해석학, 그 네 번째 이야기 | 유리수의 정의

이전 글에서 정수와 그의 연산을 정의했다. 예상했다시피 정수 다음엔 유리수를 정의한다. 이번 글에서는 유리수의 정의에 대해 알아볼 것이다. 유리수를 정의하기 전에 미리 정의해야 하는 것이 있다. 다음 관계가 바로 그것이다.

 

유리수를 정의하기 위해 우리는 $\mathbb{Z}\times\left(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right)$에 다음 동치관계를 부여할 것이다. $$(a,b)\sim(a^*,b^*)\Leftrightarrow ab^*=a^*b$$

 

유리수 집합 $\mathbb{Q}$는 위에서 정의한 동치관계에 대한 $\mathbb{Z}\times\left(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right)$의 몫집합 $\mathbb{Z}\times\left(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right)/\sim$으로 정의한다. 이때, 정수 $a$에서 $[(a,1)]_{\sim}$으로 대응되는 자연스러운 대응관계를 만들 수 있으며, 아래에서 정의하는대로 유리수의 연산을 정의하면 $\mathbb{Q}$의 부분집합 $\{[(a,1)]_{\sim}|a\in\mathbb{Z}\}$은 $\mathbb{Z}$와 동형임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 임의의 유리수 $[(a,b)]_{\sim}$이 $\exists k\in\mathbb{Z}\;s.t.\;a=kb$를 만족한다면 $[(a,b)]_{\sim}$ 역시 정수라고 부르는 것이 자연스럽다.

 

다음은 유리수의 순서관계이다.

 

유리수에서의 순서관계는 다음을 만족하도록 정의한다. 1) $\forall a,b\in\mathbb{Z},\;ab\leq0\Leftrightarrow[(a,b)]_{\sim}\leq0$ 2) $\forall x,y\in\mathbb{Q},\;x-y\leq0\Leftrightarrow x\leq y$

 

이때, $0$보다 큰 유리수를 양의 유리수라고 하고 $0$보다 작은 유리수를 음의 유리수라고 한다.

 

다음은 유리수의 사칙연산 즉, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 정의이다.

 

1. 덧셈 : $$[(a,b)]_{\sim}+[(a^*,b^*)]_{\sim}=[(ab^*+a^*b,bb^*)]_{\sim}$$ 2. 뺄셈 : $$[(a,b)]_{\sim}-[(a^*,b^*)]_{\sim}=[(ab^*-a^*b,bb^*)]_{\sim}$$ 3. 곱셈 : $$[(a,b)]_{\sim}\times[(a^*,b^*)]_{\sim}=[(aa^*,bb^*)]_{\sim}$$ 4. 나눗셈 : $$\frac{[(a,b)]_{\sim}}{[(a^*,b^*)]_{\sim}}=[(ab^*,a^*b)]_{\sim}\text{ 단, }a^*\not=0$$

 

또한, 유리수에서는 정수에서와 달리 음의 정수 지수도 정의한다. 다만, 정수가 아닌 유리수 지수는 정의하지 않는다. 다음은 유리수의 거듭제곱의 정의이다. 단, 밑이 $0$인 경우에는 $0$ 이하의 정수 지수는 정의하지 않는다.

 

$$[(a,b)]_{\sim}^n=\begin{cases} [(a^n,b^n)]_{\sim}&\mbox{if }0\leq n\\ [(b^n,a^n)]_{\sim}&\mbox{otherwise}\end{cases}$$

 

위의 정의대로 유리수의 연산을 정의하면 다음과 같은 연산법칙이 성립한다.

 

1. 덧셈의 결합법칙, 교환법칙 : $$\forall x,y,z\in\mathbb{Q},\;(x+y)+z=x+(y+z)\\ \forall x,y\in\mathbb{Q},\;x+y=y+x$$ 2. 뺄셈과 덧셈의 관계 : $$\forall x,y\in\mathbb{Q},\;x-y=x+(-y)$$ 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 : $$\forall x,y,z\in\mathbb{Q},\;x\times(y+z)=xy+xz$$ 4. 곱셈의 결합법칙, 교환법칙 : $$\forall x,y,z\in\mathbb{Q},\;(x\times y)\times z=x\times(y\times z)\\ \forall x,y\in\mathbb{Q},\;xy=yx$$ 5. 나눗셈과 곱셈의 관계 : $$\forall x,y\in\mathbb{Q},\;y=0\lor(\frac{x}{y}=xy^{-1})$$ 6. 지수법칙 : $$\forall x\in\mathbb{Q},\;\forall n,m\in\mathbb{Z},\;x=0\lor(x^{n+m}=x^nx^m)\\ \forall x\in\mathbb{Q},\;\forall n,m\in\mathbb{Z},\;x=0\lor(x^{nm}=(x^n)^m)$$

 

다음은 위의 연산법칙들에 대한 증명이다. 증명의 편의성을 위해 $x=[(x_1,x_2)]_{\sim}$, $y=[(y_1,y_2)]_{\sim}$, $z=[(z_1,z_2)]_{\sim}$이라고 하자. 또한, 지수법칙은 자연수에서의 논의의 반복이므로 제외하였다.

 

Part 1. 덧셈의 결합법칙, 교환법칙

$\begin{array} {ll} (x+y)+z & =[(x_1y_2+x_2y_1,x_2y_2)]_{\sim}+[(z_1,z_2)]_{\sim}=[(x_1y_2z_2+x_2y_1z_2+x_2y_2z_1,x_2y_2z_2)]_{\sim}\\ &=[(x_1,x_2)]_{\sim}+[(y_1z_2+y_2z_1,y_2z_2)]_{\sim}=x+(y+z)\end{array}$

$x+y=[(x_1y_2+x_2y_1,x_2y_2)]_{\sim}=[(y_1x_2+y_2x_1,y_2x_2)]_{\sim}=y+x$

 

Part 2. 뺄셈과 덧셈의 관계

$x-y=[(x_1y_2-x_2y_1,x_2y_2)]_{\sim}=[(x_1,x_2)]_{\sim}+[(-y_1,y_2)]_{\sim}$이다.

그런데, $[(y_1,y_2)]_{\sim}+[(-y_1,y_2)]_{\sim}=[(y_1y_2+y_2(-y_1),y_2^2)]_{\sim}=0$이므로 $[(-y_1,y_2)]_{\sim}=-y$이다.

따라서 $x-y=x+(-y)$이다.

 

Part 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙

$\begin{array} {ll} x\times(y+z) & =x\times[(y_1z_2+y_2z_1,y_2z_2)]_{\sim}=[(x_1y_1z_2+x_1y_2z_1,x_2y_2z_2)]_{\sim} \\ & =[(x_1y_1,x_2y_2)]_{\sim}+[(x_1z_1,x_2z_2)]_{\sim}=xy+xz\end{array}$

 

Part 4. 곱셈의 결합법칙, 교환법칙

$(x\times y)\times z=[((x_1y_1)z_1,(x_2y_2)z_2)]_{\sim}=[(x_1(y_1z_1),x_2(y_2z_2))]_{\sim}=x\times(y\times z)$

$xy=[(x_1y_1,x_2y_2)]_{\sim}=[(y_1x_1,y_2x_2)]_{\sim}=yx$

 

Part 5. 나눗셈과 곱셈의 관계

$\frac{x}{y}=[(x_1y_2,x_2y_1)]_{\sim}=[(x_1,x_2)]_{\sim}\times[(y_2,y_1)]_{\sim}$이다.

그런데, $[(y_1,y_2)]_{\sim}\times[(y_2,y_1)]_{\sim}=[(y_1y_2,y_1y_2)]_{\sim}=[(1,1)]_{\sim}=1$이므로 $[(y_2,y_1)]_{\sim}=y^{-1}$이다.

따라서 $\frac{x}{y}=xy^{-1}$이다.

 

또한, 유리수는 조밀성이라는 성질을 갖는다. 다음은 유리수의 조밀성과 그에 대한 증명이다. 

 

$$\forall x,y\in\mathbb{Q},\;\exists z\in\mathbb{Q}\;s.t.\;x<z<y$$

 

$z=\frac{x+y}{2}$를 생각하자. 그러면 $2x<2z=x+y<2y$이므로 $x<z<y$가 성립한다. $\blacksquare$