해석학, 그 여덟 번째 이야기 | 거리공간 ( Metric Space )

거리공간이란, 임의의 두 점 사이의 거리함수가 잘 정의된 집합으로, 그 어떤 두 점을 뽑아도 그 사이의 거리를 알 수 있는 집합을 말한다. 물론 아무 함수나 다 거리함수가 될 수 있는 것은 아니고, 몇 가지 조건을 만족해야만 거리함수가 될 수 있다. 그럼 거리함수가 무엇이고, 거리공간이 무엇인지 알아보도록 하자.

 

Definition 1.

어떤 집합 $X$와 함수 $d:X\times X\to \mathbb{R}$가 주어졌다고 하자. 만약 함수 $d$가 임의의 $p,q,r\in X$에 대하여 다음 세 가지 조건을 모두 만족시킨다면 함수 $d$를 거리함수 (Metric; Distance Function)라고 부르며, 이러한 거리함수가 정의된 집합 $X$를 거리공간 (Metric Space)이라고 한다. (1) $d(p,q)\ge 0\wedge (d(p,q)=0\iff p=q)$ (2) $d(p,q)=d(q,p)$ (3) $d(p,q)+d(q,r)\ge d(p,r)$

 

위와 같이 정의된 거리공간은 해석학에서 중요하게 다루는 대상이며, 거리공간을 더 일반화한 위상공간을 다루는 학문을 위상수학이라고 한다. 거리공간은 어떻게 보면 실수집합을 확장한 개념이라고도 볼 수 있는데, 그렇기 때문에 실수집합에서의 닫힌구간과 열린구간과 같이 거리공간에서는 닫힌집합과 열린집합을 정의할 수 있다. 이에 대해서는 이 글에서 자세하게 다뤘으니 궁금하다면 한번 읽어보는 것을 추천한다.