해석학, 그 열두 번째 이야기 | 거리공간의 컴팩트 집합의 여러 성질 ( Properties of Compact Sets of Metric Spaces )

이번 글에서는 저번 글에서 예고하였듯이 거리공간의 컴팩트 집합의 여러 성질들에 대해 소개할 것이다. 만약, 컴팩트 집합이 어떤 것인지 잘 모른다면 이 글의 내용을 이해하기 어려울 것이므로 아래의 글을 읽은 후에 이 글을 읽기를 바란다.

 

해석학, 그 열한 번째 이야기 | 거리공간에서의 컴팩트 집합 ( Compact Set for Metric Space )

 

그러면 빠르게 본론으로 넘어가서 아래의 정리들을 보자.

 

Theorem 1.

거리공간의 컴팩트 집합은 언제나 닫힌 집합이다. 즉, 거리공간 $X$와 컴팩트 집합 $K\subseteq X$가 주어졌을 때, $K$는 닫힌 집합이다.

 

Proof.

$K$가 거리공간 $X$의 컴팩트 부분집합이라고 가정하자. 만약 $K^{\mathsf{c}}$가 열린집합이라면, $K$가 닫힌집합이 됨은 자명하다. 그러니 $K^{\mathsf{c}}$가 열린집합임을 보이자.

$X$ 위의 어떤 점 $p$가 $K$의 원소가 아니라 하고, $K$ 위의 임의의 점 $q$에 대하여 $V_q$와 $W_q$를 각각 $N_p(\frac{1}{2}d(p,q))$, $N_q(\frac{1}{2}d(p,q))$로 정의하자. ( $N_p(r)$의 정의는 이 글을 참고하자. )

$K$가 컴팩트 집합이라는 것으로부터, 다음을 만족하는 유한한 수의 $K$ 위의 점 $q_1$, $q_2$, $\cdots$, $q_n$이 존재한다.

$$K\subseteq W_{q_1}\cup W_{q_2}\cup \cdots \cup W_{q_n}=W$$

만약 집합 $V$를 $V=V_{q_1}\cap V_{q_2}\cap \cdots \cap V_{q_n}$으로 정의하면, $V$는 $p$의 근방이며, 동시에 $W$와 서로소인 집합이 된다.

따라서 $V\subseteq K^{\mathsf{c}}$임이 자명하며, 이로부터 $K^{\mathsf{c}}$의 부분집합인 $p$의 근방이 존재함을 알 수 있다.

이때, $p\in K^{\mathsf{c}}$의 선택이 임의적이었으므로, $K^{\mathsf{c}}$가 열린집합임을 알 수 있으며, 따라서 증명이 끝난다.

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Theorem 2.

거리공간의 컴팩트 집합의 닫힌 부분집합은 언제나 컴팩트 집합이다.

 

Proof.

거리공간 $X$에 대하여 $F\subseteq K\subseteq X$인 컴팩트 집합 $K$와 닫힌집합 $F$가 주어졌다고 하자.

이제 $F$의 open cover $\{V_{\alpha }\}$를 생각하자.

그러면 $F$가 닫힌집합이라는 사실로부터 $\mathrm{\Omega }=\{V_{\alpha }\}\cup F^{\mathsf{c}}$가 $K$의 open cover임을 알 수 있다.

$K$가 컴팩트 집합이므로 $\mathrm{\Omega }$의 finite subcover $\mathrm{\Phi }$가 존재한다. 이때, $F\subseteq K$이므로 $\mathrm{\Phi }$는 $F$의 finite open cover이기도 하다.

만약 $F^{\mathsf{c}}\notin \mathrm{\Phi }$이면 $\mathrm{\Phi }$가 $\{V_{\alpha }\}$의 finite subcover다.

만약 $F^{\mathsf{c}}\in \mathrm{\Phi }$라면, $F={\displaystyle \bigcup \mathrm{\Phi }\cap F\subseteq \bigcup (\mathrm{\Phi }\setminus \{F^{\mathsf{c}}\})}$이므로 $\mathrm{\Phi }\setminus \{F^{\mathsf{c}}\}$가 $\{V_{\alpha }\}$의 finite subcover다.

따라서 $\{V_{\alpha }\}$의 finite subcover는 존재하며, 이는 곧 $F$가 컴팩트 집합임을 의미한다.

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Corollary 2.1.

거리공간에서 컴팩트 집합과 닫힌집합의 교집합은 언제나 컴팩트 집합이다.

 

Proof.

Theorem 1과 Theorem 2, 그리고 이 글의 Theorem 4에 의해 자명하다.

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Theorem 3.

거리공간 $X$와 그의 컴팩트 부분집합의 collection $\{K_{\alpha }\}$가 주어졌다고 하자. 만약 $\{K_{\alpha }\}$의 임의의 finite subcollection $\mathrm{K}$에 대하여 ${\displaystyle \bigcap \mathrm{K}\ne \varnothing }$이 성립한다면, ${\displaystyle \bigcap \{K_{\alpha }\}\ne \varnothing }$이 성립한다.

 

Proof.

먼저, $K\in \{K_{\alpha }\}$를 고정하고 각 $\alpha$에 대하여 $G_{\alpha }=K_{\alpha }^{\mathsf{c}}$를 정의하자.

귀류법을 이용하여 정리를 증명하기 위해 ${\displaystyle \bigcap \{K_{\alpha }\}=\varnothing }$이라고 가정하자.

그러면 Theorem 1에 의해 각 $G_{\alpha }$가 열린집합이고, $K\subseteq X={\left({\displaystyle \bigcap \{K_{\alpha }\}}\right)}^{\mathsf{c}}=\bigcup \{G_{\alpha }\}$이므로 $\{G_{\alpha }\}$는 $K$의 open cover다.

이때, $K$가 컴팩트 집합이므로 $\{G_{\alpha }\}$의 finite subcover $\{G_{{\alpha }_1},G_{{\alpha }_2},\cdots ,G_{{\alpha }_n}\}$가 존재하며, 따라서 다음이 성립한다.

$$K\cap K_{{\alpha }_1}\cap K_{{\alpha }_2}\cap \cdots \cap K_{{\alpha }_n}=K\cap {(G_{{\alpha }_1}\cup G_{{\alpha }_2}\cup \cdots \cup G_{{\alpha }_n})}^{\mathsf{c}}=\varnothing$$

그런데, 이는 정리의 조건인 $\{K_{\alpha }\}$의 finite subcollection의 교집합이 공집합이 아니라는 것에 모순이다.

따라서 처음의 가정인 ${\displaystyle \bigcap \{K_{\alpha }\}=\varnothing }$이 거짓이며, 이는 곧 정리의 증명으로 이어진다.

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Corollary 3.1.

거리공간 $X$와 그의 공집합이 아닌 컴팩트 부분집합의 열 $\{K_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 자연수 $n$에 대하여 $K_n\supseteq K_{n+1}$이 성립한다면, ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{K}_n\ne \varnothing }$이 성립한다.

 

Theorem 4. 볼차노-바이어슈트라스 정리 (Bolzano-Weierstrass Theorem)

만약 $E$가 컴팩트 집합 $K$의 무한 부분집합이라면, $E$는 $K$ 위의 점인 limit point를 하나 이상 가진다.

 

Proof.

귀류법을 이용한 증명을 위해 $K$ 위의 모든 점이 $E$의 limit point가 아니라고 가정하자.

그러면 각 $q\in K$는 $(V_q\setminus \{q\})\cap E=\varnothing$이 성립하도록 하는 $q$의 근방 $V_q$를 가진다.

이때, $K\subseteq {\displaystyle \bigcup _{q\in K}{V}_q}$는 자명하므로 $\{V_q{\}}_{q\in K}$는 $K$의 open cover다.

$K$가 컴팩트 집합이므로 $\{V_q\}$의 finite subcover $\{V_{q_1},V_{q_2},\cdots ,V_{q_n}\}$이 존재하며, $E\subseteq K$이므로 $E\subseteq V_{q_1}\cup V_{q_2}\cup \cdots \cup V_{q_n}$이다.

그런데, 각 $q\in K$에 대하여 $V_q\cap E$는 최대 한 개의 원소를 가지며, $E$가 무한집합이므로 $E\subseteq V_{q_1}\cup V_{q_2}\cup \cdots \cup V_{q_n}$인 것은 불가능하다.

즉, 처음의 가정인 '$K$ 위의 모든 점은 $E$의 limit point가 아니다'가 거짓이며, 따라서 정리가 증명된다.

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Definition 1. 유계 (Bounded)

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 만약 다음을 만족하는 실수 $M>0$이 존재한다면, $E$를 유계 (Bounded)라고 하며, 유계인 집합을 유계 집합 (Bounded Set)이라고 한다. $$\mathrm{\forall }p,q\in E,d(p,q)<M$$

 

Theorem 5.

거리공간에서 모든 컴팩트 집합은 유계이다.

 

Proof.

거리공간 $X$와 그의 컴팩트 부분집합 $K$가 주어졌다고 하자.

이제 임의의 $p\in K$에 대하여 $V_p$를 반지름이 $1$인 $p$의 반경이라고 하자.

그러면 $K={\displaystyle \bigcup _{p\in K}\{p\}\subseteq \bigcup _{p\in K}{V}_p}$이므로 $\{V_p{\}}_{p\in K}$가 $K$의 open cover가 됨은 자명하다.

이때, $K$가 컴팩트 집합이므로 $\{V_p{\}}_{p\in K}$의 finite subcover $\{V_{p_1},V_{p_2},\cdots ,V_{p_n}\}$이 존재한다.

이제 $M=2+{\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{max}d(p_i,p_j)}$라고 하자.

그러면 임의의 $p,q\in K$에 대하여 $p\in V_{p_m}$, $q\in V_{p_l}$인 $m,l\in \{1,2,\cdots ,n\}$가 존재하므로 다음이 성립한다.

$$d(p,q)\le d(p,p_m)+d(p_m,p_l)+d(p_l,q)<2+d(p_m,p_l)\le M$$

따라서 임의의 $p,q\in K$에 대하여 $d(p,q)<M$이 성립하므로 $K$는 유계이다.

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위의 내용들은 일반적인 거리공간에서의 얘기들이다. 하지만, 앞으로 해석학 카테고리의 글들에서 다루게 될 집합은 유클리드 공간이나 그의 부분집합인 경우가 많기 때문에 유클리드 공간에서 성립하는 특수한 성질을 추가로 다룰 것이다. 유클리드 공간에서는 컴팩트 집합인 것과 유계 닫힌집합인 것이 동치이다. 이 내용은 Theorem 6에서 확인할 수 있다. 아래는 Theorem 6을 증명하는 데에 필요한 보조정리들과 Theorem 6의 증명과정이다.

 

Lemma 1.

$\{I_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$을 유계 닫힌 구간의 열 (sequence)이라고 하자. 만약 임의의 자연수 $n$에 대하여 $I_n\supseteq I_{n+1}$이 성립한다면, ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n\ne \varnothing }$이 성립한다.

 

Proof.

각 $n$에 대하여 $I_n=[a_n,b_n]$라고 하고 집합 $E$를 $a_n$의 집합이라고 하자.

그러면 $E$는 공집합이 아니며, $a_n\le b_n\le b_0$으로부터 $E$는 위로 유계이다.

따라서 실수의 최소상계성질에 의해 $E$는 상한을 가진다. $x$를 $E$의 상한이라고 하자.

그러면 임의의 두 자연수 $n,m$에 대하여 다음이 성립하므로 각 $m$에 대하여 $x\le b_m$이 성립한다.

$$a_n\le a_{n+m}\le b_{n+m}\le b_m$$

비슷한 방법으로 각 $m$에 대하여 $a_m\le x$가 성립함을 얻을 수 있다.

따라서 모든 $m\in \mathbb{N}$에 대하여 $x\in I_m$이 성립하며, 이로 인해 $x\in {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n}$이 성립한다.

따라서 ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n}$은 공집합이 아니다.

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Definition 2. k-cell

$k$개의 유계 닫힌 구간 $[a_1,b_1]$, $[a_2,b_2]$, $\cdots$, $[a_k,b_k]$의 데카르트 곱 $[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_k,b_k]$를 $k$-cell이라고 한다.

 

Lemma 2.

$\{I_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$을 $k$-cell의 열이라고 하자. 만약 임의의 자연수 $n$에 대하여 $I_n\supseteq I_{n+1}$이 성립한다면, ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n\ne \varnothing }$이 성립한다.

 

Proof.

각 $n$에 대하여 $I_n=[a_{n,1},b_{n,1}]\times [a_{n,2},b_{n,2}]\times \cdots \times [a_{n,k},b_{n,k}]$라고 하고 $I_n,j=[a_{n,j},b_{n,j}]$라고 하자.

그러면 각 $j$에 대하여 유계 닫힌 구간의 열 $\{I_{n,j}{\}}_{n\in \mathbb{N}}$는 Lemma 1의 조건을 만족한다.

따라서 각 $j$에 대하여 $x_j\in {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_{n,j}}$인 실수 $x_j$가 존재한다.

이때, $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_k)$라고 하면, 각 $n$에 대하여 $\mathbf{x}\in I_n$임은 자명하다.

따라서 $\mathbf{x}\in {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb{N}}{I}_n}$이 성립하며, 이로 인해 보조정리가 증명된다.

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Lemma 3.

모든 $k$-cell은 컴팩트 집합이다.

 

Proof.

$k$-cell $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_k,b_k]$가 주어졌다고 하자.

이제 $\delta ={\left({\displaystyle \sum _{j=1}^k{(b_j-a_j)}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}$라고 하면, 임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in I$에 대하여 $|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\le \delta$가 성립한다.

귀류법을 이용한 증명을 위해 finite subcover가 없는 $I$의 open cover $\{G_{\alpha }\}$가 존재한다고 가정하자.

이제 $c_j=\frac{a_j+b_j}{2}$라고 하면, 각 유계 닫힌 구간 $[a_j,c_j]$, $[c_j,b_j]$는 합집합이 $I$가 되도록 하는 총 $2^k$개의 $k$-cell $Q_i$를 정의한다.

그러면 $I$가 $\{G_{\alpha }\}$의 finite subcollection으로 cover되지 못하므로 $Q_i$ 중 적어도 하나는 $\{G_{\alpha }\}$의 finite subcollection으로 cover되지 못한다. 이 $Q_i$를 $I_1$이라고 하자.

위와 같이 정의된 $k$-cell $I_1$에 대하여 위와 같은 과정을 다시 반복하자.

그러면 우리는 다음과 같은 성질을 가지는 $k$-cell의 열 $\{I_n\}$을 얻어낼 수 있다.

1) $I\subseteq I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots$

2) 각 $n$에 대하여 $I_n$을 cover하는 $\{G_{\alpha }\}$의 finite subcollection은 존재하지 않는다.

3) 임의의 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in I_n$에 대하여 $|\mathbf{x}-\mathbf{y}|\le 2^{-n}\delta$가 성립한다.

이때, 성질 1)과 Lemma 2에 의해 모든 $I_n$의 원소인 점 ${\mathbf{x}}^{\ast }$가 존재한다.

이때, $\{G_{\alpha }\}$가 $I$의 open cover이므로 ${\mathbf{x}}^{\ast }\in G_{\alpha }$이도록 하는 $\alpha$가 존재한다.

$G_{\alpha }$가 열린집합이므로 $|\mathbf{y}-{\mathbf{x}}^{\ast }|<r\Rightarrow \mathbf{y}\in G_{\alpha }$이도록 하는 양수 $r>0$이 존재한다.

이때, 실수는 아르키메데스 성질을 만족하므로 $2^{-n}\delta <r$이 되도록 하는 양의 정수 $n$이 존재한다.

그러한 $n$에 대하여 $I_n\subseteq G_{\alpha }$인 것은 자명하며, 이는 곧 성질 2)와 모순이다.

따라서 처음의 가정인 finite cover가 없는 $I$의 open cover가 존재한다는 것이 거짓임을 알 수 있으며, 이는 곧 명제의 증명으로 이어진다.

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Theorem 6. 유클리드 공간에서 컴팩트일 동치조건 ( Equivalent Conditoins of Being Compact Set in Euclidan Space )

유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^k$의 부분집합 $E$에 대하여 다음 세 가지 명제는 동치이다. (1) $E$는 유계 닫힌집합이다. (2) $E$는 컴팩트 집합이다. (3) $E$의 모든 무한 부분집합은 $E$ 위의 점인 limit point를 하나 이상 가진다.

 

Proof.

먼저, 명제 (1)을 만족하면, $E\subseteq I$인 $k$-cell $I$가 존재함은 자명하다. 따라서 Lemma 3과 Theorem 2에 의해 $E$는 컴팩트 집합이다. 또한, Theorem 4에 의해 명제 (2)가 명제 (3)을 함의함은 자명하다.

따라서 명제 (3)이 명제 (1)을 함의함을 보이면 정리가 증명된다.

만약 $E$가 유계가 아니면, $E$는 임의의 자연수 $n$에 대하여 $|{\mathbf{x}}_n|>n$을 만족하는 ${\mathbf{x}}_n\in E$를 원소로 가진다.

이제 $S=\{{\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots \}$라고 하면 $S$는 무한집합임이 자명하며, 또한 $S$가 limit point를 가지지 않는다는 것 역시 자명하다.

그러나 이는 명제 (3)에 모순이므로 $E$가 유계가 아니라는 가정이 거짓임을 알 수 있으며, 따라서 명제 (3)은 $E$가 유계임을 함의한다.

이제 $E$가 닫힌집합이 아니라고 가정하자. 그러면 $E$의 limit point ${\mathbf{x}}_0\in {\mathbb{R}}^k\setminus E$가 존재한다.

그러면 ${\mathbf{x}}_0$가 $E$의 limit point라는 사실로부터 각 $n=1,2,3,\cdots$에 대하여 $0<|{\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_0|<\frac{1}{n}$이 성립하도록 하는 ${\mathbf{x}}_n\in E$가 존재한다.

이제 $T=\{{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots \}$라고 하자. 그러면 $T$는 무한집합이며, ${\mathbf{x}}_0$를 limit point로 가진다.

또한, $\mathbf{y}\ne \mathbf{x}$인 각 $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^k$에 대하여 유한한 $n$을 제외한 모든 $n=1,2,3,\cdots$에 대하여 다음이 성립한다.

$$|\mathbf{y}-{\mathbf{x}}_n|\ge |\mathbf{y}-{\mathbf{x}}_0|-|{\mathbf{x}}_0-{\mathbf{x}}_n|\ge |\mathbf{y}-{\mathbf{x}}_0|-\frac{1}{n}\ge \frac{1}{2}|\mathbf{y}-{\mathbf{x}}_0|$$

따라서 $T$는 ${\mathbf{x}}_0$를 제외한 다른 limit point를 가지지 않으며, 이는 곧 명제 (3)과 모순이다.

따라서 $E$가 닫힌집합이 아니라는 가정이 거짓이며, 이는 곧 명제 (3)이 $E$가 닫힌집합임을 함의함을 의미한다.

따라서 명제 (3)은 명제 (1)을 함의하며, 결국 정리가 증명된다.

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