집합론, 그 열일곱 번째 이야기 | 하우스도르프 극대원리 ( Hausdorff Maximal Principle )

하우스도르프 극대원리는 이 글에서 소개한 선택공리와 동치인 명제 중 하나이다. 이 글에서는 하우스도르프 극대원리를 소개하고, 선택공리가 하우스도르프 극대원리를 함의하는 것을 증명하는 과정에 대해 서술할 것이다.

 

하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximal Principle; HMP) 순서집합 $(P,\leq)$가 부분순서집합일 때, $(P,\leq)$는 항상 극대사슬을 가진다.

 

여기서 극대사슬이란, 자신을 진부분집합으로 가지는 사슬이 없는 사슬을 말한다. 즉, 극대사슬은 자신을 진부분집합으로 갖는 전순서 부분집합이 없는 전순서 부분집합을 말한다.

 

하우스도르프 극대원리를 증명하기에 앞서, 이를 증명하기 위한 보조정리 하나를 소개하겠다.

 

Lemma 1. 모든 사슬의 집합은 포함관계 하에서 chain complete 부분순서집합이다.

 

다음은 이 보조정리의 증명이다.

 

$(P,\leq)$가 순서집합이라고 하자. 그리고 집합 $\cal{C}$를 순서집합 $P$의 모든 사슬의 집합이라고 하자.

그러면 $(\cal{C}, \subseteq)$는 부분순서집합이 된다.

이제 부분순서집합 $\cal{C}$의 사슬 $\mathscr{C}$를 잡자. 그러면 $\text{sup}\mathscr{C}=\displaystyle\bigcup{\mathscr{C}}$가 됨은 자명하다.

이제 서술의 편의를 위해 $D=\displaystyle\bigcup{\mathscr{C}}$라고 하자. 그러면 $\cal{C}$가 $P$의 모든 사슬의 집합이므로 $D\subseteq P$이다.

이제 $D$의 임의의 두 원소 $a$와 $b$를 잡자. 그러면 $a\in A\land b\in B$를 만족하는 $A,B\in\mathscr{C}$가 존재한다.

$\mathscr{C}$가 $\cal{C}$의 사슬이므로 $A\subseteq B\lor B\subseteq A$이다. 그러면 $a\in B\lor b\in A$가 성립한다.

$A$와 $B$가 모두 $P$의 사슬이므로 $a\leq b\lor b\leq a$가 성립한다. 따라서 $D$는 $P$의 사슬이다.

즉, $\text{sup}\mathscr{C}$가 $\cal{C}$의 원소이다.

$\blacksquare$

 

이제 Lemma 1을 증명하였으니 하우스도르프 극대원리를 증명할 차례이다. 다음은 하우스도르프 극대원리의 증명과정이다.

 

하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximal Principle; HMP)의 증명

 

집합 $\cal{C}$를 부분순서집합 $(P,\leq)$의 모든 사슬의 집합이라고 하자.

그러면 Lemma 1에 의해 $(\cal{C},\subseteq)$는 chain complete인 부분순서집합이다.

이제 함수 $f:\cal{C}\rightarrow\cal{C}$를 다음과 같이 정의하자.

만약 $C\in\cal{C}$가 극대사슬이라면 $f(C)=C$, 그렇지 않다면 선택 공리에 의해 선택되는 $C\subsetneq D$인 $D\in\cal{C}$

그러면 함수 $f$의 정의에 의해 $\forall C\in\cal{C}$$,\;C\subseteq f(C)$이다.

또한, $\cal{C}$는 chain complete이므로 부르바키 비트 고정점 정리(Bourbaki-Witt Fixed Point Theorem)에 의해 함수 $f$는 고정점 $f(M)=M$을 가진다. 하지만, 함수 $f$의 정의에 의해 $f$의 고정점은 극대사슬 뿐이다. 따라서 $M$은 극대사슬이다.

$\blacksquare$