거리공간에서의 쿠라토프스키 14개 집합 정리 ( Kuratowski's 14-Set Theorem for Metric Space; Kuratowski's Closure-Complement Problem for Metric Space )

이번 글에서는 저번 글에서 언급했던 문제인 쿠라토프스키 14개 집합 정리 (Kuratowski's 14-Set Theorem)에 대해 소개할 것이다. 쿠라토프스키 14개 집합 정리란, 거리공간 $X$가 주어질 때, $X$의 그 어떤 부분집합 $E$를 들고 와도, $A$에 closure 연산과 여집합 연산을 반복적으로 적용해서 얻을 수 있는 집합의 개수는 최대 14개라는 정리이다. 쿠라토프스키 14개 집합 정리는 쿠라토프스키 closure-complement 문제라고도 불리며, 이는 쿠라토프스키 모노이드라는 특이한 대수구조를 정의할 수 있도록 하며, 이를 통해 공간을 분류할 수 있다. 이에 대해서는 추후 위상수학을 다룰 때 포스팅하도록 하겠다. 그러면 이제 본론으로 들어가서 쿠라토프스키 14개 집합 정리가 무엇인지 알아보자.

 

Theorem 1. Kuratowski's 14-Set Theorem for Metric Space

거리공간 $X$가 주어졌으며, 다음과 같이 정의되는 두 함수 $k:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$, $c:\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$가 주어졌다고 하자. $$\begin{gathered} k:E\mapsto \bar{E} \\ c:E\mapsto E^{\mathsf{c}} \end{gathered}$$ 그러면 임의의 $E\subseteq X$에 대하여 $\{E\}$로부터 $k$와 $c$에 의해 생성된 집합의 원소의 개수의 최댓값은 14개이다.

 

Proof.

이번 증명에서는 서술의 편의를 위해 두 함수 $f$와 $g$의 합성 $f\circ g$를 $fg$와 같이 나타내도록 하겠다.
또한, 항등함수는 $ϵ$으로 나타내도록 하겠다.

그러면 이 글의 Theorem 2에 의해 $kk=k$임이 자명하며, 여집합의 성질에 의해 $cc=ϵ$임이 자명하다.

따라서 $k$와 $c$로 이루어진 문자열은 언제나 $k$가 두 번 연속으로 등장하지 않으며 $c$ 역시 두 번 연속으로 등장하지 않는 문자열로 환원될 수 있다. 단, 빈 문자열은 $ϵ$으로 취급하자.

따라서 $k$와 $c$를 통해 만들어질 수 있는 변환은 $k$, $ck$, $kck$, $\cdots$의 꼴이거나 $c$, $kc$, $ckc$, $\cdots$의 꼴이거나 $ϵ$이거나 셋 중 하나일 수밖에 없다.

만약 $\cdots ck$와 $\cdots kc$ 모두 더 짧은 길이의 문자열과 같은 변환을 나타낸다면 $k$와 $c$를 통해 만들어질 수 있는 변환의 개수가 유한하다.

이제 두 경우 모두 더 짧은 길이의 문자열과 같은 변환을 나타낸다는 것을 보이자.

먼저, 이 글의 Theorem 3에 의해 $ckc(E)=E^{\mathsf{o}}$임을 알 수 있다.

따라서 만약 $\stackrel{―}{{\left(\overline{E^{\mathsf{o}}}\right)}^{\mathsf{o}}}=\overline{E^{\mathsf{o}}}$라면, $kckckckc=kckc$이며, $kckckck=kckckckcc=kckcc=kck$이므로 $\cdots ck$와 $\cdots kc$꼴의 변환의 개수가 유한하다.

이제 $\stackrel{―}{{\left(\overline{E^{\mathsf{o}}}\right)}^{\mathsf{o}}}=\overline{E^{\mathsf{o}}}$임을 보이자.

먼저, 임의의 집합 $F$에 대하여 $F^{\mathsf{o}}\subseteq F$가 성립하므로 ${\left(\overline{E^{\mathsf{o}}}\right)}^{\mathsf{o}}\subseteq \overline{E^{\mathsf{o}}}$가 성립한다. 따라서 이 글의 Theorem 3에 의해 $\stackrel{―}{{\left(\overline{E^{\mathsf{o}}}\right)}^{\mathsf{o}}}\subseteq \overline{E^{\mathsf{o}}}$이다.

또한, 임의의 집합 $F$에 대하여 $F\subseteq \bar{F}$가 성립하므로 $E^{\mathsf{o}}\subseteq \overline{E^{\mathsf{o}}}$이다. 따라서 이 글의 Theorem 3에 의해 $E^{\mathsf{o}}\subseteq {\left(\overline{E^{\mathsf{o}}}\right)}^{\mathsf{o}}$이며, 같은 이유로 $\overline{E^{\mathsf{o}}}\subseteq \stackrel{―}{{\left(\overline{E^{\mathsf{o}}}\right)}^{\mathsf{o}}}$이다.

따라서 $\stackrel{―}{{\left(\overline{E^{\mathsf{o}}}\right)}^{\mathsf{o}}}=\overline{E^{\mathsf{o}}}$가 성립하며, 이로 인해 $k$와 $c$를 통해 만들어질 수 있는 변환은 아래의 $14$개 뿐이다.

$$ϵ,k,ck,kck,ckck,kckck,ckckck,c,kc,ckc,kckc,ckckc,kckckc,ckckckc$$

따라서 $\{E\}$로부터 $k$와 $c$에 의해 생성된 집합의 원소의 개수는 아무리 많아야 $14$개를 넘을 수 없다.

이제 $\{E\}$로부터 $k$와 $c$에 의해 생성된 집합의 원소의 개수가 $14$개인 사례가 존재함을 보이면 정리가 증명된다.

$E\subseteq \mathbb{R}$를 다음과 같이 설정하면, $\{E\}$로부터 $k$와 $c$에 의해 생성된 집합의 원소의 개수가 $14$개이다.

$$E=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \mathbb{Q})$$

$\{E\}$로부터 $k$와 $c$에 의해 생성된 집합의 원소는 다음과 같다.

$$\begin{gathered} E=(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup ([4,5]\cap \mathbb{Q}) \\ k(E)=[0,2]\cup \{3\}[4,5] \\ c(E)=(-\mathrm{\infty },0]\cup \{1\}\cup [2,3)\cup (3,4)\cup ([4,5]\cap {\mathbb{Q}}^{\mathsf{c}})\cup (5,\mathrm{\infty }) \\ ck(E)=(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,3)\cup (3,4)\cup (5,\mathrm{\infty }) \\ kc(E)=(-\mathrm{\infty },0)\cup \{1\}\cup [2,\mathrm{\infty }) \\ kck(E)=(-\mathrm{\infty },0]\cup [2,4]\cup [5,\mathrm{\infty }) \\ ckc(E)=[0,1)\cup (1,2) \\ ckck(E)=(0,2)\cup (4,5) \\ kckc(E)=[0,2] \\ kckck(E)=[0,2]\cup [4,5] \\ ckckc(E)=(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,\mathrm{\infty }) \\ ckckck(E)=(-\mathrm{\infty },0)\cup (2,4)\cup (5,\mathrm{\infty }) \\ kckckc(E)=(-\mathrm{\infty },0]\cup [2,\mathrm{\infty }) \\ ckckckc(E)=(0,2) \end{gathered}$$

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