해석학, 그 다섯 번째 이야기 | 실수의 정의

드디어 해석학에서 주로 다루게 될 대상인 실수를 정의할 준비가 끝났다. 실수를 정의하는 방법은 많은 방법이 있지만, 이 글에서는 데데킨트 절단을 이용한 정의를 소개할 것이다.

 

데데킨트 절단이란 다음 조건을 만족하는 유리수 집합 $\mathbb{Q}$의 부분집합 $A$를 말한다.

 

1) $A\not=\varnothing$      2) $A\not=\mathbb{Q}$      3) $\forall x,y\in\mathbb{Q},\;x<y\land y\in A\Rightarrow x\in A$      4) $\forall x\in A,\;\exists y>x\;s.t.\;y\in A$

 

실수 집합 $\mathbb{R}$은 위에서 소개한 데데킨트 절단의 집합으로 정의한다. 이때, 유리수 $x$에서 $\{y<x|y\in\mathbb{Q}\}$로 대응되는 자연스러운 대응관계를 만들 수 있으며, 아래에서 정의하는대로 실수의 연산을 정의하면 $\mathbb{R}$의 부분집합 $\{\{x<y|x\in\mathbb{Q}\}|y\in\mathbb{Q}\}$과 $\mathbb{Q}$가 동형임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 임의의 실수 $X$가 $\exists x\in\mathbb{Q}\;x.t.\;X=\{y<x|y\in\mathbb{Q}\}$를 만족한다면 실수 $X$ 역시 유리수라고 부르는 것이 자연스럽다.

 

다음은 실수의 순서관계이다.

 

실수에서는 다음과 같이 순서관계를 정의한다.$$X\leq Y\Leftrightarrow X\subseteq Y$$

 

또한, 실수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

 

1. 덧셈 :$$X+Y=\{x+y|x\in X\land y\in Y\}$$      2. 곱셈 :     $$X,Y\geq0\text{인 경우, }X\times Y=\{xy|0\leq x\in X\land0\leq y\in Y\}\cup\{q<0|q\in\mathbb{Q}\}\\ X,Y\leq0\text{인 경우, }X\times Y=|X|\times|Y|\\ \text{그 외의 경우, }X\times Y=-(|X|\times|Y|)$$

 

이떄, 실수 $X$의 절댓값 $|X|$는 $X\cup(-X)$으로 정의된다.

뺄셈과 나눗셈은 각각 덧셈의 역원과의 덧셈과 곱셈의 역원과의 곱셈으로 정의된다. 또한, 거듭제곱은 유리수에서의 정의와 같은 방식으로 정의된다. 또한 지수법칙 역시 만족하는 것이 자연스러우며 실제로도 만족한다. 지수를 실수로 확장하는 것은 추후에 포스팅할 예정이다.

 

또한, 위의 정의대로 연산을 정의할 때, 다음과 같은 법칙들이 성립한다.

 

1. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙 :$$\forall X,Y\in\mathbb{R},\;X+Y=Y+X\\     \forall X,Y,Z\in\mathbb{R}.\;(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$$      2. 곱셈의 교환법칙과 결합법칙 :$$\forall X,Y\in\mathbb{R},\;X\times Y=Y\times X\\     \forall X,Y,Z\in\mathbb{R},\;(X\times Y)\times Z=X\times(Y\times Z)$$      3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 :$$\forall X,Y,Z\in\mathbb{R},\;X\times(Y+Z)=X\times Y+X\times Z$$

 

다음은 위의 연산법칙들에 대한 증명이다. 

 

Part 1. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙 :

$$X+Y=\{x+y|x\in X\land y\in Y\}=\{y+x|y\in Y\land x\in X\}=Y+X$$

$$(X+Y)+Z=\{(x+y)+z|x\in X\land y\in Y\land z\in Z\}=\{x+(y+z)|x\in X\land y\in Y\land z\in Z\}=X+(Y+Z)$$

 

Part 2. 곱셈의 교환법칙과 결합법칙 :

곱셈의 연산법칙들에 대한 증명은 $X$, $Y$, $Z$가 $0$ 이상인 경우일 때만 논의하면 그 외의 경우도 같은 방식으로 서술하면 증명이 되므로 음이 아닌 실수에 대해서만 증명하도록 하겠다. 또한, 증명의 편의를 위해 $\{q<0|q\in\mathbb{Q}\}$를 $0^*$이라고 하자.

$$X\times Y=\{xy|0\leq x\in X\land0\leq y\in Y\}\cup0^*=\{yx|0\leq y\in Y\land0\leq x\in X\}\cup0^*=Y\times X$$

$$\begin{array} {ll} (X\times Y)\times Z &=\{(xy)z|0\leq x\in X\land0\leq y\in Y\land0\leq z\in Z\}\cup0^*\\ &=\{x(yz)|0\leq x\in X\land0\leq y\in Y\land0\leq z\in Z\}\cup0^*=X\times(Y\times Z)\end{array}$$

Part 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 :

이 역시 $X$가 $0$ 이상인 경우에 대해서만 논의하도록 하겠다.

$X\times(Y+Z) =\{x(y+z)|0\leq x\in X\land0\leq y+z\land y\in Y\land z\in Z\}\cup0^*\\ =\{a+b|a\in\{xy|0\leq x\in X\land0\leq y\in Y\}\cup0^*\land b\in\{xz|0\leq x\in X\land 0\leq z\in Z\}\cup0^*\}\\ =X\times Y+X\times Z$

 

또한, 실수 역시 유리수의 성질인 조밀성을 만족하며 그에 대한 증명은 유리수의 조밀성 증명과 완전히 같은 논리를 사용하므로 서술하지 않겠다. 그리고 실수는 유리수가 만족하지 않는 성질을 만족하는데, 최소상계성질이라는 성질을 만족한다. 다음은 실수의 최소상계성질과 그에 대한 증명이다.

 

Property 1. 최소상계성질 (Least-Upper-Bound Property)

$\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합 $A$가 상계를 가지면 $A$는 상한을 가진다.

 

Proof:

실수집합 $\mathbb{R}$의 상계가 존재하는 공집합이 아닌 부분집합 $A$를 잡고, $A$의 모든 원소 $\alpha$의 합집합을 $\Gamma$로 정의하자. 그러면 $\Gamma\not=\varnothing$임은 자명하다. 또한, $\Gamma$가 $A$의 모든 원소 $\alpha$의 합집합이므로 $p\in\Gamma\Leftrightarrow\exists\alpha\in A\;s.t.\;p\in\alpha$가 성립함은 자명하다. $A$가 상계를 가지므로 $A$의 상계 $\beta$를 잡자. $p\in\Gamma$이면 $p\in\alpha$인 $\alpha\in A$가 존재하므로 $\alpha\leq\beta$로부터 $p\in\beta$임이 자명하다. 즉, $\Gamma\subseteq\beta$이다. 이때, $\beta\in\mathbb{R}$이므로 $\beta\subsetneq\mathbb{Q}$이다. 따라서 $\Gamma\subsetneq\mathbb{Q}$이다. 또한, $\Gamma$의 정의에 의해 $\Gamma$가 데데킨트 절단이 되기 위한 조건 3)과 4)를 만족함은 자명하므로 $\Gamma$는 하나의 실수이다. 또한, $A$의 모든 원소 $\alpha$에 대해 $\alpha\subseteq\Gamma$이므로 $\alpha\leq\Gamma$이며 이는 $\Gamma$가 $A$의 상계임을 의미한다. 또한, 어떤 실수 $\delta$에 대해 $\delta<\Gamma$라면 $\delta\subsetneq\Gamma$이므로 $\Gamma$의 원소이면서 $\delta$의 원소는 아닌 $s\in\mathbb{Q}$가 존재한다. $s\in\Gamma$이므로 $s\in\alpha\in A$인 실수 $\alpha$가 존재한다. 따라서 $\delta<\alpha$를 만족하는 $\alpha\in A$가 존재하므로 $\delta$는 $A$의 상계가 될 수 없다. 따라서 $\Gamma$는 $A$의 상한이다. 즉, 상계를 가지는 공집합이 아닌 $A\subset\mathbb{R}$은 언제나 상한을 가진다.

 

그렇다면 위 성질이 대체 왜 중요한 것일까? 저 성질이 바로 유리수와 실수를 구분할 수 있게 해주는 성질이기 때문이다. 실수는 위에서 보였다시피 최소상계성질을 만족하지만, 유리수는 최소상계성질을 만족하지 않는다. 정말로 그런지 반례를 들어 확인해보자.

 

Counterexample

유리수 집합 $\mathbb{Q}$의 부분집합 $A=\{t\in\mathbb{Q}\;|\;t^2<2\}$를 생각하자. 이제 $A$의 상한이 존재한다고 가정하고 그것을 $\alpha$라고 하자. 이때, 유리수를 제곱해서 $2$가 될 수는 없으므로 $\alpha^2$은 $2$가 될 수 없다. 따라서 $\alpha^2<2$ 또는 $\alpha^2>2$이다. 먼저, $\alpha^2<2$라고 가정하자. 그러면 실수의 조밀성에 의해서 $\alpha$와 $\sqrt{2}$ 사이에는 유리수가 존재한다. 이는 $\alpha$가 $A$의 상한이라는 가정에 모순된다. 이번엔 $\alpha>\sqrt{2}$라고 가정하자. 그러면 이번에도 역시 실수의 조밀성에 의해 $\alpha$와 $\sqrt{2}$ 사이에는 유리수가 존재한다. 따라서 $\alpha$보다 작은 $A$의 상계가 존재하며, 이는 $\alpha$가 $A$의 상한이라는 가정에 모순된다. 따라서 $A$의 상한은 존재할 수 없다. $\blacksquare$

 

추가로, 다음을 만족하는 $\mathbb{R}$의 부분집합 $I$를 구간 (Interval)이라고 한다.

$$\forall a,b \in I, \; \forall t \in \{ t \;|\; 0<t<1 \}, \; ta + (1-t)b \in I$$

 

또한, 다음과 같은 구간 $\left[ a,b \right]$를 닫힌 구간 (Closed Interval)이라고 하며, 구간 $(a,b)$를 열린 구간 (Open Interval)이라고 한다.

$$\left[ a,b \right] = \{ t \in \mathbb{R} \;|\; a \leq t \leq b \} \\ (a,b) = \{ t \in \mathbb{R} \;|\; a < t < b \}$$

또한, 열린 구간에서 $a$는 $-\infty$도 될 수 있으며, $b$는 $\infty$ 역시 될 수 있다.

추가적으로, $[ a,b ) = \{ t \in \mathbb{R} \;|\; a \leq t < b \}$나 $( a,b ] = \{ t \in \mathbb{R} \;|\; a < t \leq b \}$와 같이 나타내기도 한다.

 

이제 마지막으로 구간의 길이에 대해 이야기 할 차례이다.

임의의 구간 $I$의 길이 $\mu (I)$는 다음과 같이 정의한다.

$$\mu (I) = \inf \{ b-a \;|\; I \subseteq ( a,b ) \land a \leq b \}$$