집합론, 그 열여덟 번째 이야기 | 초른 보조정리 ( Zorn's Lemma )  By 초코맛 도비

수학/집합론 | Set Theory|2020. 8. 25. 20:52

초른 보조정리이 글에서 소개한 선택공리와 동치인 명제 중 하나이다. 이 글에서는 초른 보조정리를 소개하고, 하우스도르프 극대원리가 초른 보조정리를 함의하는 것을 증명하는 과정에 대해 서술할 것이다.

 

초른 보조정리(Zorn's Lemma; ZL)

부분순서집합 (P,)의 모든 사슬이 상계를 가지면 (P,)극대원소를 가진다.

 

다음은 초른 보조정리의 증명과정이다.

 

초른 보조정리(Zorn's Lemma; ZL)의 증명

 

하우스도르프 극대원리에 의해 부분순서집합 (P,)는 극대사슬 C를 가진다.

이때, (P,)의 모든 사슬이 상계를 가지므로 C 역시 상계를 가진다.

이때, C의 모든 상계의 집합을 U라고 하자.

만약 UC의 원소가 아닌 원소 L을 가진다면, C{L} 역시 (P,)의 사슬이 된다.

하지만, CC{L}이므로 이는 C가 극대사슬임에 모순된다.

따라서 그러한 LU는 존재하지 않는다. 따라서 U의 모든 원소는 C의 원소이다.

즉, UC의 극대원소만을 원소로 갖는 집합이다.

이때, C는 극대사슬이므로 C의 극대원소는 곧 (P,)의 극대원소이다.

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