $P(X\times X)$ 역시 멱집합 공리에 의해 집합이다.

$X$의 모든 부분집합 위의 모든 정렬집합의 모임 $W$를 생각하자. 그러면 $W\subseteq P(X)\times P(X\times X)$이므로 분류 공리꼴에 의해 $W$는 집합이다. 또한, $W$의 모든 원소의 순서형의 모임 $A$ 역시 치환 공리꼴에 의해 집합이다. 또한, $\alpha = A$이므로 $\alpha$는 집합이다. 또한, $\alpha$의 정의에 의해 $\alpha$는 추이적 집합이며, $\alpha$는 서수의 집합이므로 $\alpha$ 역시 서수가 된다. 이때, $\alpha$에서 $X$로 가는 단사함수가 존재한다면 $\alpha\in\alpha$가 성립하여 정칙성 공리와 모순이 발생한다. 따라서 $\alpha$에서 $X$로 가는 단사함수가 존재하지 않으며, 따라서 하르톡스 정리는 참이다.

 

이제 하르톡스 정리를 증명하였으니 부르바키 비트 고정점 정리를 증명할 차례이다. 다음은 부르바키 비트 고정점 정리의 증명 과정이다.

 

부르바키 비트 고정점 정리(Bourbaki-Witt Fixed Point Theorem)의 증명

 

$X$의 원소 $y$를 잡자. 그리고 함수 $K:\text{Ord}\rightarrow X$를 초한 귀납법을 이용하여 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.

$K(0) = y$

$K(\alpha+1) = f(K(\alpha))$

이때, 함수 $f$가 집합 $X$의 임의의 원소 $x$에 대해 $x\leq f(x)$를 만족하므로 극한 서수 $\beta$에 대해 집합 $\{K(\alpha)\;|\;\alpha<\beta\}$는 $X$의 사슬이 된다. 따라서 극한서수 $\beta$에 대해 $K(\beta) := \text{sup}\{K(\alpha)\;|\;\alpha<\beta\}$로 정의하는 것이 자연스럽다. 이렇게 $K$를 정의하면, $K$는 서수를 집합 $X$의 원소로 대응시키는 증가함수가 된다. 이때, 하르톡스 정리에 의해 $\alpha$에서 $X$로 가는 단사함수가 존재하지 않게 하는 서수 $\alpha$를 항상 잡을 수 있으므로, $\alpha$ 이상의 모든 서수들에 대해 함수 $K$는 상수함수가 된다. 따라서 $K(\alpha+1)=K(\alpha)$가 되는 서수 $\alpha$가 존재하므로 $f(K(\alpha))=K(\alpha)$인 서수 $\alpha$가 존재한다. 이때, $x=K(\alpha)$를 잡으면 $f(x)=x$가 성립한다. 따라서 부르바키 비트 고정점 정리는 참이다.