해석학, 그 첫 번째 이야기 | 자연수의 정의

해석학은 함수에 대해 다루는 분야이며, 보통 실수체나 복소수체 위에서의 함수를 다룬다. 그렇기 때문에 해석학 분류의 글은 '수'가 무엇인지를 정의하는 것으로부터 시작하려 한다. 본 글은 수 체계의 기본이 되는 자연수의 정의에 대해 다룬다.

 

자연수는 다음의 세 가지 정의를 이용하여 정의할 수 있다.

$$0:=\varnothing$$

$$s(x):=x\cup\{x\}$$

$$\mathbb{N}:=\displaystyle\bigcap_{I:0\in I\land(x\in I\Rightarrow s(x)\in I)} I$$

이때, $\mathbb{N}$를 자연수 집합이라고 부르며, $\mathbb{N}$의 원소를 자연수라고 부른다.

 

그러면 이제 위의 세 가지 정의를 통해서 정의되는 $\mathbb{N}$가 잘 정의되었는지 즉, well-defined인지 살펴보도록 하자.

 

Part 1. 존재성

자연수 집합의 존재성을 보이기 위해 무한공리를 살펴보자.

무한공리는 다음을 만족하는 집합 $I$의 존재를 보장한다.

$$\varnothing\in I\land(x\in I\Rightarrow s(x)\in I)$$

이때, 위에서 $0$을 $\varnothing$과 같은 것으로 정의하였으므로 $\varnothing$ 대신에 $0$을 써도 무방하다. 즉, 무한공리는 다음을 만족하는 집합 $I$의 존재를 보장한다.

$$0\in I\land(x\in I\Rightarrow s(x)\in I)$$

이러한 집합 $I$가 존재하므로 그러한 집합들의 교집합인 $\mathbb{N}$의 존재성은 보장된다.

 

Part 2. 유일성

임의의 집합 사이의 교집합은 잘 정의되므로 임의의 집합 사이의 교집합은 유일하다. 따라서 특정 조건을 만족하는 모든 집합 $I$의 교집합으로 정의되는 $\mathbb{N}$은 유일하다.

 

따라서 위의 세 가지 정의를 이용한 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 잘 정의되었다.

 

자연수를 정의하였으니 자연수 집합의 성질에 대해 알아보도록 하자. 자연수 집합은 다음과 같은 유용한 성질을 가진다.

 

수학적 귀납법 : $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 다음 두 조건을 만족하면 $S=\mathbb{N}$이다. 1) $0\in S$ 2) $\forall k\in\mathbb{N},\;k\in\mathbb{N}\Rightarrow s(k)\in\mathbb{N}$

 

이는 자연수 집합 $\mathbb{N}$의 정의에 의해 자명하다. 왜냐하면 $\mathbb{N}$는 위의 두 조건을 만족하는 집합들의 교집합이므로 $\mathbb{N}\subseteq S$가 되며, 이는 곧 $S=\mathbb{N}$임을 의미한다.

 

정렬성의 원리 : $\mathbb{N}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$는 항상 최소원소를 가진다.

 

정렬성의 원리를 증명하기에 앞서 자연수 집합에서의 순서관계를 먼저 정의하고 시작하도록 하자. 자연수 사이의 순서관계는 다음과 같이 정의하며, 이때 $(\mathbb{N},\leq)$는 전순서집합이 된다.

 

$$\forall n,m\in\mathbb{N},\;n\leq m\Leftrightarrow n\subseteq m$$

 

$(\mathbb{N},\leq)$가 전순서집합이 됨은 자명하므로 증명은 독자에게 맡긴다.

 

정렬성의 원리는 수학적 귀납법으로부터 증명할 수 있다. 최소원소를 가지지 않는 $\mathbb{N}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$가 존재한다고 가정하자. 또한, 집합 $T=\mathbb{N}\setminus S$를 생각하고 집합 $P=\{k\in\mathbb{N}|\{0,1,\cdots,k\}\subseteq T\}$를 생각하자. 만약 $0\in S$이면, $S$는 최소원소 $0$을 가지므로 $0\notin S$이다. 따라서 $0\in T$이고 따라서 $0\in P$이다. 만약, 어떤 자연수 $k$에 대해 $k\in P$라고 하자. 이때, 만약 $s(k)\in S$라면, $S$는 최소원소 $s(k)$를 가지게 되므로 $s(k)\notin S$이다. 따라서 $s(k)\in T$이다. $k\in P\land s(k)\in T$이므로 $s(k)\in P$이다. 따라서 $\forall k\in\mathbb{N},\;k\in P\Rightarrow s(k)\in P$이며, $0\in P$이므로 $P=\mathbb{N}$이다. 따라서 $T=\mathbb{N}$이고, 이로 인해 $S=\varnothing$인데, 이는 처음의 가정에 모순되므로 최소원소를 가지지 않는 $\mathbb{N}$의 공집합이 아닌 부분집합 $S$는 존재할 수 없다. 따라서 귀류법에 의해 정렬성의 원리는 참이다.

 

정렬성의 원리에 의해 $(\mathbb{N},\leq)$는 정렬순서집합이 된다.

 

추가로, 앞으로 해석학 카테고리의 글에서 언급하는 모든 자연수는 $0$을 포함한 개념임을 알린다.