집합론, 그 첫 번째 이야기 | 선택공리를 추가한 체르멜로-프랑켈 집합론 ZFC ( Zermelo-Fraenkel Set Theory with Axiom of Choice; ZFC Set Theory )

1. 외연공리  Axiom of Extension :  $$\forall X\forall Y(\forall a(a\in X\Leftrightarrow a\in Y)\Leftrightarrow X=Y)$$임의의 두 집합 $X$, $Y$에 대해 두 집합의 원소가 같으면 두 집합을 같다고 한다. 2. 공집합공리 Axiom of Emptyset :  $$\exists X\forall a(\neg(a\in X))$$공집합이 존재한다. 즉, 원소를 가지지 않는 집합이 존재한다. 3. 분류 공리꼴 Axiom Schema of Separation : $$\forall X\exists Y\forall a(a\in Y\Leftrightarrow(a\in X\land P(a)))$$임의의 집합 $X$에 대해 $X$의 원소이면서 특정한 특성을 만족시키는 원소들로 이루어진 집합이 존재한다. 이때, $P(a)$는 $a$에 따라 진리값이 달라지는 명제함수를 말한다. 4. 짝 공리 Axiom of Pairing :  $$\forall A\forall B\exists X(A\in X\land B\in X)$$임의의 두 집합 $A$, $B$에 대해 $A$와 $B$를 원소로 가지는 집합 $X$가 존재한다. 5. 합집합 공리 Axiom of Union :  $$\forall X\exists U\forall A(\forall B(A\in B\land B\in X)\Rightarrow A\in U)$$임의의 집합 $X$에 대해 $X$의 원소들의 원소들을 모두 원소로 가지는 집합 $U$가 존재한다. 6. 멱집합 공리 Axiom of Power Set :  $$\forall X\exists P\forall Y(\forall a(a\in Y\Rightarrow a\in X)\Rightarrow Y\in P)$$임의의 집합 $X$에 대해 $X$의 멱집합 $P$가 존재한다. 7. 무한 공리 Axiom of Infinity :  $$\exists I(\varnothing\in I\land\forall X(X\in I\Rightarrow S(X)\in I))$$공집합을 원소로 가지고 $X$를 원소로 가진다면 $S(X)$도 항상 원소로 가지는 집합 $I$가 존재한다. 이때, $S(X)$는 $X\cup\{X\}$로 정의된다.

 

이렇게 총 7개의 공리로 이루어진 공리계를 체르멜로 공리계라고 한다. 이는 러셀의 역설 등의 여러 역설들을 함의하는 칸토어의 수수한 집합론의 문제점을 보완하기 위해 체르멜로가 도입한 공리계이다.

 

8. 정칙성 공리 Axiom of Regularity :  $$\forall X(\exists A(A\in X)\Rightarrow(\exists B(B\in X\land\neg\exists C(C\in B\land C\in X))))$$공집합이 아닌 모든 집합 $X$는 자신과 서로소인 원소를 가진다. 이때, 집합 $a$와 $b$가 서로소라는 말은 $a\cap b=\emptyset$임을 의미한다. 9. 치환 공리꼴 Axiom Schema of Replacement :  $$\forall x\exists!yP(x,y)\Rightarrow\forall X\exists Y(x\in X\Rightarrow\exists y(y\in Y\land P(x,y)))$$임의의 $x$에 대해 관계 $P(x,y)$를 만족시키는 $y$가 유일하게 존재한다면 임의의 집합 $X$의 관계 $P(x,y)$에 대한 상을 포함하는 집합이 항상 존재한다.

 

이 두 공리는 프랑켈이 체르멜로 공리계를 보완하기 위해 추가한 공리들이며, 이렇게 총 9개의 공리들로 구성된 공리계를 체르멜로-프랑켈 공리계 줄여서 ZF 공리계라고 부른다. 이 공리계를 바탕으로 시작하는 집합론을 ZF 집합론이라고 부르기도 한다.

 

10. 선택 공리 Axiom of Choice :  $$\forall S(\varnothing\notin S\Rightarrow\exists f:S\to\bigcup S(\forall A(A\in S\Rightarrow(f(A)\in A))))$$공집합을 원소로 가지지 않는 임의의 집합 $S$에 대해 그 집합의 원소들로부터 원소를 하나씩 고를 수 있다.

 

선택공리는 ZF 공리계와 무모순하며, 선택공리는 참으로 받아들여도 논리적으로 문제가 없고 선택공리를 부정해도 논리적인 문제가 없다. 하지만 일반적으로 선택공리를 받아들이며, 선택공리가 참인 경우에만 그 분야의 존재가 타당해지는 분야들도 있다. 선택공리를 추가한 체르멜로-프랑켈 공리계를 줄여서 ZFC 공리계라고 부르며, ZFC 공리계를 바탕으로 시작하는 집합론을 ZFC 집합론이라고 부르기도 한다.

1. Axiom of Extension :  $$\forall X\forall Y(\forall a(a\in X\Leftrightarrow a\in Y)\Leftrightarrow X=Y)$$Two sets with exactly same elements are equal. 2. Axiom of Emptyset :  $$\exists X\forall a(\neg(a\in X))$$There exists an emptyset. In other words, there is a set which has no elements. 3. Axiom Schema of Separation : $$\forall X\exists Y\forall a(a\in Y\Leftrightarrow(a\in X\land P(a)))$$The subset $Y$ of a set $X$ obeying a formula $P(a)$ with one free variable $x$ always exists. 4. Axiom of Pairing :  $$\forall A\forall B\exists X(A\in X\land B\in X)$$If $A$ and $B$ are sets, then there exists a set which contains $A$ and $B$ as elements. 5. Axiom of Union :  $$\forall X\exists U\forall A(\forall B(A\in B\land B\in X)\Rightarrow A\in U)$$The union over the elements of a set exists. For example, the union over the elements of the set $\{ \{ 1 , 2 \} , \{ 2 , 3 \} \}$ is $\{ 1 , 2 , 3 \}$. 6. Axiom of Power Set :  $$\forall X\exists P\forall Y(\forall a(a\in Y\Rightarrow a\in X)\Rightarrow Y\in P)$$For any set $X$, there is a set $P$ which contains every subset of $X$ as elements. 7. Axiom of Infinity :  $$\exists I(\varnothing\in I\land\forall X(X\in I\Rightarrow S(X)\in I))$$There is an infinity set. At this point, $S(X)$ is defined as $X \cup \{ X \}$.

 

The axiom system consisting of a total of seven axioms is called the Zermelo axiom system. This is an axiom introduced by Zermelo to solve the problems of Cantor's accepted collective theory, which implies various paradoxes such as Russell's paradox.

 

8. Axiom of Regularity :  $$\forall X(\exists A(A\in X)\Rightarrow(\exists B(B\in X\land\neg\exists C(C\in B\land C\in X))))$$Every non-empty set $X$ contains a member $Y$ such that $X$ and $Y$ are disjoint sets. At this point, two sets $a$ and $b$ are disjoint sets means that $a \cap b = \emptyset$. 9. Axiom Schema of Replacement :  $$\forall x\exists!yP(x,y)\Rightarrow\forall X\exists Y(x\in X\Rightarrow\exists y(y\in Y\land P(x,y)))$$The image of a set under any definable function will also fall inside a set.

 

These two axioms are axioms that Fraenkel added to complement the Zermelo axiom, and the axiom system consisting of a total of nine axioms is called the ZF axiom system, short for the Zermelo-Fraenckel axiom system. The set theory that begins based on these axiom is referred to as the ZF set theory.

 

10. Axiom of Choice :  $$\forall S(\varnothing\notin S\Rightarrow\exists f:S\to\bigcup S(\forall A(A\in S\Rightarrow(f(A)\in A))))$$For any set $S$ of nonempty sets, there exists a choice function that is defined on $S$ and maps each set of $S$ to an element of the set.

 

The axiom of choice, AC is consistent with the ZF axiom, and if it is accepted as true, there is no logical problem, and if the AC is denied, there is no logical problem. However, in general, AC is accepted, and there are fields in which the existences of those fields become valid only when AC is true. The Zermelo-Fraenkel axiom system with AC is called the ZFC axiom system, and the set theory that starts based on the ZFC axiom system is also called the ZFC set theory.