집합론, 그 네 번째 이야기 | 곱집합 ( Cartesian Product )

곱집합에 대해 얘기하기 전에 튜플을 먼저 알아보자.

 

Definition 1.

튜플은 다음의 재귀적인 정의로 정의된다. 1. $()=\varnothing$ 2. $x$를 $n$-튜플 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$이라고 하자. 그러면 $n+1$-튜플 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n,b)$는 집합 $\{\{x\},\{x,b\}\}$로 정의한다.

 

위의 정의에 따르면 순서쌍 $(1,2)$는 집합 $\{\{\{\{\varnothing \},\{\varnothing ,1\}\}\},\{\{\{\varnothing \},\{\varnothing ,1\}\},2\}\}$가 된다.

이렇게 복잡하게 정의를 하는 이유는 집합은 순서가 없지만 튜플은 순서가 다른 경우 다른 것으로 받아들여야 하기 때문이다. 우리가 일반적으로 좌표를 얘기할 때도 $(1,0,0)$과 $(0,1,0)$은 다른 점을 얘기하는 것과 같은 것으로 생각하면 쉽다.

 

이제 곱집합에 대해 얘기할 준비가 되었으니 곱집합이 뭔지 알아보도록 하자.

 

Definition 2.

두 집합 $A$와 $B$의 곱집합 ( Cartesian Product ) $A\times B$는 다음과 같이 정의된다. $$A\times B:=\{(x,y)|x\in A\wedge x\in B\}$$

 

또한, 곱집합은 다음과 같이 3개 이상의 집합 사이에서도 정의 가능하다.

$$X_1\times X_2\times \cdots \times X_n:=\{(x_1,x_2,\cdots ,x_n)|x_1\in X_1\wedge x_2\in X_2\wedge \cdots x_n\in X_n\}$$

이를 좀 더 간단하게 표기하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$${\displaystyle \prod _{i=1}^n{X}_i:=X_1\times X_2\times \cdots \times X_n}$$

그리고, 집합 $X$와 자연수 $n$에 대해 $X^n$은 다음과 같이 정의된다.

$$X^n={\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X}$$

 

아래는 곱집합의 성질이다.

 

임의의 집합 $A$, $B$, $C$에 대해 항상 다음과 같은 성질이 성립한다. 1. 공집합과의 곱: $$A\times \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }\times A=\mathrm{\varnothing }$$ 2. 곱집합의 합집합에 대한 분배법칙: $$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$$ 3. 곱집합의 교집합에 대한 분배법칙: $$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$$ 4. 곱집합의 차집합에 대한 분배법칙: $$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$$

 

위 성질들에 대한 증명은 간단하므로 따로 서술하지는 않겠다.

 

※ 2021.10.05 추가내용

무한히 많은 집합들의 곱집합은 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

Definition 3.

무한히 많은 집합의 집합인 $X=\{X_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$를 생각하자. 이때, $X$의 모든 원소를 곱한 집합 ${\displaystyle \prod _{\alpha \in A}{X}_{\alpha }}$를 다음을 만족하는 함수 $f:A\to {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}{X}_{\alpha }}$의 집합으로 정의한다. $$\mathrm{\forall }\alpha \in A,f(\alpha )\in X_{\alpha }$$