해석학, 그 열 번째 이야기 | 거리공간에서의 Interior와 Closure ( Interior and Closure for Metric Space )

우리는 저번 글에서 집합이 닫혀있다는 것과 열려있다는 것이 무엇을 의미하는지 알아보았다. 이번 글에서는 이러한 집합 중 조금 특이한 집합에 대해 다뤄볼 것이다. 먼저 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 이때, $E$의 모든 Interior Point의 집합을 $E$의 Interior라고 하며, 이를 $E^\mathsf{o}$와 같이 나타낸다.

 

Definition 2.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 이때, $E$의 모든 Limit Point의 집합을 $E'$라고 쓰기로 하면, 집합 $\overline{E}=E \cup E'$를 $E$의 Closure라고 한다.

 

위와 같이 정의되는 interior와 closure는 상당히 특이한 성질을 가지고 있다. 먼저, interior의 경우, 정의에서부터 짐작할 수 있듯이 열린집합이며, 심지어 $E$의 부분집합 중 가장 큰 열린집합이라는 성질을 가지고 있다. 마찬가지로 closure는 닫힌집합이며, $E$를 부분집합으로 가지는 집합 중 가장 작은 닫힌집합이다. 다음 정리에 이러한 사실이 보다 명확하게 나타나있으므로 다음 정리를 보자.

 

Theorem 1.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 세 가지 명제가 성립한다. (1) $E^\mathsf{o}$는 열린집합이다. (2) $E=E^\mathsf{o}$는 $E$가 열린집합인 것과 동치이다. (3) $F \subseteq X$가 열린집합이면 $F \subseteq E$인 것은 $F \subseteq E^\mathsf{o}$인 것과 동치이다.

 

Proof.

먼저 명제 (1)을 증명하기 위해 임의의 $x \in E^\mathsf{o}$를 생각하자.
그러면 $x$가 $E$의 interior point이므로 $N_r(x) \subseteq E$가 되도록 하는 양수 $r > 0$이 존재한다.
이제 임의의 $y \in N_r(x)$를 생각하자. 그러면 $d(x,y) < r$로부터 $r - d(x,y) > 0$임을 알 수 있으며, 따라서 $N_{r-d(x,y)}(y)$를 생각할 수 있다.
이때, 임의의 $z \in N_{r-d(x,y)}(y)$에 대하여 $d(x,z) \geq d(x,y)+d(y,z) < d(x,y) + (r-d(x,y)) = r$이므로 $N_{r-d(x,y)}(y) \subseteq N_r(x) \subseteq E$가 성립하여 $y$ 역시 $E$의 interior point가 된다. 즉, $N \subseteq E^\mathsf{o}$인 $x$의 근방 $N$이 존재한다.
따라서 $x$는 $E^\mathsf{o}$의 interior point이며, $x$의 선택이 임의적이었으므로 $E^\mathsf{o}$는 열린집합이다.

 

이제 명제 (2)를 증명하자. 일단, (1)에 의해 $E=E^\mathsf{o}$이면 $E$가 열린집합인 것은 자명하다. 따라서 $E$가 열린집합이면 $E=E^\mathsf{o}$가 된다는 것을 보이면 충분하다.
그런데, $E$가 열린집합이면, $E$의 모든 점이 $E$의 interior point이므로 $E \subseteq E^\mathsf{o}$이며, $E$의 interior point가 $E$의 원소임은 자명하므로 $E=E^\mathsf{o}$임을 알 수 있다.
따라서 $E=E^\mathsf{o}$인 것과 $E$가 열린집합인 것은 동치이다.

 

이제 명제 (3)을 증명하자. 먼저, $E^\mathsf{o} \subseteq E$이므로 $F \subseteq E^\mathsf{o}$이면 자명하게 $F \subseteq E$이다. 따라서 $F$가 열린집합일 때 $F \subseteq E$가 $F \subseteq E^\mathsf{o}$를 함의함을 보이면 충분하다.
이를 증명하기 위해 임의의 $x \in F$를 생각하자. 그러면 $F$가 열린집합이라는 사실로부터 $x$는 $F$의 interior point이다. 따라서 $N \subseteq F$인 $x$의 근방 $N$이 존재하며, $F \subseteq E$라는 사실로부터 $N \subseteq E$임을 알 수 있다. 즉, $N \subseteq E$인 $x$의 근방 $N$이 존재하므로 $x$는 $E$의 interior point이고, 따라서 $x \in E^\mathsf{o}$임을 알 수 있다.
이때, $x$의 선택이 임의적이었으므로 $F \subseteq E^\mathsf{o}$임을 알 수 있다. 따라서 $F$가 열린집합일 때, $F \subseteq E$와 $F \subseteq E^\mathsf{o}$는 동치이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 2.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $E$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 세 가지 명제가 성립한다. (1) $\overline{E}$는 닫힌집합이다. (2) $E=\overline{E}$인 것과 $E$가 닫힌집합인 것은 동치이다. (3) $G \subseteq X$가 닫힌집합이면 $E \subseteq G$인 것은 $\overline{E} \subseteq G$인 것과 동치이다.

 

Proof.

먼저 명제 (1)을 증명하기 위해 $\overline{E}$의 limit point $x$가 $\overline{E}$의 원소가 아니라고 가정하자.
그러면 $x$는 $E$의 limit point는 아니어야만 한다. 따라서 임의의 양수 $r$에 대하여 $d(x,y) < r$인 $y \in \overline{E} \setminus E$가 존재한다.
이때, $y$가 $E$의 limit point이므로 양수 $0 < h < r-d(x,y)$에 대하여 $N'_h(y)$ 위에는 $E$의 점 $z$가 존재하며, 이는 곧 $x$가 $E$의 limit point임을 의미한다.
이는 $x \notin \overline{E}$에 모순이므로 $\overline{E}$의 원소가 아닌 $\overline{E}$의 limit point는 존재하지 않는다.
따라서 $\overline{E}$는 닫힌집합이다.

 

이제 명제 (2)를 증명하자. 일단, (1)에 의해 $E=\overline{E}$이면 $E$가 닫힌집합인 것은 자명하다. 따라서 $E$가 닫힌집합이면 $E=\overline{E}$가 된다는 것을 보이면 충분하다.
그런데, $E$가 닫힌집합이면, $E$의 모든 limit point가 $E$의 원소이므로 $E' \subseteq E$이며, $\overline{E} = E \cup E'$이므로 $E = \overline{E}$임을 알 수 있다.
따라서 $E=\overline{E}$인 것과 $E$가 닫힌집합인 것은 동치이다.

 

이제 명제 (3)을 증명하자. 먼저, $E \subseteq \overline{E}$이므로 $\overline{E} \subseteq G$이면 자명하게 $E \subseteq G$이다. 따라서 $G$가 닫힌집합일 때 $E \subseteq G$가 $\overline{E} \subseteq G$임을 함의함을 보이면 충분하다.
그런데, $G$가 닫힌집합이므로 $G' \subseteq G$임은 자명하고, $E \subseteq G$로부터 $E' \subseteq G'$임이 자명하므로 $E' \subseteq G$임을 알 수 있다. 이로 인해 $\overline{E} = E \cup E' \subseteq G$임을 알 수 있다.
따라서 $G$가 닫힌집합이면 $E \subseteq G$인 것과 $\overline{E} \subseteq G$인 것은 동치이다.

$\blacksquare$

 

위의 두 정리^[각주:1]로부터 $E$의 interior $E^\mathsf{o}$는 $E$의 부분집합 중 가장 큰 열린집합이며, $E$의 closure $\overline{E}$는 $E$를 부분집합으로 가지는 집합 중 가장 작은 닫힌집합임을 알 수 있다. 이 외에도 closure와 interior는 몇 가지 연산을 보존하는데, 이는 다음 정리를 통해 확인할 수 있다.

 

Theorem 3.

거리공간 $X$와 그의 부분집합 $S$와 $T$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 몇 가지 명제가 성립한다. (1) $\overline{\overline{S}}=\overline{S}$ (2) $(S^\mathsf{o})^\mathsf{o}=S^\mathsf{o}$ (3) $\overline{S \cup T} = \overline{S} \cup \overline{T}$ (4) $(S \cap T)^\mathsf{o} = S^\mathsf{o} \cap T^\mathsf{o}$ (5) $(\overline{S})^\mathsf{c}=(S^\mathsf{c})^\mathsf{o}$과 (6) $S \subseteq T \Rightarrow \overline{S} \subseteq \overline{T}$ (7) $S \subseteq T \Rightarrow S^\mathsf{o} \subseteq T^\mathsf{o}$

 

Proof.

Theorem 1과 Theorem 2에 의해 명제 (1)과 명제 (2)는 자명하다.

 

이제 명제 (3)을 증명하기 위해 $S \cup T$의 limit point $x$를 생각하자.
그러면 임의의 $r > 0$에 대하여 $N'_r(x) \cap (S \cup T) \neq \varnothing$이다.
만약 어떤 두 양수 $r,k$에 대하여 $N'_r(x) \cap S = \varnothing$이고 $N'_k(x) \cap T = \varnothing$이라면 $N'_r(x) \subseteq N'_k(x) \lor N'_k(x) \subseteq N'_r(x)$에 모순이므로 그러한 두 양수 $r,k$는 없다.
따라서 $x$는 $S$의 limit point거나 $T$의 limit point이며, 이로 인해 $\overline{S \cup T} \subseteq \overline{S} \cup \overline{T}$임을 알 수 있다.
또한, $S$의 limit point $x$를 생각하면, 임의의 $r > 0$에 대하여 $N'_r(x) \cap S \neq \varnothing$이므로 $N'_r(x) \cap (S \cup T) \neq \varnothing$임을 알 수 있다. 즉, $S$의 limit point는 모두 $S \cup T$의 limit point이며, $T$의 limit point 역시 마찬가지임을 알 수 있다.
따라서 $\overline{S} \cup \overline{T} \subseteq \overline{S \cup T}$이며, $\overline{S \cup T} \subseteq \overline{S} \cup \overline{T}$인 것을 이미 보였으므로 $\overline{S \cup T} = \overline{S} \cup \overline{T}$임을 알 수 있다.

 

명제 (3)과 명제 (5)가 모두 참이라면 명제 (4)는 자명하다. 따라서 명제 (5)만 보이면 명제 (4)와 명제 (5)가 동시에 보여진다.
먼저 $(\overline{S})^\mathsf{c} \subseteq (S^\mathsf{c})^\mathsf{o}$임을 보이기 위해 $x \notin \overline{S}$를 생각하자.
$x \notin \overline{S}$는 곧 $N_r(x) \cap S = \varnothing$이 되도록 하는 양수 $r > 0$이 존재함을 의미한다. 따라서 $x$는 $S^\mathsf{c}$의 interior point이며, 이로 인해 $(\overline{S})^\mathsf{c} \subseteq (S^\mathsf{c})^\mathsf{o}$임을 알 수 있다.
이제 $(S^\mathsf{c})^\mathsf{o} \subseteq (\overline{S})^\mathsf{c}$임을 보이기 위해 $S^\mathsf{c}$의 interior point $x$를 생각하자. 그러면 $N_r(x) \subseteq S^\mathsf{c}$이도록 하는 양수 $r > 0$이 존재한다.
따라서 $x \notin S$이며, 동시에 $x$는 $S$의 limit point가 아님을 알 수 있다. 즉, $x \notin \overline{S}$이다.
따라서 $(\overline{S})^\mathsf{c} = (S^\mathsf{c})^\mathsf{o}$이다.

 

명제 (6)과 명제 (7)은 명제 (5)에 의해 동치임이 자명하므로 명제 (6)만 보이면 충분하다.
$S \subseteq T \Rightarrow \overline{S} \subseteq \overline{T}$임을 보이기 위해 $S$의 limit point $x$를 생각하자.
그러면 임의의 양수 $r > 0$에 대하여 $N'_r(x) \cap S \neq \varnothing$이므로 $S \subseteq T$이면 $N'_r(x) \cap T \neq \varnothing$임을 알 수 있다. 즉, $x$는 $T$의 limit point가 되며, 따라서 $\overline{S} \subseteq \overline{T}$임을 알 수 있다. 

$\blacksquare$

 

위의 정리를 통해 closure와 interior는 포함관계를 보존하며, closure는 합집합을, interior는 교집합을 보존한다는 사실을 알 수 있다. 또한, closure의 closure, interior의 interior는 각각 closure와 interior라는 사실을 알 수 있다. 여기서 한 가지 자연스러운 의문이 생기는데, closure의 interior나 interior의 closure는 각각 interior나 closure 또는 원래의 집합과 항상 같을까 하는 의문이 생기게 된다. 하지만, 안타깝게도 이는 사실이 아니며, 다음 예시를 통해 이를 알 수 있다.

 

Example 1.

거리공간 $\mathbb{R}$의 부분집합 $E = (0,1) \cup (1,2)$의 closure $\overline{E}$는 $[0,2]$이며, $\overline{E}$의 interior $(\overline{E})^\mathsf{o}$는 $(0,2)$이다. 이때, $(\overline{E})^\mathsf{o}$는 $E^\mathsf{o}$, $\overline{E}$, $E$ 중 그 어떤 것과도 같지 않다.

 

Example 2.

거리공간 $\mathbb{R}$의 부분집합 $E = [0,1] \cup \{2\}$의 interior $E^\mathsf{o}$는 $(0,1)$dlau, $E^\mathsf{o}$의 closure $\overline{E^\mathsf{o}}$는 $[0,1]$이다. 이때, $\overline{E^\mathsf{o}}$는 $E^\mathsf{o}$, $\overline{E}$, $E$ 중 그 어떤 것과도 같지 않다.

 

위의 두 예시를 통해 closure의 interior나 interior의 closure는 interior나 closure 또는 원래의 집합이 아닐 수도 있다는 것을 알 수 있으며, 위의 예시는 어쩌면 closure와 interior, 여집합 연산을 반복 적용하면 매우 많은 수의 집합이 생길 수도 있지 않을까 하는 생각을 하게 만들기도 한다. 이 의문에 대한 대답까지 이번 글에 포함하게 되면 이번 글의 분량이 너무 길어질 것 같으므로 이에 대한 대답은 별도의 글을 작성해 업로드하도록 하겠다.

 

 

1. Theorem 1과 Theorem 2 [본문으로]