해석학, 그 열세 번째 이야기 | 거리공간에서의 점렬[수열]의 극한 ( Limit of Sequence for Metric Space )
이전 글까지의 총 12개의 해석학 카테고리의 글은 앞으로 다루게 될 내용들을 서술하기 위한 준비작업의 일종이었다. 이번 글부터 본격적으로 해석학이라고 할 수 있을 만한 글을 쓰게 될 것으로 보인다. 물론 비교적 심화된 내용들을 다루기 전까지는 미적분학과 큰 차이가 없겠지만, 그래도 앞선 글들에서 서술했던 내용들 덕분에 기본적인 서술 방식이나 정의 등을 미적분학에 비해 더 일반적으로 할 수 있을 것으로 보인다.
그럼 본론으로 들어가서 이번 글에서는 수열 또는 점렬의 극한의 정의와 그 성질들을 다룰 것이다. 아마 학창시절에 미적분 수업을 들었던 사람들이라면, 수열의 극한에 대해 어렴풋이 알고 있으리라 생각한다. 보통 고등학교 수준의 교과서에서는 수열의 값이 특정 값에 한없기 가까이 다가갈 때 그 값을 수열의 극한이라고 한다고 서술되어 있다. 그러나, 이 '한없이 가까이 다가간다'는 표현이 직관적이기는 해도, 수학적이지 않다는 것에는 다들 동의할 것이다. 그렇기 때문에 수학자들은 이 '한없이 가까이 다가간다'는 개념을 어떻게 하면 수학적으로 표현할 수 있을지에 대해 고민을 하게 되었고, 결국 코시 (Cauchy)라는 수학자가 이 개념을 수학적으로 정의하였다. 아래의 정의를 보자.
Definition 1. 점렬[수열]의 극한 (Limit of Sequence)
거리공간 물론, 여기서 또한, 위의 경우에 대하여 점렬 또한, |
위 정의를 통해 한 가지 알 수 있는 것은, 어떤 점렬 또는 수열의 수렴 여부는 해당 점렬 또는 수열이 무엇인지뿐만 아니라 어떤 거리공간에서 정의되었느냐도 중요하다는 것이다. 다음 예시를 보자.
Example 1.
수열
그러면 수열
하지만, 위의 거리공간의 부분공간인 양의 실수의 집합에서는 발산하는 수열임을 어렵지 않게 알 수 있다.
위의 예시를 통해 점렬 또는 수열의 수렴 여부를 판단할 때에는 꼭 어느 공간에서 정의되었는지를 고려해야 한다는 사실을 알 수 있다. 아래는 앞으로의 서술을 위해 추가적으로 정의하는 개념들이다.
Definition 2. Range of Sequence & Bounded Sequence
점렬 또는 수열 또한, range가 유계집합인 점렬 또는 수열을 각각 유계점렬, 유계수열이라고 한다. |
이제 거리공간에서 수렴하는 수열의 몇 가지 성질들을 알아보자.
점렬 (1) (2) 만약 (3) 만약 (4) 만약 |
Proof.
Part (1)
따라서
이제
그러면 임의의
따라서 집합
즉,
따라서 명제 (1)이 증명된다.
Part (2)
양수
그러면
따라서
그런데, 여기서
그런데, 거리함수의 정의에 의해
따라서 명제 (2)가 증명된다.
Part (3)
이때, 임의의
따라서
Part (4)
이제 양수
그러면 아르키메데스 원리에 의해
이때,
이제 복소수열 또는
Theorem 2.
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) |
Proof.
Part (1)
양수
그러면
Part (2)
양수
그러면
따라서 삼각부등식에 의해
이때,
Part (3)
양수
그러면
따라서
이때,
Part (4)
양수
그러면
따라서
이때,
Part (5)
양수
그러면
따라서
이때,
Part (6)
명제 (2)와 명제 (5)에 의해 자명하다.
Part (7)
명제 (2)와 명제 (3)에 의해 자명하다.
Part (8)
명제 (3)과 명제 (5)에 의해 자명하다.
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