해석학, 그 아홉번째 이야기 | 거리공간에서의 열린집합과 닫힌집합 ( Open Sets & Closed Sets for Metric Space )

이번 글에서는 글의 제목에서 알 수 있듯이 열린집합과 닫힌집합에 대해 다뤄볼 것이다. 열린 집합과 닫힌 집합을 정의하기 전에 해당 개념들을 정의하기 위해 필요한 개념들을 먼저 알아보자.

 

Definition 1.

거리공간 $X$와 그 위의 점 $p \in X$가 주어졌다고 하자. 이때, 양수 $r > 0$에 대하여 집합 $N_r(p) = \{ q \;|\; q \in X \land d(p,q) < r \}$을 점 $p$의 근방 (Neighborhood)이라고 하며, $r$을 근방 $N_r(p)$의 반지름이라고 한다. 또한, 앞으로의 서술의 편의를 위해 $N_r(p) \setminus \{ p \}$를 $N'_r(p)$로 나타내기로 하자.

 

Definition 2.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 만약 어떤 점 $p \in X$가 다음을 만족한다면, 이러한 점 $p$를 $E$의 Limit Point라고 한다. $$ \forall r > 0, \; N'_r(p) \cap E \neq \varnothing $$

 

Definition 3.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 만약 어떤 점 $p \in E$가 다음을 만족한다면, 이러한 점 $P$를 $E$의 Interior Point라고 한다. 또한, $E^\mathsf{c}$의 interior point를 $E$의 Exterior Point라고 한다. $$ \exists r > 0 \text{ s.t. } N_r(p) \subseteq E $$ 이때, $E^\mathsf{c}$는 $E$의 여집합 (Complement)을 나타내며, 이는 $X \setminus E$를 말한다.

 

이제 집합이 열려있다는 것이 무엇인지, 집합이 닫혀있다는 것이 무엇인지에 대해 알아볼 차례이다. 열린집합과 닫힌집합은 다음과 같이 정의된다.

 

Definition 4.

거리공간 $X$의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 만약 $E$의 모든 점이 $E$의 interior point라면, $E$가 열려있다 (Open)고 하며, 이러한 집합을 열린집합 (Open Set)이라고 한다.

 

Definition 5.

거리공간 $X$의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 만약 $E$의 모든 limit point가 $E$의 원소라면, $E$가 닫혀있다 (Closed)고 하며, 이러한 집합을 닫힌집합 (Closed Set)이라고 한다.

 

직관과는 달리, 열려있다는 개념과 닫혀있다는 개념은 서로 반대되는 개념이 아니며, 열려있으면서 동시에 닫혀있는 집합도 존재하고, 열려있지도, 닫혀있지도 않은 집합 역시 존재한다. 다음의 예시들은 이러한 집합들의 예시이며, 이 네 가지의 예시에서 등장하는 모든 집합은 모두 유클리드가 주어진 거리공간 $\mathbb{R}^2$의 부분집합으로 간주한다.

 

Example 1.

$\varnothing$은 열려있으면서 동시에 닫혀있는 집합이다.

먼저, $\varnothing$의 limit point는 존재하지 않으므로 $\varnothing$이 닫힌집합이라는 것은 공허하게 참이다.

또한, $\varnothing$ 위의 점은 존재하지 않으므로 $\varnothing$이 열린집합이라는 것 역시 공허하게 참이다.

 

Example 2.

$E = \{ (x,y) \;|\; x^2 + y^2 < 1 \}$는 열린집합이며, 닫혀있지는 않다.

먼저, $E$의 임의의 점 $\mathbf{x}_0 = (x_0, y_0)$에 대하여, $r = 1 - \sqrt{x_0^2+y_0^2}$를 선택하면, $N_r(\mathbf{x}_0)$ 위의 임의의 점 $\mathbf{x}$에 대하여 $d(\mathbf{0},\mathbf{x}) \leq d(\mathbf{0},\mathbf{x}_0) + d(\mathbf{x}_0,\mathbf{x}) < \sqrt{x_0^2+y_0^2} + r = 1$이다. 따라서 $N_r(\mathbf{x}_0) \subseteq E$이며, 이로 인해 $\mathbf{x}_0 \in E$는 $E$의 interior point라는 것을 알 수 있다. $\mathbf{x}_0$의 선택이 임의적이었으므로 $E$는 열려있다.

이제 점 $\mathbf{x}_1 = (1,0)$을 생각하자. 임의의 양수 $r > 0$에 대하여 점 $\mathbf{y} = ( \max (0, 1 - \frac{r}{2}), 0 )$는 항상 $N'_r ( \mathbf{x}_1 )$ 위에 있으며, 동시에 $E$의 원소임이 자명하므로 $\mathbf{x}_1$은 $E$의 limit point이다. 하지만, $\mathbf{x}_1 \notin E$이므로 $E$는 닫혀있지 않다.

 

Example 3.

$E = \{ (x,y) \;|\; x^2 + y^2 \leq 1 \}$는 닫힌집합이며, 열려있지는 않다.

먼저, $E$ 위의 점 $\mathbf{x}_0 = (1,0)$을 생각하자. 임의의 양수 $r > 0$에 대하여 점 $\mathbf{x} = (1+\frac{r}{2},0)$은 $N_r(\mathbf{x}_0)$ 위의 점이다. 그러나 $\mathbf{x} \notin E$임은 자명하므로 $\mathbf{x}_0 \in E$는 $E$의 interior point가 아니다. 따라서 $E$는 열려있지 않다.

이제 $\mathbb{R}^2$ 위의 임의의 점 $\mathbf{x}_1$을 생각하자. 만약 $d(\mathbf{x}_1, \mathbf{0}) > 1$이라면 $r = d(\mathbf{x}_1,\mathbf{0})-1$을 선택하면, $N_r(\mathbf{x}_1) \subseteq E^\mathsf{c}$임이 자명하므로 $\mathbf{x}_1$은 $E$의 limit point가 될 수 없다. 따라서 $\mathbf{x}_1$이 $E$의 limit point가 되기 위한 필요조건은 $d(\mathbf{x}_1,\mathbf{0}) \leq 1$이며, 이러한 점은 모두 $E$의 원소이므로 $E$의 모든 limit point가 $E$의 원소이다. 따라서 $E$는 닫혀있다.

 

Example 4.

$E = \{ (x,0) \;|\; 0<x\leq1 \}$는 열려있지도, 닫혀있지도 않다.

먼저, $E$ 위의 점 $\mathbf{x}_0 = (1,0)$을 생각하자. 임의의 양수 $r > 0$에 대하여 점 $\mathbf{x} = (1 + \frac{r}{2},0)$가 $N_r(\mathbf{x}_0)$의 원소임은 자명하며, 동시에 $\mathbf{x} \notin E$이므로 $\mathbf{x}_0 \in E$는 $E$의 interior point가 아니다. 따라서 $E$는 열려있지 않다.

이제 점 $\mathbf{0} = (0,0)$을 생각하자. 이때, 임의의 $r > 0$에 대하여 점 $\mathbf{y} = ( \min (1,\frac{r}{2}), 0)$가 $N'_r(\mathbf{0})$의 원소임은 자명하며, 동시에 $\mathbf{y} \in E$임 역시 자명하므로 $\mathbf{0}$은 $E$의 limit point이다. 하지만, $\mathbf{0} \notin E$이므로 $E$는 닫혀있지 않다.

 

이로써 열려있음과 닫혀있음은 논리적으로 아무런 함의관계가 없는 개념임을 알게 되었다. 그렇다고 해서 이 둘이 아무런 관계가 없는 것은 아니다. 다음 정리를 보자.

 

 

Theorem 1.

거리공간 $X$의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 이때, 다음 두 명제는 서로 동치이다. (1) $E$는 열린집합이다. (2) $E^\mathsf{c}$는 닫힌집합이다.

 

Proof.

먼저, (1)이 (2)를 함의한다는 것을 먼저 보이자.

$E$가 열린집합이라고 하고, $E^\mathsf{c}$의 임의의 limit point $x \in E^\mathsf{c}$를 생각하자. 만약 $x \notin E^\mathsf{c}$라면, $E^\mathsf{c}$의 정의에 따라 $x \in E$이며, $E$가 열린집합이므로 $x$는 $E$의 interior point이다. 따라서 $N_r(x) \subseteq E$인 양수 $r>0$이 존재함을 알 수 있다. 이는 곧 $N_r(x) \cap E^\mathsf{c} = \varnothing$임을 의미하며, 이는 $x$가 $E^\mathsf{c}$의 limit point라는 사실에 모순이다. 따라서 $x \in E^\mathsf{c}$임을 알 수 있으며, $E^\mathsf{c}$는 닫힌집합임을 알 수 있다.

이제 (2)가 (1)을 함의한다는 것을 보이자.

$E^\mathsf{c}$가 닫힌집합이라 하고, $E$의 임의의 점 $x \in E$를 생각하자. 만약 임의의 양수 $r>0$에 대하여 $N_r(x) - E \neq \varnothing$이라면, $x \notin E$로부터 임의의 양수 $r > 0$에 대하여 $N'_r(x) \cap E^\mathsf{c} \neq \varnothing$임을 알 수 있다. 따라서 $x$는 $E^\mathsf{c}$의 limit point가 되며, $E^\mathsf{c}$가 닫힌집합이라는 사실로부터 $x \in E^\mathsf{c}$임을 알 수 있다. 그러나 이는 $x \in E$라는 사실에 모순이므로 $N_r(x) \subseteq E$가 되도록 하는 양수 $r>0$이 존재한다는 사실을 알 수 있다. 따라서 $x$는 $E$의 interior point이며, 이로 인해 $E$는 열린집합임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

추가로, $(E^\mathsf{c})^\mathsf{c} = E$이므로 $E$가 닫힌집합인 것과 $E^\mathsf{c}$가 열린집합인 것 역시 동치임을 알 수 있다. 이는 매우 중요한 사실로, 앞으로 수없이 사용하게 될 것이니 제대로 기억해두자. 이제 닫힌집합과 열린집합의 성질에 대해 알아보자.

 

Theorem 2.

거리공간 $X$ 위의 점 $x \in X$가 주어졌다고 하자. 그러면 임의의 양수 $r > 0$에 대하여 $N_r(x)$는 열린집합이다.

 

Proof.

$N_r(x)$의 임의의 점 $y$를 생각하자. 이제 $r' = r - d(x,y)$를 선택하자. 그러면 $N_r(x)$의 정의에 따라 $r' > 0$임을 알 수 있다. 따라서 $N_{r'}(y)$가 존재한다. 이제 $N_{r'}(y)$ 위의 임의의 점 $z$를 생각하자. 그러면 $d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) < d(x,y) + r' = r$이므로 $z \in N_r(x)$이다. 즉, $N_{r'}(y) \subseteq N_r(x)$이며, 이로부터 $y$가 $N_r(x)$의 interior point임을 알 수 있다. 이때, $y$의 선택이 임의적이었으므로 $N_r(x)$는 열린집합이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 3.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E \subseteq X$가 주어졌다고 하자. $X$ 위의 점 $x$가 $E$의 limit point라고 할 때, $x$의 임의의 근방에는 $E$ 위의 점이 무한히 많다.

 

Proof.

이번에는 귀류법을 이용하여 정리를 증명할 것이다. 증명을 위해 $E$ 위의 점이 무한히 많지 않은 $x$의 근방 $N$이 있다고 가정하자. 그러면 $(N \setminus \{x\}) \cap E = \{ p_1, p_2, \cdots, p_n \}$이라고 쓸 수 있다. 이제 $r = \min ( p_1, p_2, \cdots, p_n )$을 선택하자. 그러면 $N'_r(x) \cap E = \varnothing$임을 쉽게 알 수 있다. 하지만 이는 $x$가 $E$의 limit point라는 사실에 모순이며, 따라서 따라서 $x$의 임의의 근방에는 $E$ 위의 점이 무한히 많다.

$\blacksquare$

 

Corollary 3.1.

거리공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그러면 $X$의 유한부분집합은 언제나 limit point를 가지지 않는다.

 

Lemma 1. 드 모르간의 법칙 ( De Morgan's Law )

거리공간 $X$와 $X$의 부분집합의 모임 $\{ E_\alpha \}$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\displaystyle ( \bigcup_\alpha E_\alpha )^\mathsf{c} = \bigcap_\alpha (E_\alpha)^\mathsf{c}$가 성립한다.

 

Proof.

서술의 편의를 위해 주어진 식의 좌변을 $A$라고 하고, 우변을 $B$라고 하자.

먼저 $A \subseteq B$임을 보이기 위해 $x \in A$를 생각하자. 그러면 임의의 $E_\alpha$에 대하여 $x \notin E_\alpha$임이 자명하다. 따라서 $x \in (E_\alpha)^\mathsf{c}$가 성립하며 이로 인해 $x \in B$임을 알 수 있다.

이제 $B \subseteq A$임을 보이기 위해 $y \in B$를 생각하자. 그러면 임의의 $E_\alpha$에 대하여 $y \in (E_\alpha)^\mathsf{c}$임이 자명하다. 따라서 $y \notin E_\alpha$가 성립하며 이로 인해 $y \in A$임을 알 수 있다.

따라서 $A = B$임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

Theorem 4.

다음 4가지 명제는 모두 참이다. (1) 열린집합의 모임 $\{ G_\alpha \}$에 대하여 $\displaystyle \bigcup_\alpha G_\alpha$는 열린집합이다. (2) 닫힌집합의 모임 $\{ F_\alpha \}$에 대하여 $\displaystyle \bigcap_\alpha F_\alpha$는 닫힌집합이다. (3) 유한 개의 열린집합 $G_1, G_2, \cdots, G_n$에 대하여 $\displaystyle \bigcap_{i = 1}^n G_i$는 열린집합이다. (4) 유한 개의 닫힌집합 $F_1, F_2, \cdots, F_n$에 대하여 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n F_i$는 닫힌집합이다.

 

Proof.

아래의 '증명 보기'를 클릭하면 해당 명제의 증명을 볼 수 있다.

$\{ G_\alpha \}$가 열린집합의 모임이라고 하고 $A = \displaystyle \bigcup_\alpha G_\alpha$라고 하자. 이제 $x \in A$를 생각하자. 그러면 $x \in G_\alpha$인 $G_\alpha$가 존재한다. 이때 $G_\alpha$가 열린집합이므로 $N \subseteq G_\alpha$인 $x$의 근방 $N$이 존재하며, $G_\alpha \subseteq \displaystyle A$이므로 $N \subseteq A$임은 자명하다. 따라서 $x$는 $A$의 interior point이며, $x$의 선택이 임의적이었다는 사실로부터 $A$가 열린집합임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

$\{ F_\alpha \}$가 닫힌집합의 모임이라고 하자. 그러면 Theorem 1에 의해 각 $F_\alpha$에 대하여 $(F_\alpha)^\mathsf{c}$는 열린집합이다. 따라서 (1)에 의해 $\displaystyle \bigcup_\alpha (F_\alpha)^\mathsf{c}$가 열린집합임을 알 수 있다. 이때, Lemma 1에 의해 $(\displaystyle \bigcup_\alpha (F_\alpha)^\mathsf{c})^\mathsf{c} = \bigcap_\alpha F_\alpha$이며, 따라서 Theorem 1에 의해 $\displaystyle \bigcap_\alpha F_\alpha$가 닫힌집합임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

$G_1, G_2, \cdots, G_n$이 열린집합이라고 하고 $B = \displaystyle \bigcap_{i=1}^n G_i$라고 하자. 이제 $x \in B$를 생각하자. 그러면 각 $i = 1,2, \cdots, n$에 대하여 $x \in G_i$가 성립하고 각 $G_i$가 열린집합이므로 각 $i = 1,2,\cdots,n$에 대하여 $N_i \subseteq G_i$인 $x$의 근방 $N_i$가 각각 존재한다. 이때, 근방 $N_i$의 반지름을 $r_i$라고 하면 $r = \min (r_1,r_2,\cdots,r_n)$을 생각할 수 있다. 그러면 $N_r(x) \subseteq B$가 성립함은 자명하므로 $x$가 $B$의 interior point임을 알 수 있다. 이때, $x$의 선택이 임의적이었으므로 $B$가 열린집합이다.

$\blacksquare$

$F_1, F_2, \cdots, F_n$이 닫힌집합이라고 하자. 그러면 Theorem 1에 의해 $(F_1)^\mathsf{c}, (F_2)^\mathsf{c}, \cdots, (F_n)^\mathsf{c}$는 모두 열린집합이다. 따라서 (3)에 의해 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n (F_i)^\mathsf{c}$가 열린집합임을 알 수 있다. 이때, Lemma 1에 의해 $\displaystyle (\bigcap_{i=1}^n (F_i)^\mathsf{c})^\mathsf{c} = \bigcup_{i=1}^{n} F_i$이므로 Theorem 1에 의해 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{n} F_i$가 닫힌집합임을 알 수 있다.

$\blacksquare$