해석학, 그 다섯 번째 이야기 | 실수의 정의
드디어 해석학에서 주로 다루게 될 대상인 실수를 정의할 준비가 끝났다. 실수를 정의하는 방법은 많은 방법이 있지만, 이 글에서는 데데킨트 절단을 이용한 정의를 소개할 것이다.
데데킨트 절단이란 다음 조건을 만족하는 유리수 집합
1) 2) 3) 4) |
실수 집합
다음은 실수의 순서관계이다.
실수에서는 다음과 같이 순서관계를 정의한다. |
또한, 실수의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의된다.
1. 덧셈 : 2. 곱셈 : |
이떄, 실수
뺄셈과 나눗셈은 각각 덧셈의 역원과의 덧셈과 곱셈의 역원과의 곱셈으로 정의된다. 또한, 거듭제곱은 유리수에서의 정의와 같은 방식으로 정의된다. 또한 지수법칙 역시 만족하는 것이 자연스러우며 실제로도 만족한다. 지수를 실수로 확장하는 것은 추후에 포스팅할 예정이다.
또한, 위의 정의대로 연산을 정의할 때, 다음과 같은 법칙들이 성립한다.
1. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙 : 2. 곱셈의 교환법칙과 결합법칙 : 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 : |
다음은 위의 연산법칙들에 대한 증명이다.
Part 1. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙 :
Part 2. 곱셈의 교환법칙과 결합법칙 :
곱셈의 연산법칙들에 대한 증명은
Part 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 :
이 역시
또한, 실수 역시 유리수의 성질인 조밀성을 만족하며 그에 대한 증명은 유리수의 조밀성 증명과 완전히 같은 논리를 사용하므로 서술하지 않겠다. 그리고 실수는 유리수가 만족하지 않는 성질을 만족하는데, 최소상계성질이라는 성질을 만족한다. 다음은 실수의 최소상계성질과 그에 대한 증명이다.
Property 1. 최소상계성질 (Least-Upper-Bound Property)
Proof:
실수집합
그렇다면 위 성질이 대체 왜 중요한 것일까? 저 성질이 바로 유리수와 실수를 구분할 수 있게 해주는 성질이기 때문이다. 실수는 위에서 보였다시피 최소상계성질을 만족하지만, 유리수는 최소상계성질을 만족하지 않는다. 정말로 그런지 반례를 들어 확인해보자.
Counterexample
유리수 집합
추가로, 다음을 만족하는
또한, 다음과 같은 구간
또한, 열린 구간에서
추가적으로,
이제 마지막으로 구간의 길이에 대해 이야기 할 차례이다.
임의의 구간
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