집합론, 그 세 번째 이야기 | 집합의 연산 ( Operations of Sets )

Part.1 집합의 원소

 

$a$가 $A$의 원소이면 $a\in A$와 같이 표기한다. 이는 ZFC 집합론에서 정의하지 않고 사용하는 유일한 이항관계이다.

 

Part.2 집합의 표현

 

집합을 표현하는 방법은 크게 아래의 두 가지 방법이 있다.

 

1. 원소나열법

말 그대로 원소를 나열하는 방법이다. 예를 들어 $\{1,2,3\}$와 같이 나타내는 방법이다.

 

2. 조건제시법

말 그대로 원소일 조건을 제시하여 집합을 표기하는 방법이다.

$\{x|P(x)\}$의 형태로 표기하거나 $\{x:P(x)\}$의 형태로 표기한다. 가끔 $\{P(x):x\}$와 같이 표기하는 책도 있다.

 

Part.3 부분집합과 초집합

 

두 집합 $A$, $B$에 대해 명제 $\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)$가 성립하면 $A$를 $B$의 부분집합이라고 하고 $A\subseteq B$ 또는 $A\subset B$와 같이 나타낸다. 또한 드물게 $B$를 $A$의 초집합이라고 할 때도 있으며 $B\supset A$와 같이 나타낸다.

 

Part.4 합집합과 교집합

 

1. 합집합 $$A\cup B=\{x|x\in A\lor x\in B\}$$ 2. 교집합 $$A\cap B=\{x|x\in A\land x\in B\}$$

 

합집합과 교집합은 각각 논리합, 논리곱에 대응되며, 따라서 그들과 같이 결합법칙, 교환법칙, 멱등법칙, 분배법칙이 성립한다. 이는 자명한 결과이니 증명은 생략한다.

 

또한, 각 연산을 하는 집합이 많아서 표기하기 힘든 경우, 다음과 같이 간단히 나타내기도 한다.

$$\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}A_i:=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n$$

$$\displaystyle\bigcap_{j=1}^{m}B_j:=B_1\cap B_2\cap\cdots\cap B_m$$

또한, 특정 조건을 만족시키는 집합들의 연산을 다음과 같은 형태로 나타내기도 한다.

$$\displaystyle\bigcup_{P(A)}A\qquad\qquad\qquad\displaystyle\bigcap_{Q(B)}B$$

또한, 집합들을 원소로 가지는 집합인 집합족을 이용하여 다음과 같이 나타내기도 한다.

$$\displaystyle\bigcup U:=\displaystyle\bigcup_{X\in U}X\qquad\qquad\displaystyle\bigcap I:=\displaystyle\bigcap_{Y\in I}Y$$

 

Part.5 차집합

 

$$A-B=A\setminus B=\{x|x\in A\land x\notin B\}$$

 

$A$와 $B$의 차집합 $A\setminus B$는 $A$의 원소 중 $B$의 원소가 아닌 것만을 원소로 가지는 집합을 말한다. 차집합은 당연하게도 교환법칙이 성립하지 않는다. $(\{1,2,3\}\setminus\{3\}=\{1,2\}\not=\varnothing=\{3\}\setminus\{1,2,3\})$