해석학, 그 열한 번째 이야기 | 거리공간에서의 컴팩트 집합 ( Compact Set for Metric Space )

이번 글에서는 컴팩트 집합에 대해 다뤄볼 것이다. 컴팩트 집합은 실수 집합 $\mathbb{R}$에서의 유계 닫힌 구간의 개념을 확장한 것으로, 위상수학과 해석학에서 상당히 중요하게 다뤄지는 개념이다. 컴팩트 집합이 무엇인지 알아보기에 앞서 다음 정의를 보자.

 

Definition 1. Open Cover

거리공간 $X$의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 이때, $X$의 열린 집합의 집합 $\mathcal{O}$가 다음을 만족하면 $\mathcal{O}$를 $E$의 Open Cover라고 한다. $$ E \subseteq \bigcup \mathcal{O} $$ 추가로, $\mathcal{O}' \subseteq \mathcal{O}$ 또한 $E$의 open cover일 때, $\mathcal{O}'$를 $\mathcal{O}$의 Subcover라고 한다.

 

위의 정의를 통해 컴팩트 집합을 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

Definition 2. 컴팩트 집합 (Compact Set)

거리공간 $X$의 부분집합 $K$가 주어졌다고 하자. 만약 $K$의 모든 open cover가 finite subcover를 가지면, $K$를 컴팩트 (Compact)하다고 하며, 이러한 집합 $K$를 컴팩트 집합 (Compact Set)이라고 한다. 보다 명확하게는, $K$의 임의의 open cover $\{ G_\alpha \}$가 주어질 때, 언제나 다음을 만족하도록 하는 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$이 존재한다면 $K$를 컴팩트 집합이라고 한다. $$ K \subseteq G_{\alpha_1} \cup G_{\alpha_2} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n} $$

 

위의 정의를 처음 보면, 대체 왜 저렇게 정의를 하는지에 대해 의문이 생길 수밖에 없을 것이다. 이에 대한 의문은 다음 정리를 통해 해결할 수 있을 것이다.

 

Theorem 1. 실수 집합에 대한 하이네-보렐 정리 (Heine-Borel Theorem for The Set of Real Numbers)

유계 닫힌 구간 $\left[ a,b \right]$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\left[ a,b \right]$의 open cover는 언제나 finite subcover를 가진다.

 

Proof.

증명의 편의를 위해 $\left[ a,b \right]$의 open cover $\mathcal{O}$를 하나 선택하자.

그러면 임의의 $c \in \left[ a,b \right]$에 대하여 $\mathcal{O}$는 닫힌 구간 $\left[ a,c \right]$의 open cover임은 자명하다.

따라서 닫힌 구간 $\left[ a,c \right]$가 $\mathcal{O}$의 finite subcover를 가지도록 하는 $c \in \left[ a,b \right]$의 집합 $X$를 생각할 수 있다.

이때, $a \in \left[ a,b \right]$로부터 $a$를 원소로 가지는 열린집합이 $\mathcal{O}$에 적어도 하나 존재하므로 $\left[ a,a \right]$의 single subcover가 존재한다. 따라서 $a \in X$임은 자명하며, $X$가 공집합이 아님을 알 수 있다.

또한, $X \subseteq \left[ a,b \right]$로부터 $X$가 유계집합임을 알 수 있다.

따라서 실수의 최소상계성질에 의해 $X$의 상한 $\lambda = \sup X$가 존재한다.

만약 $\lambda \in X$이고 동시에 $\lambda = b$임을 보인다면, 정리가 증명된다.

먼저, $\lambda \in X$임을 보이자.

$b$가 $X$의 상계이므로 $\lambda \leq b$임은 자명하며, $a \in X$로부터 $a \leq \lambda$임을 알 수 있다. 즉, $\lambda \in \left[ a,b \right]$이다.

따라서 $\mathcal{O}$가 $\left[ a,b \right]$의 open cover라는 사실로부터 $\lambda \in O \in \mathcal{O}$인 열린집합 $O$가 존재한다.

그러면, 열린집합의 정의에 의해 $\left( \lambda - \varepsilon , \lambda + \varepsilon \right) \subseteq O$인 양수 $\varepsilon > 0$이 존재한다.

이때, $\lambda$가 $X$의 상한이므로 상한의 성질에 의해 $\lambda - \varepsilon < x \leq \lambda$인 $x \in X$가 존재한다. 이때, $x \in O$라는 사실에 주목하자.

$x \in X$이므로 $X$의 정의에 따라 닫힌 구간 $\left[ a,x \right]$는 $\mathcal{O}$의 finite subcover $\{ O_1, O_2, \cdots, O_n \}$를 가지며, $O \in \mathcal{O}$로부터 $\{ O, O_1, O_2, \cdots, O_n \}$ 역시 $\mathcal{O}$의 finite subcover임을 알 수 있다.

이때, $\left[ a,\lambda \right] = \left[ a,x \right] \cup \left[ x,\lambda \right] \subseteq \left( O_1 \cup O_2 \cup \cdots \cup O_n \right) \cup O$이므로 $\lambda \in X$이다.

또한, 이때, $O$는 $\lambda$보다 큰 수를 원소로 가지므로 $\lambda < b$라면 $\lambda < y < b$인 $y \in \left( O_1 \cup O_2 \cup \cdots \cup O_n \right) \cup O$가 존재하며, 이는 곧 $y \in X$를 함의하므로 $\lambda$가 $X$의 상한임에 모순이다. 따라서 $\lambda = b$이다.

$\blacksquare$

 

즉, 컴팩트 집합의 정의에 등장하는 명제는 사실 실수집합에서 유계 닫힌 구간의 성질이었던 것이다. 이를 통해 컴팩트 집합이라는 개념은 사실 유계 닫힌 구간을 확장한 개념이라는 사실을 알 수 있다.

이제 컴팩트 집합을 왜 저렇게 정의하는지를 알았으니 컴팩트 집합의 중요한 성질에 대해 알아보자. 거리공간 $X$에 대하여, 전체집합인 $X$는 언제나 열린집합이면서 동시에 닫힌집합이다. 따라서 같은 거리함수를 사용한다고 해도 거리공간을 어떤 집합으로 잡냐에 따라 같은 집합이라 할지라도 열린집합이 될 수도 있고, 열린집합이 아닐 수도 있다. 이는 닫힌집합에 대해서도 마찬가지이다. 그렇기 때문에 열린공간이나 닫힌공간과 같은 개념은 정의될 수 없다. 하지만, 컴팩트 집합은 거리공간을 어떤 집합으로 잡는지에 관계 없이 거리함수가 결정되면 항상 컴팩트하다. 따라서 컴팩트 공간과 같은 개념이 정의 가능하다. 이는 Theorem 2에서 확인이 가능하며, Lemma 1은 Theorem 2를 증명하기 위한 보조정리이다.

 

Lemma 1.

거리공간 $X$와 $E \subseteq Y \subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 두 명제는 동치이다. (1) 집합 $E$는 $X$의 부분공간 $Y$에서 열린집합이다. (2) $E = Y \cap G$인 열린집합 $G$가 존재한다.

 

Proof.

먼저 명제 (1)이 명제 (2)를 함의함을 보이자.

집합 $E$가 $X$의 부분공간 $Y$에서 열린집합이라고 하자. 그러면 각 $p \in E$에 대하여 $d(p,q) < r_p \land q \in Y$가 $q \in E$를 함의하도록 하는 양수 $r_p > 0$가 각각 존재한다.

이제 집합 $V_p$를 $d(p,q) < r_p$인 $q \in X$의 집합으로 정의하고 $G = \displaystyle \bigcup_{p \in E} V_p$라고 하자.

그러면 $G$는 이 글의 Theorem 4에 의해 열린집합이며, $G \cap Y = \left( \displaystyle \bigcup_{p \in E} V_p \right) \cap Y = \bigcup_{p \in E} \left( V_p \cap Y \right) = E$이다.

따라서 명제 (1)은 명제 (2)를 함의한다.

 

이제 명제 (2)가 명제 (1)을 함의함을 보이자.

열린집합 $G$에 대하여 $E = Y \cap G$라고 하자.

$G$가 열린집합이므로 임의의 $p \in G$에 대하여 $V_p \subseteq G$인 $p$의 근방 $V_p$가 존재한다.

따라서 각 $p \in Y \cap G = E$에 대하여 $Y \cap V_p \subseteq Y \cap G = E$가 성립하며, $Y \cap V_p$는 $X$의 부분공간 $Y$에서 $p$의 근방이므로 $E$는 $X$의 부분공간 $Y$에서 열린집합이다.

따라서 명제 (2)는 명제 (1)을 함의한다.

$\blacksquare$

 

Theorem 2.

거리공간 $X$와 $K \subseteq Y \subseteq X$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 두 명제는 동치이다. (1) 집합 $K$는 컴팩트 집합이다. (2) 집합 $K$는 $X$의 부분공간 $Y$에서 컴팩트 집합이다.

 

Proof.

먼저, 명제 (1)이 명제 (2)를 함의함을 보이자.

$K$가 컴팩트 집합이라고 가정하자.

이때, Lemma 1에 의해 $K$의 open cover와 $X$의 부분공간 $Y$에서의 $K$의 open cover는 서로 대응되므로 $K$가 컴팩트 집합이면 $X$의 부분공간 $Y$에서도 $K$가 컴팩트 집합이 된다.

따라서 명제 (1)은 명제 (2)를 함의한다.

같은 논리로 명제 (2)가 명제 (1)을 함의한다는 것 역시 보일 수 있으므로 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

위 정리로부터 우리는 컴팩트 공간을 정의할 수 있음을 알 수 있으며, 컴팩트 집합은 부분공간에서도 컴팩트 집합임을 알 수 있다.

위의 성질 외에도 컴팩트 집합은 여러 좋은 성질들을 가진다. 하지만, 그 성질들을 이번 글에서 소개하게 되면 글이 너무 길어지는 관계로, 다른 성질들은 다음 글에서 소개하도록 하겠다.