해석학, 그 열세 번째 이야기 | 거리공간에서의 점렬[수열]의 극한 ( Limit of Sequence for Metric Space )

이전 글까지의 총 12개의 해석학 카테고리의 글은 앞으로 다루게 될 내용들을 서술하기 위한 준비작업의 일종이었다. 이번 글부터 본격적으로 해석학이라고 할 수 있을 만한 글을 쓰게 될 것으로 보인다. 물론 비교적 심화된 내용들을 다루기 전까지는 미적분학과 큰 차이가 없겠지만, 그래도 앞선 글들에서 서술했던 내용들 덕분에 기본적인 서술 방식이나 정의 등을 미적분학에 비해 더 일반적으로 할 수 있을 것으로 보인다.

 

그럼 본론으로 들어가서 이번 글에서는 수열 또는 점렬의 극한의 정의와 그 성질들을 다룰 것이다. 아마 학창시절에 미적분 수업을 들었던 사람들이라면, 수열의 극한에 대해 어렴풋이 알고 있으리라 생각한다. 보통 고등학교 수준의 교과서에서는 수열의 값이 특정 값에 한없기 가까이 다가갈 때 그 값을 수열의 극한이라고 한다고 서술되어 있다. 그러나, 이 '한없이 가까이 다가간다'는 표현이 직관적이기는 해도, 수학적이지 않다는 것에는 다들 동의할 것이다. 그렇기 때문에 수학자들은 이 '한없이 가까이 다가간다'는 개념을 어떻게 하면 수학적으로 표현할 수 있을지에 대해 고민을 하게 되었고, 결국 코시 (Cauchy)라는 수학자가 이 개념을 수학적으로 정의하였다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1. 점렬[수열]의 극한 (Limit of Sequence)

거리공간 $X$ 위의 점렬 $\{ p_n \}$에 대하여 다음 성질을 만족하는 점 $p \in X$가 존재한다면, $\{ p_n \}$이 수렴한다 (Converge)고 한다. $$ \forall \varepsilon > 0 , \; \exists N \in \mathbb{N} \text{ s.t. } \left( n \geq N \Rightarrow d \left( p_n , p \right) < \varepsilon \right) $$ 물론, 여기서 $d \left( \bullet , \bullet \right)$는 거리공간 $X$의 거리함수를 나타낸다. 또한, 위의 경우에 대하여 점렬 $\{ p_n \}$이 $p \in X$로 수렴한다 (Converge to $p \in X$)고도 하며, 이를 $p_n \to p$ 또는 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = p$와 같이 나타낸다. 또한, $X$ 위의 점렬 $\{ p_n \}$이 $p$로 수렴하도록 하는 $p \in X$가 존재하지 않는다면, $\{ p_n \}$이 발산한다 (Diverge)고 한다.

 

위 정의를 통해 한 가지 알 수 있는 것은, 어떤 점렬 또는 수열의 수렴 여부는 해당 점렬 또는 수열이 무엇인지뿐만 아니라 어떤 거리공간에서 정의되었느냐도 중요하다는 것이다. 다음 예시를 보자.

 

Example 1.

수열 $\{ x_n \}$을 $x_n = \frac{1}{n}$으로 정의하자. ($n > 0$에 대하여)

그러면 수열 $\{ x_n \}$은 거리공간 $\left( \mathbb{R} , \lvert \cdot - \cdot \rvert \right)$에서는 $0$으로 수렴한다.

하지만, 위의 거리공간의 부분공간인 양의 실수의 집합에서는 발산하는 수열임을 어렵지 않게 알 수 있다.

 

위의 예시를 통해 점렬 또는 수열의 수렴 여부를 판단할 때에는 꼭 어느 공간에서 정의되었는지를 고려해야 한다는 사실을 알 수 있다. 아래는 앞으로의 서술을 위해 추가적으로 정의하는 개념들이다.

 

Definition 2. Range of Sequence & Bounded Sequence

점렬 또는 수열 $\{ p_n \}_{n \in \mathbb{N}}$에 대하여 다음 집합을 $\{ p_n \}$의 Range라고 한다. $$ \{ p_n \;|\; n \in \mathbb{N} \} $$ 또한, range가 유계집합인 점렬 또는 수열을 각각 유계점렬, 유계수열이라고 한다.

 

이제 거리공간에서 수렴하는 수열의 몇 가지 성질들을 알아보자.

 

Theorem 1.

점렬 $\{ p_n \}$이 거리공간 $X$에서 정의되었다고 하자. 그러면 다음 명제들이 성립한다. (1) $\{ p_n \}$이 $p \in X$로 수렴하는 것과 $p$의 모든 근방이 유한한 개수의 $n$을 제외한 모든 $n$에 대하여 $p_n$을 원소로 가지는 것은 동치이다. (2) 만약 $\{ p_n \}$이 $p \in X$로 수렴함과 동시에 $p' \in X$로 수렴한다면, $p = p'$이다. (3) 만약 $\{ p_n \}$이 수렴한다면, $\{ p_n \}$은 유계이다. (4) 만약 $E \subseteq X$이고, $p \in X$가 $E$의 limit point라면, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n = p$인 $E$에서 정의되는 점렬 $\{ p_n \}$이 존재한다.

 

Proof.

Part (1)

$\{ p_n \}$이 $p \in X$로 수렴한다고 가정하자. 그러면 Definition 1에 의해 임의의 $p$의 근방 $V$에 대하여 그에 대응되는 자연수 $N$이 존재하여, $n \geq N \Rightarrow p_n \in V$가 성립한다.

따라서 $\{ p_n \}$이 $p \in X$로 수렴하면, $p$의 모든 근방이 유한한 개수의 $n$을 제외한 모든 $n$에 대하여 $p_n$을 원소로 가진다.

이제 $p \in X$의 모든 근방이 유한한 개수의 $n$을 제외한 모든 $n$에 대하여 $p_n$을 원소로 가진다고 가정하자.

그러면 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $N_\varepsilon(p)$가 유한한 개수의 $n$을 제외한 모든 $n$에 대하여 $p_n$을 원소로 가진다.

따라서 집합 $\{ n \in \mathbb{N} \;|\; p_n \in N_\varepsilon(p) \}$는 유한하며, 따라서 최댓값 $M$을 가진다.

즉, $N = M+1$에 대하여 $n \geq N$은 $p_n \in N_\varepsilon(p)$를 함의하며, 이는 곧 $p_n \rightarrow p$를 의미한다.

따라서 명제 (1)이 증명된다.

 

Part (2)

양수 $\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자.

그러면 $p_n \rightarrow p$와 $p_n \rightarrow p'$으로부터 다음을 만족하는 자연수 $N_1, N_2$가 존재한다.

$$ n \geq N_1 \Rightarrow d( p_n , p ) < \varepsilon \\ n \geq N_2 \Rightarrow d( p_n , p' ) < \varepsilon $$

따라서 $N = \max \{ N_1 , N_2 \}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ n \geq N \Rightarrow d( p , p' ) \leq d( p , p_n ) + d( p_n , p' ) < \varepsilon $$

그런데, 여기서 $\varepsilon > 0$의 선택이 임의적이었으므로 $d( p , p' ) = 0$이다.

그런데, 거리함수의 정의에 의해 $d( p , p' ) = 0$은 곧 $p = p'$을 의미한다.

따라서 명제 (2)가 증명된다.

 

Part (3)

$\{ p_n \}$이 $p \in X$로 수렴한다고 가정하자. 그러면 다음이 성립하도록 하는 자연수 $N$이 존재한다.

$$ n \geq N \Rightarrow d( p_n , p ) < 1 $$

이때, 임의의 $n,m$에 대하여 $d( p_n , p_m ) \leq d( p_n , p_N ) + d( p_m , p_N ) + 2d( p_N , p ) < d( p_n , p_N ) + d( p_m , p_N ) + 2$이 성립하므로, $M = 2 + 2\max \left( \{ p_n \;|\; n < N \} \cup \{ 1 \} \right)$이라고 하면 다음이 성립한다.

$$ \forall n,m, \; d( p_n , p_m ) < M $$

따라서 $\{ p_n \}$은 유계이며, 명제 (3)이 증명된다.

 

Part (4)

$p \in X$가 $E \subseteq X$의 limit point라면, 임의의 양의 정수 $n$에 대하여 $d( p_n , p ) < \frac{1}{n}$이 성립하도록 하는 $p_n \in E$가 존재한다.

이제 양수 $\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자.

그러면 아르키메데스 원리에 의해 $N > \frac{1}{\varepsilon}$을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.

이때, $n \geq N \Rightarrow \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon$이므로 $n \geq N \Rightarrow d( p_n , p ) < \varepsilon$이 성립한다.

$\varepsilon > 0$의 선택이 임의적이었으므로 $p_n \rightarrow p$이며, 따라서 명제 (4)가 증명된다.

$\blacksquare$

 

이제 복소수열 또는 $\mathbb{R}^k$에서의 점열의 극한이 가지는 대수적 성질에 대해 알아보도록 하자. 사실 아래의 정리는 상당히 직관적인 결과를 가지고 있으며, 실제로도 고등학교 수준에서는 그냥 당연하다는 듯이 받아들이는 개념이다. 하지만, 아무리 당연해 보이더라도 수학은 연역적 논증으로 이루어진 학문이기에 증명이 필요하며, 아래에는 그 증명이 서술되어 있으니 혹시 학창시절 극한의 계산법칙에 대해 약간의 의문이라도 가졌던 사람이라면 읽어보는 것을 추천한다.

 

Theorem 2.

$\{ s_n \}$과 $\{ t_n \}$은 각각 $s$와 $t$로 수렴하는 복소수열이고, $c$는 복소수 상수이며, $\{ \mathbf{x}_n \}$과 $\{ \mathbf{y}_n \}$은 각각 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$로 수렴하는 $\mathbb{R}^k$에서 정의되는 점렬이고, $\{ \alpha_{1,n} \}$, $\{ \alpha_{2,n} \}$, $\cdots$, $\{ \alpha_{k,n} \}$, $\{ \beta_n \}$이 각각 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_k$ $\beta$로 수렴하는 실수열이라고 하자. 그러면 다음의 명제들이 성립한다. (1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} c = c$ (2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( s_n + t_n \right) = s+t$ (3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_n t_n = st$ (4) $s \neq 0$이면, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_n} = \frac{1}{s}$ (5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \alpha_{1,n},\alpha_{2,n},\cdots,\alpha_{k,n} \right) = \left( \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k \right)$ (6) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \mathbf{x}_n + \mathbf{y}_n \right) = \mathbf{x}+\mathbf{y}$ (7) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \mathbf{x}_n \cdot \mathbf{y}_n \right) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$ (8) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \beta_n \mathbf{x}_n = \beta \mathbf{x}$

 

Proof.

Part (1)

양수 $\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자.

그러면 $n$의 값에 관계없이 $c - c = 0$이므로 $N$의 선택과 관계없이 다음을 만족한다.

$$ n \geq N \Rightarrow \lvert c - c \rvert = 0 < \varepsilon $$

$\varepsilon > 0$의 선택이 임의적이었으므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} c = c$이다.

 

Part (2)

양수 $\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자.

그러면 $s_n \to s$, $t_n \to t$로부터 다음을 만족하는 두 자연수 $N_1$, $N_2$가 존재한다.

$$ n \geq N_1 \Rightarrow \lvert s_n - s \rvert < \frac{1}{2} \varepsilon \\ n \geq N_2 \Rightarrow \lvert t_n - t \rvert < \frac{1}{2} \varepsilon $$

따라서 삼각부등식에 의해 $N = \max \{ N_1 , N_2 \}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ n \geq N \Rightarrow \lvert ( s_n + t_n ) - ( s + t ) \rvert \leq \lvert s_n - s \rvert + \lvert t_n - t \rvert < \frac{1}{2} \varepsilon + \frac{1}{2} \varepsilon = \varepsilon $$

이때, $\varepsilon > 0$의 선택이 임의적이었으므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( s_n + t_n ) = s+t$이다.

 

Part (3)

양수 $\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자.

그러면 $s_n \to s$, $t_n \to t$로부터 다음을 만족하는 두 자연수 $N_1$, $N_2$가 존재한다.

$$ n \geq N_1 \Rightarrow \lvert s_n - s \rvert < 1 \\ n \geq N_2 \Rightarrow \lvert t_n - t \rvert < \frac{\varepsilon}{2 \left( \lvert s \rvert + 1 \right)} $$

따라서 $N = \max \{ N_1 , N_2 \}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ n \geq N \Rightarrow \lvert s_n t_n - st \rvert \leq \lvert s_n t_n - s t_n \rvert + \lvert s t_n - st \rvert < \frac{ \lvert s_n \rvert + \lvert s \rvert }{ 2 \left( \lvert s \rvert + 1 \right) } \varepsilon < \varepsilon $$

이때, $\varepsilon > 0$의 선택이 임의적이었으므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} s_n t_n = st$이다.

 

Part (4)

양수 $\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자.

그러면 $s_n \to s$와 $s \neq 0$으로부터 다음을 만족하는 두 자연수 $N_1$, $N_2$가 존재한다.

$$ n \geq N_1 \Rightarrow \lvert s_n - s \rvert < \frac{1}{2} \lvert s \rvert^2 \varepsilon \\ n \geq N_2 \Rightarrow \lvert s_n - s \rvert < \frac{1}{2} \lvert s \rvert $$

따라서 $N = \max \{ N_1 , N_2 \}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ n \geq N \Rightarrow \lvert \frac{1}{s_n} - \frac{1}{s} \rvert = \frac{ \lvert s_n - s \rvert }{ \lvert s \rvert \lvert s_n \rvert } < \frac{ \frac{1}{2} \lvert s \rvert^2 \varepsilon }{ \lvert s \rvert \cdot \frac{1}{2} \lvert s \rvert } = \varepsilon $$

이때, $\varepsilon > 0$의 선택이 임의적이었으므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_n} = \frac{1}{s}$이다.

 

Part (5)

양수 $\varepsilon > 0$이 주어졌다고 하자.

그러면 $\alpha_{i,n} \to \alpha_i$ (단, $i = 1,2,\cdots,k$)로부터 각 $i = 1,2,\cdots,k$에 대하여 다음을 만족하는 자연수 $N_i$가 존재한다.

$$ n \geq N_i \Rightarrow \lvert \alpha_{i,n} - \alpha_i \rvert < \frac{1}{\sqrt{n}} \varepsilon $$

따라서 $N = \max \{ N_1 , N_2 , \cdots , N_k \}$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ n \geq N \Rightarrow \lvert ( \alpha_{1,n}, \alpha_{2,n}, \cdots, \alpha_{k,n} ) - ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k ) \rvert = \sqrt{ ( \alpha_{1,n} - \alpha_1 )^2 + ( \alpha_{2,n} - \alpha_2 )^2 + \cdots + ( \alpha_{k,n} - \alpha_k )^2 } < \varepsilon $$

이때, $\varepsilon > 0$의 선택이 임의적이었으므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} ( \alpha_{1,n}, \alpha_{2,n}, \cdots, \alpha_{k,n} ) = ( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k )$이다.

 

Part (6)

명제 (2)와 명제 (5)에 의해 자명하다.

 

Part (7)

명제 (2)와 명제 (3)에 의해 자명하다.

 

Part (8)

명제 (3)과 명제 (5)에 의해 자명하다.

$\blacksquare$