집합론, 그 열아홉 번째 이야기 | 정렬 정리 ( Well-Ordering Theorem )  By 초코맛 도비

수학/집합론 | Set Theory|2020. 8. 27. 01:45

정렬 정리이 글에서 소개한 선택공리와 동치인 명제 중 하나이다. 이 글에서는 정렬 정리를 소개하고, 초른 보조정리가 정렬 정리를 함의하는 것을 증명하는 과정을 서술할 것이며, 정렬 정리가 선택공리를 함의하는 것을 증명하는 과정 또한 서술할 것이다.

정렬 정리(Well-Ordering Theorem)

공집합이 아닌 집합은 항상 정렬순서를 갖는다.

 

다음은 정렬 정리의 증명과정이다.

 

정렬 정리(Well-Ordering Theorem)의 증명

 

집합 A를 생각하자.

그리고 WSA이고 동시에 RSS의 정렬순서가 되는 모든 순서쌍 (S,RS)의 집합이라고 하자.

그 후 W 위의 순서관계 (S,RS)(S,RS)와 다음 세 조건을 만족하는 것이 동치가 되도록 정의하자.

1) SS

2) sS,sSS,sRSs

3) RS=S2RS

그러면 W 위의 부분순서관계이며 W의 모든 사슬은 상계를 가진다는 사실을 즉시 알 수 있다.

그러면 우리는 초른 보조정리에 의해 W의 극대원소 (M,RM)을 잡을 수 있다.

만약 aM을 만족하는 aA가 존재한다면, 우리는 집합 M+=M{a}를 잡을 수 있으며 동시에 M+ 위에서의 순서관계 RM+=RM{(m,a)|mM+}를 정의할 수 있다.

그러면 RM이 집합 M 위의 정렬순서라는 사실로부터 RM+는 집합 M+ 위의 정렬순서가 된다는 것을 알 수 있다.

하지만, MM+의 부분이 되므로 (M,RM)(M+,RM+)이 되어 (M,RM)W의 극대원소임에 모순이다.

귀류법에 의해 aMaA는 존재할 수 없으며, A=M이 된다.

따라서 RM은 집합 A 위의 정렬순서이다.

 

이제 초른 보조정리가 정렬 정리를 함의한다는 것을 보였으므로 정렬 정리가 선택공리를 함의한다는 것만 보이면 선택공리(Axiom of Choice; AC)하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximal Principle; HMP), 초른 보조정리(Zorn's Lemma; ZL), 그리고 정렬 정리(Well-Ordering Theorem)ZF 공리계 하에서 동치라는 사실을 얻을 수 있다. 아래는 정렬 정리가 선택공리를 함의한다는 것을 증명하는 과정이다.

 

정렬 정리(Well-Ordering Theorem)가 선택공리(Axiom of Choice; AC)를 함의한다는 것의 증명

 

공집합을 원소로 가지지 않는 임의의 집합족 F를 생각하자.

집합 U=F를 정의하면 정렬 정리에 의해 U 위의 정렬순서 가 존재한다.

이때, 함수 f:P(U){}Uf(A)=minA로 정의하자.

이러면 함수 fF의 선택함수가 됨은 자명하다.

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