해석학, 그 여섯 번째 이야기 | 복소수의 정의

해석학에서 주로 실수를 다루기는 하지만 실수 범위에서는 해결할 수 없는 문제들이 존재한다. 예를 들면 실수 범위 내에서는 방정식 $x^2+1=0$의 해를 찾을 수 없다. 우리는 이를 해결하기 위해서 그 어떠한 형태의 대수방정식이라고 하더라도 해를 찾을 수 있는 수의 체계를 도입해야 한다. 우리는 그것을 복소수라고 부르며, 이는 아래에서 서술하는 내용들로 정의한다.

 

복소수 집합 $\mathbb{C}$는 ${\mathbb{R}}^2$으로 정의된다. 이때, 실수 $x$에서 복소수 $(x,0)$으로 대응되는 자연스러운 대응관계를 만들 수 있으며, 아래에서 정의하는대로 복소수의 연산을 정의하면 $\mathbb{C}$의 부분집합 $\{(x,0)|x\in \mathbb{R}\}$와 $\mathbb{R}$이 동형임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 임의의 복소수 $(x,y)$가 $y=0$을 만족한다면 복소수 $(x,y)$ 역시 실수라고 부르는 것이 자연스럽다.

 

다음은 복소수의 연산이다.

 

1. 덧셈 : $$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$ 2. 곱셈 : $$(x_1,y_1)\times (x_2,y_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1)$$ 3. 켤레 : $$\overline{(x,y)}=(x,-y)$$ 4. 절댓값 : $$|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}$$

 

위와 같이 복소수의 연산을 정의하면 $x^2+1=0$의 해가 두 개 존재하게 되는데, 이 중 $(0,1)$를 우리는 $i$라고 부르며, 이로부터 $(x,y)$를 $x+yi$와 같이 나타내는 것에 대한 정당성을 보일 수 있다. 또한, 위와 같이 복소수의 연산을 정의하면 다음과 같은 연산법칙들이 성립한다.

 

1. 덧셈의 교환법칙, 결합법칙 : $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }X,Y\in \mathbb{C},X+Y=Y+X \\ \mathrm{\forall }X,Y,Z\in \mathbb{C},(X+Y)+Z=X+(Y+Z) \end{gathered}$$ 2. 곱셈의 교환법칙, 결합법칙 : $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }X,Y\in \mathbb{C},X\times Y=Y\times X \\ \mathrm{\forall }X,Y,Z\in \mathbb{C},(X\times Y)\times Z=X\times (Y\times Z) \end{gathered}$$ 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 : $$\mathrm{\forall }X,Y,Z\in \mathbb{C},X\times (Y+Z)=X\times Y+X\times Z$$ 4. 켤레와 덧셈, 곱셈의 관계 : $$\begin{gathered} \mathrm{\forall }X,Y\in \mathbb{C},\overline{X+Y}=\bar{X}+\bar{Y} \\ \mathrm{\forall }X,Y\in \mathbb{C},\overline{X\times Y}=\bar{X}\times \bar{Y} \end{gathered}$$ 5. 곱셈과 절댓값의 관계 : $$\mathrm{\forall }X,Y\in \mathbb{C},|X\times Y|=|X|\times |Y|$$ 6. 켤레와 절댓값의 관계 : $$\mathrm{\forall }X\in \mathbb{C},X\times \bar{X}=|X{|}^2$$

 

다음은 위의 연산법칙들에 대한 증명이다. 증명의 편의를 위해 $X=(x_1,x_2)$, $Y=(y_1,y_2)$, $Z=(z_1,z_2)$라고 하자.

 

Part 1. 덧셈의 교환법칙, 결합법칙 :

$$X+Y=(x_1+y_1,x_2+y_2)=(y_1+x_1,y_2+x_2)=Y+X$$

$$\begin{array}{ll}(X+Y)+Z& =((x_1+y_1)+z_1,(x_2+y_2)+z_2)\\ & =(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2))=X+(Y+Z)\end{array}$$

 

Part 2. 곱셈의 교환법칙, 결합법칙 :

$$X\times Y=(x_1{y}_1-x_2{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1)=(y_1{x}_1-y_2{x}_2,y_1{x}_2+y_2{x}_1)=Y\times X$$

$$\begin{gathered} (X\times Y)\times Z=((x_1{y}_1-x_2{y}_2)z_1-(x_1{y}_2+x_2{y}_1)z_2,(x_1{y}_1-x_2{y}_2)z_2+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)z_1) \\ =(x_1(y_1{z}_1-y_2{z}_2)-x_2(y_1{z}_2+y_2{z}_1),x_1(y_1{z}_2+y_2{z}_1)+x_2(y_1{z}_1-y_2{z}_2))=X\times (Y\times Z) \end{gathered}$$

 

Part 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 :

$$\begin{gathered} X\times (Y+Z)=(x_1(y_1+z_1)-x_2(y_2+z_2),x_1(y_2+z_2)+x_2(y_1+z_1)) \\ =((x_1{y}_1-x_2{y}_2)+(x_1{z}_1-x_2{z}_2),(x_1{y}_2+x_2{y}_1)+(x_1{z}_2+x_2{z}_1))=X\times Y+X\times Z \end{gathered}$$

 

Part 4. 켤레와 덧셈, 곱셈의 관계 :

$$\overline{X+Y}=(x_1+y_1,-x_2-y_2)=(x_1,-x_2)+(y_1,-y_2)=\bar{X}+\bar{Y}$$

$$\overline{X\times Y}=(x_1{y}_1-x_2{y}_2,-x_1{y}_2-x_2{y}_1)=(x_1,-x_2)\times (y_1,-y_2)=\bar{X}\times \bar{Y}$$

 

Part 5. 곱셈과 절댓값의 관계 :

$$\begin{array}{ll}|XY|& =\sqrt{(x_1{y}_1-x_2{y}_2{)}^2+(x_1{y}_2+x_2{y}_1{)}^2}\\ & =\sqrt{(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)}=|X||Y|\end{array}$$

 

Part 6. 켤레와 절댓값의 관계 :

$$X\bar{X}=(x_1^2+x_2^2,0)=|X{|}^2$$

 

또한, 복소수는 흔히 생각하는 방법으로는 순서관계를 정의할 수 없다. 순서체에 대한 이야기는 추후에 포스팅할 예정이며 해당 글에서 이에 대한 언급을 할 예정이다.