해석학, 그 여섯 번째 이야기 | 복소수의 정의

해석학에서 주로 실수를 다루기는 하지만 실수 범위에서는 해결할 수 없는 문제들이 존재한다. 예를 들면 실수 범위 내에서는 방정식 $x^2+1=0$의 해를 찾을 수 없다. 우리는 이를 해결하기 위해서 그 어떠한 형태의 대수방정식이라고 하더라도 해를 찾을 수 있는 수의 체계를 도입해야 한다. 우리는 그것을 복소수라고 부르며, 이는 아래에서 서술하는 내용들로 정의한다.

 

복소수 집합 $\mathbb{C}$는 $\mathbb{R}^2$으로 정의된다. 이때, 실수 $x$에서 복소수 $(x,0)$으로 대응되는 자연스러운 대응관계를 만들 수 있으며, 아래에서 정의하는대로 복소수의 연산을 정의하면 $\mathbb{C}$의 부분집합 $\{(x,0)|x\in\mathbb{R}\}$와 $\mathbb{R}$이 동형임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 임의의 복소수 $(x,y)$가 $y=0$을 만족한다면 복소수 $(x,y)$ 역시 실수라고 부르는 것이 자연스럽다.

 

다음은 복소수의 연산이다.

 

1. 덧셈 : $$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$ 2. 곱셈 : $$(x_1,y_1)\times(x_2,y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1)$$ 3. 켤레 : $$\overline{(x,y)}=(x,-y)$$ 4. 절댓값 : $$|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}$$

 

위와 같이 복소수의 연산을 정의하면 $x^2+1=0$의 해가 두 개 존재하게 되는데, 이 중 $(0,1)$를 우리는 $i$라고 부르며, 이로부터 $(x,y)$를 $x+yi$와 같이 나타내는 것에 대한 정당성을 보일 수 있다. 또한, 위와 같이 복소수의 연산을 정의하면 다음과 같은 연산법칙들이 성립한다.

 

1. 덧셈의 교환법칙, 결합법칙 : $$\forall X,Y\in\mathbb{C},\;X+Y=Y+X\\ \forall X,Y,Z\in\mathbb{C},\;(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$$ 2. 곱셈의 교환법칙, 결합법칙 : $$\forall X,Y\in\mathbb{C},\;X\times Y=Y\times X\\ \forall X,Y,Z\in\mathbb{C},\;(X\times Y)\times Z=X\times(Y\times Z)$$ 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 : $$\forall X,Y,Z\in\mathbb{C},\;X\times(Y+Z)=X\times Y+X\times Z$$ 4. 켤레와 덧셈, 곱셈의 관계 : $$\forall X,Y\in\mathbb{C},\;\overline{X+Y}=\overline{X}+\overline{Y}\\ \forall X,Y\in\mathbb{C},\;\overline{X\times Y}=\overline{X}\times\overline{Y}$$ 5. 곱셈과 절댓값의 관계 : $$\forall X,Y\in\mathbb{C},\;|X\times Y|=|X|\times|Y|$$ 6. 켤레와 절댓값의 관계 : $$\forall X\in\mathbb{C},\;X\times\overline{X}=|X|^2$$

 

다음은 위의 연산법칙들에 대한 증명이다. 증명의 편의를 위해 $X=(x_1,x_2)$, $Y=(y_1,y_2)$, $Z=(z_1,z_2)$라고 하자.

 

Part 1. 덧셈의 교환법칙, 결합법칙 :

$$X+Y=(x_1+y_1,x_2+y_2)=(y_1+x_1,y_2+x_2)=Y+X$$

$$\begin{array}{ll}(X+Y)+Z&=((x_1+y_1)+z_1,(x_2+y_2)+z_2)\\&=(x_1+(y_1+z_1),x_2+(y_2+z_2))=X+(Y+Z)\end{array}$$

 

Part 2. 곱셈의 교환법칙, 결합법칙 :

$$X\times Y=(x_1y_1-x_2y_2,x_1y_2+x_2y_1)=(y_1x_1-y_2x_2,y_1x_2+y_2x_1)=Y\times X$$

$$(X\times Y)\times Z=((x_1y_1-x_2y_2)z_1-(x_1y_2+x_2y_1)z_2,(x_1y_1-x_2y_2)z_2+(x_1y_2+x_2y_1)z_1)\\ =(x_1(y_1z_1-y_2z_2)-x_2(y_1z_2+y_2z_1),x_1(y_1z_2+y_2z_1)+x_2(y_1z_1-y_2z_2))=X\times(Y\times Z)$$

 

Part 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 :

$X\times(Y+Z)=(x_1(y_1+z_1)-x_2(y_2+z_2),x_1(y_2+z_2)+x_2(y_1+z_1))\\=((x_1y_1-x_2y_2)+(x_1z_1-x_2z_2),(x_1y_2+x_2y_1)+(x_1z_2+x_2z_1))=X\times Y+X\times Z$

 

Part 4. 켤레와 덧셈, 곱셈의 관계 :

$$\overline{X+Y}=(x_1+y_1,-x_2-y_2)=(x_1,-x_2)+(y_1,-y_2)=\overline{X}+\overline{Y}$$

$$\overline{X\times Y}=(x_1y_1-x_2y_2,-x_1y_2-x_2y_1)=(x_1,-x_2)\times(y_1,-y_2)=\overline{X}\times\overline{Y}$$

 

Part 5. 곱셈과 절댓값의 관계 :

$$\begin{array}{ll}|XY|&=\sqrt{(x_1y_1-x_2y_2)^2+(x_1y_2+x_2y_1)^2}\\&=\sqrt{(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)}=|X||Y|\end{array}$$

 

Part 6. 켤레와 절댓값의 관계 :

$$X\overline{X}=(x_1^2+x_2^2,0)=|X|^2$$

 

또한, 복소수는 흔히 생각하는 방법으로는 순서관계를 정의할 수 없다. 순서체에 대한 이야기는 추후에 포스팅할 예정이며 해당 글에서 이에 대한 언급을 할 예정이다.