해석학, 그 열두 번째 이야기 | 거리공간의 컴팩트 집합의 여러 성질 ( Properties of Compact Sets of Metric Spaces )

이번 글에서는 저번 글에서 예고하였듯이 거리공간의 컴팩트 집합의 여러 성질들에 대해 소개할 것이다. 만약, 컴팩트 집합이 어떤 것인지 잘 모른다면 이 글의 내용을 이해하기 어려울 것이므로 아래의 글을 읽은 후에 이 글을 읽기를 바란다.

 

해석학, 그 열한 번째 이야기 | 거리공간에서의 컴팩트 집합 ( Compact Set for Metric Space )

 

그러면 빠르게 본론으로 넘어가서 아래의 정리들을 보자.

 

Theorem 1.

거리공간의 컴팩트 집합은 언제나 닫힌 집합이다. 즉, 거리공간 $X$와 컴팩트 집합 $K \subseteq X$가 주어졌을 때, $K$는 닫힌 집합이다.

 

Proof.

$K$가 거리공간 $X$의 컴팩트 부분집합이라고 가정하자. 만약 $K^\mathsf{c}$가 열린집합이라면, $K$가 닫힌집합이 됨은 자명하다. 그러니 $K^\mathsf{c}$가 열린집합임을 보이자.

$X$ 위의 어떤 점 $p$가 $K$의 원소가 아니라 하고, $K$ 위의 임의의 점 $q$에 대하여 $V_q$와 $W_q$를 각각 $N_p(\frac{1}{2}d(p,q))$, $N_q(\frac{1}{2}d(p,q))$로 정의하자. ( $N_p(r)$의 정의는 이 글을 참고하자. )

$K$가 컴팩트 집합이라는 것으로부터, 다음을 만족하는 유한한 수의 $K$ 위의 점 $q_1$, $q_2$, $\cdots$, $q_n$이 존재한다.

$$ K \subseteq W_{q_1} \cup W_{q_2} \cup \cdots \cup W_{q_n} = W $$

만약 집합 $V$를 $V = V_{q_1} \cap V_{q_2} \cap \cdots \cap V_{q_n}$으로 정의하면, $V$는 $p$의 근방이며, 동시에 $W$와 서로소인 집합이 된다.

따라서 $V \subseteq K^\mathsf{c}$임이 자명하며, 이로부터 $K^\mathsf{c}$의 부분집합인 $p$의 근방이 존재함을 알 수 있다.

이때, $p \in K^\mathsf{c}$의 선택이 임의적이었으므로, $K^\mathsf{c}$가 열린집합임을 알 수 있으며, 따라서 증명이 끝난다.

$\blacksquare$

 

Theorem 2.

거리공간의 컴팩트 집합의 닫힌 부분집합은 언제나 컴팩트 집합이다.

 

Proof.

거리공간 $X$에 대하여 $F \subseteq K \subseteq X$인 컴팩트 집합 $K$와 닫힌집합 $F$가 주어졌다고 하자.

이제 $F$의 open cover $\{ V_\alpha \}$를 생각하자.

그러면 $F$가 닫힌집합이라는 사실로부터 $\Omega = \{ V_\alpha \} \cup F^\mathsf{c}$가 $K$의 open cover임을 알 수 있다.

$K$가 컴팩트 집합이므로 $\Omega$의 finite subcover $\Phi$가 존재한다. 이때, $F \subseteq K$이므로 $\Phi$는 $F$의 finite open cover이기도 하다.

만약 $F^\mathsf{c} \notin \Phi$이면 $\Phi$가 $\{ V_\alpha \}$의 finite subcover다.

만약 $F^\mathsf{c} \in \Phi$라면, $F = \displaystyle \bigcup \Phi \cap F \subseteq \bigcup \left( \Phi \setminus \{ F^\mathsf{c} \} \right)$이므로 $\Phi \setminus \{ F^\mathsf{c} \}$가 $\{ V_\alpha \}$의 finite subcover다.

따라서 $\{ V_\alpha \}$의 finite subcover는 존재하며, 이는 곧 $F$가 컴팩트 집합임을 의미한다.

$\blacksquare$

 

Corollary 2.1.

거리공간에서 컴팩트 집합과 닫힌집합의 교집합은 언제나 컴팩트 집합이다.

 

Proof.

Theorem 1과 Theorem 2, 그리고 이 글의 Theorem 4에 의해 자명하다.

$\blacksquare$

 

Theorem 3.

거리공간 $X$와 그의 컴팩트 부분집합의 collection $\{ K_\alpha \}$가 주어졌다고 하자. 만약 $\{ K_\alpha \}$의 임의의 finite subcollection $\mathrm{K}$에 대하여 $\displaystyle \bigcap \mathrm{K} \neq \varnothing$이 성립한다면, $\displaystyle \bigcap \{ K_\alpha \} \neq \varnothing$이 성립한다.

 

Proof.

먼저, $K \in \{ K_\alpha \}$를 고정하고 각 $\alpha$에 대하여 $G_\alpha = K^\mathsf{c}_\alpha$를 정의하자.

귀류법을 이용하여 정리를 증명하기 위해 $\displaystyle \bigcap \{ K_\alpha \} = \varnothing$이라고 가정하자.

그러면 Theorem 1에 의해 각 $G_\alpha$가 열린집합이고, $K \subseteq X = \left( \displaystyle \bigcap \{ K_\alpha \} \right)^\mathsf{c} = \bigcup \{ G_\alpha \}$이므로 $\{ G_\alpha \}$는 $K$의 open cover다.

이때, $K$가 컴팩트 집합이므로 $\{ G_\alpha \}$의 finite subcover $\{ G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \cdots, G_{\alpha_n} \}$가 존재하며, 따라서 다음이 성립한다.

$$ K \cap K_{\alpha_1} \cap K_{\alpha_2} \cap \cdots \cap K_{\alpha_n} = K \cap \left( G_{\alpha_1} \cup G_{\alpha_2} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n} \right)^\mathsf{c} = \varnothing $$

그런데, 이는 정리의 조건인 $\{ K_\alpha \}$의 finite subcollection의 교집합이 공집합이 아니라는 것에 모순이다.

따라서 처음의 가정인 $\displaystyle \bigcap \{ K_\alpha \} = \varnothing$이 거짓이며, 이는 곧 정리의 증명으로 이어진다.

$\blacksquare$

 

Corollary 3.1.

거리공간 $X$와 그의 공집합이 아닌 컴팩트 부분집합의 열 $\{ K_n \}_{n \in \mathbb{N}}$이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 자연수 $n$에 대하여 $K_n \supseteq K_{n+1}$이 성립한다면, $\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} K_n \neq \varnothing$이 성립한다.

 

Theorem 4. 볼차노-바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Weierstrass Theorem)

만약 $E$가 컴팩트 집합 $K$의 무한 부분집합이라면, $E$는 $K$ 위의 점인 limit point를 하나 이상 가진다.

 

Proof.

귀류법을 이용한 증명을 위해 $K$ 위의 모든 점이 $E$의 limit point가 아니라고 가정하자.

그러면 각 $q \in K$는 $\left( V_q \setminus \{ q \} \right) \cap E = \varnothing$이 성립하도록 하는 $q$의 근방 $V_q$를 가진다.

이때, $K \subseteq \displaystyle \bigcup_{q \in K} V_q$는 자명하므로 $\{ V_q \}_{q \in K}$는 $K$의 open cover다.

$K$가 컴팩트 집합이므로 $\{ V_q \}$의 finite subcover $\{ V_{q_1}, V_{q_2}, \cdots, V_{q_n} \}$이 존재하며, $E \subseteq K$이므로 $E \subseteq V_{q_1} \cup V_{q_2} \cup \cdots \cup V_{q_n}$이다.

그런데, 각 $q \in K$에 대하여 $V_q \cap E$는 최대 한 개의 원소를 가지며, $E$가 무한집합이므로 $E \subseteq V_{q_1} \cup V_{q_2} \cup \cdots \cup V_{q_n}$인 것은 불가능하다.

즉, 처음의 가정인 '$K$ 위의 모든 점은 $E$의 limit point가 아니다'가 거짓이며, 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Definition 1. 유계 (Bounded)

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 만약 다음을 만족하는 실수 $M > 0$이 존재한다면, $E$를 유계 (Bounded)라고 하며, 유계인 집합을 유계 집합 (Bounded Set)이라고 한다. $$ \forall p,q \in E, \; d(p,q) < M $$

 

Theorem 5.

거리공간에서 모든 컴팩트 집합은 유계이다.

 

Proof.

거리공간 $X$와 그의 컴팩트 부분집합 $K$가 주어졌다고 하자.

이제 임의의 $p \in K$에 대하여 $V_p$를 반지름이 $1$인 $p$의 반경이라고 하자.

그러면 $K = \displaystyle \bigcup_{p \in K} \{ p \} \subseteq \bigcup_{p \in K} V_p$이므로 $\{ V_p \}_{p \in K}$가 $K$의 open cover가 됨은 자명하다.

이때, $K$가 컴팩트 집합이므로 $\{ V_p \}_{p \in K}$의 finite subcover $\{ V_{p_1}, V_{p_2}, \cdots, V_{p_n} \}$이 존재한다.

이제 $M = 2+\displaystyle \max_{1 \leq i,j \leq n} d(p_i, p_j)$라고 하자.

그러면 임의의 $p,q \in K$에 대하여 $p \in V_{p_m}$, $q \in V_{p_l}$인 $m,l \in \{ 1,2,\cdots,n \}$가 존재하므로 다음이 성립한다.

$$ d(p,q) \leq d(p,p_m) + d(p_m,p_l) + d(p_l,q) < 2+d(p_m,p_l) \leq M $$

따라서 임의의 $p,q \in K$에 대하여 $d(p,q) < M$이 성립하므로 $K$는 유계이다.

$\blacksquare$

 

위의 내용들은 일반적인 거리공간에서의 얘기들이다. 하지만, 앞으로 해석학 카테고리의 글들에서 다루게 될 집합은 유클리드 공간이나 그의 부분집합인 경우가 많기 때문에 유클리드 공간에서 성립하는 특수한 성질을 추가로 다룰 것이다. 유클리드 공간에서는 컴팩트 집합인 것과 유계 닫힌집합인 것이 동치이다. 이 내용은 Theorem 6에서 확인할 수 있다. 아래는 Theorem 6을 증명하는 데에 필요한 보조정리들과 Theorem 6의 증명과정이다.

 

Lemma 1.

$\{ I_n \}_{n \in \mathbb{N}}$을 유계 닫힌 구간의 열 (sequence)이라고 하자. 만약 임의의 자연수 $n$에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$이 성립한다면, $\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \varnothing$이 성립한다.

 

Proof.

각 $n$에 대하여 $I_n = \left[ a_n,b_n \right]$라고 하고 집합 $E$를 $a_n$의 집합이라고 하자.

그러면 $E$는 공집합이 아니며, $a_n \leq b_n \leq b_0$으로부터 $E$는 위로 유계이다.

따라서 실수의 최소상계성질에 의해 $E$는 상한을 가진다. $x$를 $E$의 상한이라고 하자.

그러면 임의의 두 자연수 $n,m$에 대하여 다음이 성립하므로 각 $m$에 대하여 $x \leq b_m$이 성립한다.

$$ a_n \leq a_{n+m} \leq b_{n+m} \leq b_m $$

비슷한 방법으로 각 $m$에 대하여 $a_m \leq x$가 성립함을 얻을 수 있다.

따라서 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대하여 $x \in I_m$이 성립하며, 이로 인해 $x \in \displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n$이 성립한다.

따라서 $\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n$은 공집합이 아니다.

$\blacksquare$

 

Definition 2. k-cell

$k$개의 유계 닫힌 구간 $\left[ a_1, b_1 \right]$, $\left[ a_2, b_2 \right]$, $\cdots$, $\left[ a_k,b_k \right]$의 데카르트 곱 $\left[ a_1,b_1 \right] \times \left[ a_2,b_2 \right] \times \cdots \times \left[ a_k,b_k \right]$를 $k$-cell이라고 한다.

 

Lemma 2.

$\{ I_n \}_{n \in \mathbb{N}}$을 $k$-cell의 열이라고 하자. 만약 임의의 자연수 $n$에 대하여 $I_n \supseteq I_{n+1}$이 성립한다면, $\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \varnothing$이 성립한다.

 

Proof.

각 $n$에 대하여 $I_n = \left[ a_{n,1},b_{n,1} \right] \times \left[ a_{n,2},b_{n,2} \right] \times \cdots \times \left[ a_{n,k},b_{n,k} \right]$라고 하고 $I_n,j = \left[ a_{n,j},b_{n,j} \right]$라고 하자.

그러면 각 $j$에 대하여 유계 닫힌 구간의 열 $\{ I_{n,j} \}_{n \in \mathbb{N}}$는 Lemma 1의 조건을 만족한다.

따라서 각 $j$에 대하여 $x_j \in \displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_{n,j}$인 실수 $x_j$가 존재한다.

이때, $\mathbf{x} = \left( x_1, x_2, \cdots, x_k \right)$라고 하면, 각 $n$에 대하여 $\mathbf{x} \in I_n$임은 자명하다.

따라서 $\mathbf{x} \in \displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n$이 성립하며, 이로 인해 보조정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Lemma 3.

모든 $k$-cell은 컴팩트 집합이다.

 

Proof.

$k$-cell $I = \left[ a_1,b_1 \right] \times \left[ a_2,b_2 \right] \times \cdots \times \left[ a_k,b_k \right]$가 주어졌다고 하자.

이제 $\delta = \left( \displaystyle \sum_{j=1}^{k}{\left( b_j - a_j \right)^2} \right)^\frac{1}{2}$라고 하면, 임의의 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in I$에 대하여 $\lvert \mathbf{x} - \mathbf{y} \rvert \leq \delta$가 성립한다.

귀류법을 이용한 증명을 위해 finite subcover가 없는 $I$의 open cover $\{ G_\alpha \}$가 존재한다고 가정하자.

이제 $c_j = \frac{a_j + b_j}{2}$라고 하면, 각 유계 닫힌 구간 $\left[ a_j,c_j \right]$, $\left[ c_j,b_j \right]$는 합집합이 $I$가 되도록 하는 총 $2^k$개의 $k$-cell $Q_i$를 정의한다.

그러면 $I$가 $\{ G_\alpha \}$의 finite subcollection으로 cover되지 못하므로 $Q_i$ 중 적어도 하나는 $\{ G_\alpha \}$의 finite subcollection으로 cover되지 못한다. 이 $Q_i$를 $I_1$이라고 하자.

위와 같이 정의된 $k$-cell $I_1$에 대하여 위와 같은 과정을 다시 반복하자.

그러면 우리는 다음과 같은 성질을 가지는 $k$-cell의 열 $\{ I_n \}$을 얻어낼 수 있다.

1) $I \subseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \supseteq \cdots$

2) 각 $n$에 대하여 $I_n$을 cover하는 $\{ G_\alpha \}$의 finite subcollection은 존재하지 않는다.

3) 임의의 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in I_n$에 대하여 $\lvert \mathbf{x} - \mathbf{y} \rvert \leq 2^{-n}\delta$가 성립한다.

이때, 성질 1)과 Lemma 2에 의해 모든 $I_n$의 원소인 점 $\mathbf{x}^*$가 존재한다.

이때, $\{ G_\alpha \}$가 $I$의 open cover이므로 $\mathbf{x}^* \in G_\alpha$이도록 하는 $\alpha$가 존재한다.

$G_\alpha$가 열린집합이므로 $\lvert \mathbf{y}-\mathbf{x}^* \rvert < r \Rightarrow \mathbf{y} \in G_\alpha$이도록 하는 양수 $r > 0$이 존재한다.

이때, 실수는 아르키메데스 성질을 만족하므로 $2^{-n}\delta < r$이 되도록 하는 양의 정수 $n$이 존재한다.

그러한 $n$에 대하여 $I_n \subseteq G_\alpha$인 것은 자명하며, 이는 곧 성질 2)와 모순이다.

따라서 처음의 가정인 finite cover가 없는 $I$의 open cover가 존재한다는 것이 거짓임을 알 수 있으며, 이는 곧 명제의 증명으로 이어진다.

$\blacksquare$

 

Theorem 6. 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치조건 ( Equivalent Conditoins of Being Compact Set in Euclidan Space )

유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$의 부분집합 $E$에 대하여 다음 세 가지 명제는 동치이다. (1) $E$는 유계 닫힌집합이다. (2) $E$는 컴팩트 집합이다. (3) $E$의 모든 무한 부분집합은 $E$ 위의 점인 limit point를 하나 이상 가진다.

 

Proof.

먼저, 명제 (1)을 만족하면, $E \subseteq I$인 $k$-cell $I$가 존재함은 자명하다. 따라서 Lemma 3과 Theorem 2에 의해 $E$는 컴팩트 집합이다. 또한, Theorem 4에 의해 명제 (2)가 명제 (3)을 함의함은 자명하다.

따라서 명제 (3)이 명제 (1)을 함의함을 보이면 정리가 증명된다.

만약 $E$가 유계가 아니면, $E$는 임의의 자연수 $n$에 대하여 $\lvert \mathbf{x}_n \rvert > n$을 만족하는 $\mathbf{x}_n \in E$를 원소로 가진다.

이제 $S = \{ \mathbf{x}_0, \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots \}$라고 하면 $S$는 무한집합임이 자명하며, 또한 $S$가 limit point를 가지지 않는다는 것 역시 자명하다.

그러나 이는 명제 (3)에 모순이므로 $E$가 유계가 아니라는 가정이 거짓임을 알 수 있으며, 따라서 명제 (3)은 $E$가 유계임을 함의한다.

이제 $E$가 닫힌집합이 아니라고 가정하자. 그러면 $E$의 limit point $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^k \setminus E$가 존재한다.

그러면 $\mathbf{x}_0$가 $E$의 limit point라는 사실로부터 각 $n = 1, 2, 3, \cdots$에 대하여 $0 < \lvert \mathbf{x}_n - \mathbf{x}_0 \rvert < \frac{1}{n}$이 성립하도록 하는 $\mathbf{x}_n \in E$가 존재한다.

이제 $T = \{ \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots \}$라고 하자. 그러면 $T$는 무한집합이며, $\mathbf{x}_0$를 limit point로 가진다.

또한, $\mathbf{y} \neq \mathbf{x}$인 각 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^k$에 대하여 유한한 $n$을 제외한 모든 $n = 1,2,3,\cdots$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \lvert \mathbf{y} - \mathbf{x}_n \rvert \geq \lvert \mathbf{y} - \mathbf{x}_0 \rvert - \lvert \mathbf{x}_0 - \mathbf{x}_n \rvert \geq \lvert \mathbf{y} - \mathbf{x}_0 \rvert - \frac{1}{n} \geq \frac{1}{2} \lvert \mathbf{y} - \mathbf{x}_0 \rvert $$

따라서 $T$는 $\mathbf{x}_0$를 제외한 다른 limit point를 가지지 않으며, 이는 곧 명제 (3)과 모순이다.

따라서 $E$가 닫힌집합이 아니라는 가정이 거짓이며, 이는 곧 명제 (3)이 $E$가 닫힌집합임을 함의함을 의미한다.

따라서 명제 (3)은 명제 (1)을 함의하며, 결국 정리가 증명된다.

$\blacksquare$