집합론, 그 열여덟 번째 이야기 | 초른 보조정리 ( Zorn's Lemma )

초른 보조정리는 이 글에서 소개한 선택공리와 동치인 명제 중 하나이다. 이 글에서는 초른 보조정리를 소개하고, 하우스도르프 극대원리가 초른 보조정리를 함의하는 것을 증명하는 과정에 대해 서술할 것이다.

 

초른 보조정리(Zorn's Lemma; ZL) 부분순서집합 $(P,\leq)$의 모든 사슬이 상계를 가지면 $(P,\leq)$는 극대원소를 가진다.

 

다음은 초른 보조정리의 증명과정이다.

 

초른 보조정리(Zorn's Lemma; ZL)의 증명

 

하우스도르프 극대원리에 의해 부분순서집합 $(P,\leq)$는 극대사슬 $\cal{C}$를 가진다.

이때, $(P,\leq)$의 모든 사슬이 상계를 가지므로 $\cal{C}$ 역시 상계를 가진다.

이때, $\cal{C}$의 모든 상계의 집합을 $\cal{U}$라고 하자.

만약 $\cal{U}$가 $\cal{C}$의 원소가 아닌 원소 $L$을 가진다면, $\cal{C}$$\cup \{ L \}$ 역시 $(P,\leq)$의 사슬이 된다.

하지만, $\cal{C}\subsetneq\cal{C}$$\cup \{ L \}$이므로 이는 $\cal{C}$가 극대사슬임에 모순된다.

따라서 그러한 $L\in\cal{U}$는 존재하지 않는다. 따라서 $\cal{U}$의 모든 원소는 $\cal{C}$의 원소이다.

즉, $\cal{U}$는 $\cal{C}$의 극대원소만을 원소로 갖는 집합이다.

이때, $\cal{C}$는 극대사슬이므로 $\cal{C}$의 극대원소는 곧 $(P,\leq)$의 극대원소이다.

$\blacksquare$