집합론, 그 열세 번째 이야기 | 서수 ( Ordinal Numbers )

서수는 집합에 순서를 잘 주기 위해서 고안된 체계이며, 유한 집합이나 가산 무한집합은 각 원소에 자연수를 부여하는 것만으로도 순서를 잘 줄 수 있지만 자연수 집합보다 큰 집합이 많이 있기 때문에 자연수만으로는 모자라다. 그래서 우리는 서수라는 것을 새로 정의하게 된다. 서수를 정의하기에 앞서 추이적 집합과 well-ordering에 대해 먼저 이야기하겠다.

집합 $X$가 다음 조건을 만족하는 경우, 집합 $X$를 추이적 집합이라고 한다.

 

$$\mathrm{\forall }Y\in X,Y\subseteq X$$

 

또한, 어떤 전순서집합이 어떤 공집합이 아닌 부분집합을 잡더라도 항상 최소원소가 존재한다면 그 집합을 well-ordered set이라고 한다. 예를 들어, 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 추이적 집합이면서 동시에 well-ordered set이다.

 

이때, 추이적 집합이면서 포함관계를 순서관계로 줄 때 즉, $\alpha \in \beta \vee \alpha =\beta \iff \alpha \le \beta$일 때 well-ordered set이 되는 집합을 서수라고 한다. 

서수는 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 유한서수(Finite Ordinal Number)와 초한서수(Transfinite Ordinal Number)로 나눌 수 있다.

 

유한서수는 말그대로 유한한 크기를 가지는 서수를 말하며 예로는 $0$, $1$, $2$, $\cdots$가 있다. 이때 유한서수는 폰 노이만의 자연수의 정의와 완전히 같은 정의를 가지며, $0=\varnothing$, $S(X)=X\cup \{X\}$의 두 가지로부터 정의된다.

 

초한서수는 유한서수가 아닌 서수들을 말하는데 쉽게 말하자면 크기가 무한한 서수를 말한다고 할 수 있다. 초한서수 중 가장 작은 서수를 $\omega$로 나타내며 $\omega ={\displaystyle \bigcup _{x\in \mathbb{N}}x}$로 정의된다. 또한, $\omega$는 가산 무한서수이기도 하다. 우리는 서수에도 자연수와 비슷하게 덧셈과 곱셈을 정의할 수 있으며, 이에 대한 내용은 여기서 볼 수 있다. $\omega +1$이나 $\omega +2$ 등도 가산 무한서수가 된다. 그리고 모든 가산 무한서수와 유한서수의 집합을 ${\omega }_1$로 나타내는데, 칸토어의 대각논법을 사용하면 ${\omega }_1$이 가산 무한서수가 아님을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 ${\omega }_1$은 가장 작은 비가산 무한서수이며, 같은 방식으로 ${\omega }_2$, ${\omega }_3$ 등을 정의할 수 있다.

 

이렇게 정의된 무수히 많은 서수들을 모아놓은 것을 $\text{Ord}$로 나타내며 이는 집합이 아닌 모임이다. 즉, $\text{Ord}$는 고유 모임이다.

 

※ 2021.06.10 추가내용

Theorem.

(1) 공집합은 서수이다. (2) 서수의 원소는 언제나 서수이다. (3) 만약 서로 다른 두 서수 $\alpha$와 $\beta$에 대해 $\alpha \subseteq \beta$라면 $\alpha \in \beta$이다. (4) 만약 $\alpha$와 $\beta$가 서수라면 $\alpha \subseteq \beta$이거나 $\beta \subseteq \alpha$이다.

 

Proof.

 

Part 1.

서수의 정의에 의해 자명하다.

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Part 2.

서수 $\alpha$의 원소 $\beta$를 생각하자. 그러면 서수의 정의에 의해 $\beta \subseteq \alpha$임이 자명하다.

따라서 $\beta$는 포함관계를 순서관계로 할 때 정렬집합이 된다. 이때, $\beta$의 임의의 원소 $\gamma$를 생각하자.

만약 $\gamma \subseteq \beta$임을 보인다면 $\beta$가 transitive하다는 뜻이므로 $\beta$는 서수이다.

따라서 $\gamma$의 임의의 원소 $\delta$를 떠올리자. 그러면 $\gamma \in \alpha$이므로 $\delta \in \alpha$임을 쉽게 알 수 있다.

이때, $\alpha$의 원소에 대해 $\in$이 추이관계이므로 $\delta \in \beta$임을 알 수 있고, 따라서 $\gamma \subseteq \beta$이다.

즉, $\beta$는 서수이다.

$◼$

 

Part 3.

$\alpha$가 $\beta$의 진부분집합이므로 $\beta \setminus \alpha$는 공집합이 아니다.

따라서 $\beta \setminus \alpha$의 최소원소 $\gamma$를 잡을 수 있다. ($\beta$가 정렬집합이므로)

이때, $\gamma \in \beta$이므로 $\gamma =\{\delta \in \alpha |\delta \in \gamma \}$임을 알 수 있다.

따라서 $\alpha \subseteq \gamma$임은 매우 자명하다.

이제 $\gamma$의 임의의 원소 $\delta$를 생각하자. 그러면 $\delta \in \gamma$이므로 $\delta$는 $\beta \setminus \alpha$의 원소가 될 수 없다. 하지만, $\delta \in \gamma \in \beta$이므로 $\delta \in \alpha$임을 알 수 있다. 따라서 $\gamma \subseteq \alpha$이다.

즉, $\gamma =\alpha$이며, 따라서 $\alpha \in \beta$이다.

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Part 4.

$\gamma =\alpha \cap \beta$를 생각하자. 그러면 $\gamma$는 $\alpha$의 부분집합이므로 순서관계 $\in$을 정렬순서로 가진다. 또한, $\gamma$의 원소는 $\alpha$의 원소이면서 동시에 $\beta$의 원소이므로 $\alpha$의 부분집합이면서 동시에 $\beta$의 부분집합이다. 따라서 $\gamma$의 부분집합이 된다. 즉, $\gamma$는 서수이다.

이때, $\gamma \ne \alpha$이면서 동시에 $\gamma \ne \beta$라면, (3)에 의해 $\gamma \in \alpha$이면서 동시에 $\gamma \in \beta$임을 얻을 수 있다. 이때, $\gamma =\alpha \cap \beta$이므로 $\gamma \in \gamma$이고, 이는 모순이다.

따라서 $\gamma =\alpha$ 또는 $\gamma =\beta$이며, 이는 곧 $\alpha \subseteq \beta$ 또는 $\beta \subseteq \alpha$임을 의미한다.

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