집합론, 그 열아홉 번째 이야기 | 정렬 정리 ( Well-Ordering Theorem )
정렬 정리는 이 글에서 소개한 선택공리와 동치인 명제 중 하나이다. 이 글에서는 정렬 정리를 소개하고, 초른 보조정리가 정렬 정리를 함의하는 것을 증명하는 과정을 서술할 것이며, 정렬 정리가 선택공리를 함의하는 것을 증명하는 과정 또한 서술할 것이다.
정렬 정리(Well-Ordering Theorem) 공집합이 아닌 집합은 항상 정렬순서를 갖는다. |
다음은 정렬 정리의 증명과정이다.
정렬 정리(Well-Ordering Theorem)의 증명
집합
그리고
그 후
1)
2)
3)
그러면
그러면 우리는 초른 보조정리에 의해
만약
그러면
하지만,
귀류법에 의해
따라서
이제 초른 보조정리가 정렬 정리를 함의한다는 것을 보였으므로 정렬 정리가 선택공리를 함의한다는 것만 보이면 선택공리(Axiom of Choice; AC)와 하우스도르프 극대원리(Hausdorff Maximal Principle; HMP), 초른 보조정리(Zorn's Lemma; ZL), 그리고 정렬 정리(Well-Ordering Theorem)가 ZF 공리계 하에서 동치라는 사실을 얻을 수 있다. 아래는 정렬 정리가 선택공리를 함의한다는 것을 증명하는 과정이다.
정렬 정리(Well-Ordering Theorem)가 선택공리(Axiom of Choice; AC)를 함의한다는 것의 증명
공집합을 원소로 가지지 않는 임의의 집합족
집합
이때, 함수
이러면 함수
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