해석학, 그 일곱 번째 이야기 | 실수의 거듭제곱  By 초코맛 도비

수학/해석학 | Analysis|2021. 1. 1. 17:26

이 글에서는 실수의 거듭제곱을 정의하기 위한 여정을 떠날 것이다.
일단 가장 먼저, 자연수 지수를 정의해보자. 자연수 지수는 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

 

bR,b1=bnN,bR,bn+1=bnb

 

위의 정의는 매우 자연스러운 정의이며, 추가로 b0이 아닌 경우에는 b0=1로 정의할 수 있다. 이것이 왜 잘 정의되는지 궁금하다면 수학적 귀납법을 참고하라.

 

위의 정의로부터 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.

 

Theorem 1.

b,cR with 0<b<c,nN{0},bn<cn

 

Proof:

위 명제는 n에 대한 수학적 귀납법으로 증명된다.
n=1인 경우에는 위 명제가 자명하게 성립한다.
이제 n=k일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. 그러면 bk+1=bkb<bkc<ckc=ck+1이므로 n=k+1일 때에도 위 명제가 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 Theorem 1은 증명된다.

 

또한, 위 정의를 확장하여 정수 지수를 정의할 수 있다. 음수 지수는 다음과 같이 정의한다.

 

bR{0},nN,bn=1bn

 

위의 정의로부터 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.

 

Theorem 2.

b,cR with 0<b<c,nN{0},bn>cn

 

Proof:

위 명제는 Theorem 1에 의해 간단히 증명된다.
Theorem 1에 의해 bn<cn이 성립한다. 이때, 양변을 bncn으로 나눠주자. 그러면 1cn<1bn을 얻을 수 있으며 이는 곧 bn>cn을 의미한다.

 

이제 지수를 유리수로 확장하기 위한 준비를 해보자. 아마 이 글을 읽고 있는 독자는 이미 n제곱근의 개념에 대해 알고 있을 것이다. 다음 정리는 그 n제곱근의 개념을 정당화하는 정리이다.

 

Theorem 3.

xR,nN{0},!yR s.t. y>0yn=x

 

Proof:

일단 존재성에 대해 생각해보자. 집합 A를 다음과 같이 정의하자.

A={wR|0<wwn<x}

t=xx+1<1라고 하면 t>0이고 동시에 tn=(xx+1)n<x임을 알 수 있다.

따라서 A임을 알 수 있다.

또한, 만약 t>x+1이면 t>1이며 동시에 tn>t>x임을 알 수 있다. 즉, 집합 A의 상계가 존재한다.

따라서 실수의 완비성에 의해 집합 A의 상한이 존재한다. 이제 supA=y라고 하자.

이제 yn=x임을 보이기 위해 남은 두 가지 가능성이 모두 모순을 이끌어낸다는 것을 보일 것이다.

그 전에 한 가지 부등식에 대해 언급하도록 하겠다. 항등식 anbn=(ab)(an1+an2b++bn1)로부터 a>b일 때 부등식 annn<n(ab)an1이 성립함을 알 수 있다.

이제 yn>x임을 가정하자. 이제 0<h<ynxnyn1인 실수 h를 생각하자. 그러면 yn(yh)n<nhyn1<ynx가 성립한다. 따라서 부등식 x<(yh)n을 얻을 수 있으며, 이로부터 yhA의 상계임을 알 수 있다. 하지만, 이는 yA의 상한임에 모순이므로 yn>x라는 가정은 틀렸다.

이제 반대로 yn<x임을 가정하자. 이번에는 0<h<min{1,xynn(y+1)n1}인 실수 h를 생각하자. 그러면 (y+h)nyn<nh(y+h)n1<nh(y+1)n1<xyn임을 알 수 있으며 이로부터 부등식 (y+h)n<x를 얻을 수 있다. 따라서 y+hA이며, 이는 yA의 상한임에 모순된다.

따라서 yn=x일 수밖에 없다. 이로서 yn=x를 만족하는 실수 y의 존재성이 보장되었다. 이제 유일성을 보여보자. 만약 위 식을 만족하는 서로 다른 두 실수 y1y2가 존재한다면 일반성을 잃지 않고 y1<y2라고 가정할 수 있다. 그러면 자명하게 부등식 y1n<y2n가 성립하며, 이는 두 수가 모두 x임에 모순이다. 따라서 위 식을 만족하는 실수 y는 아무리 많아도 한 개이다. 따라서 yn=x를 만족하는 실수 y는 유일하게 존재한다.

 

이제 Theorem 3에 의해 양의 실수의 n제곱근을 정의할 수 있다. 양의 실수의 n제곱근은 다음과 같이 정의된다.

 

양의 실수 x과 양의 정수 n에 대해 yn=x를 만족하는 양의 실수 yxn제곱근이라고 하며, 이를 x1n 또는 xn로 나타낸다.

 

또한, 1xn제곱근을 x1n과 같이 나타낼 수 있다.

이제 유리지수를 정의하기 위한 준비가 거의 끝나간다. 다음 정리가 유리지수를 정의하기 위한 마지막 준비가 될 것이다.

 

Theorem 4.

어떤 정수 n,m,p,q에 대해 nm=pq가 성립한다면 양의 실수 x에 대해 (xn)1m=(xp)1q가 성립한다.

 

Proof:

nm=pq이므로 nq=mp이다. 따라서 xnq=xmp이다. 이제 양변을 1mq제곱을 하자. 그러면 (xnq)1mq=(xmp)1mq임을 얻을 수 있다. 이때, ((xn)1m)mq=(((xn)1m)m)q=(xn)q=xnq이므로 (xnq)1mq=(xn)1m이며, 같은 방법으로 (xmp)1mq=(xp)1q이다. 따라서 (xn)1m=(xp)1q이다.

 

위 정리로부터 우리는 유리지수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

bR with b>0,p,qZ with q0,bpq=(bp)1q

 

위와 같이 유리지수를 정의했을 때에도 다음과 같은 명제들이 여전히 성립한다.

 

bR with b>0,x,yQ,bx+y=bxbybR with b>0,x,yQ,bxy=(bx)ybR with b>1,x,yQ with x<y,bx<byb,cR with 0<b<c,xQ with x>0,bx<cxb,cR with 0<b<c,xQ with x<0,bx>cx

 

이에 대한 증명은 비교적 간단하므로 생략하도록 하겠다.

이제 다음 정리를 보자.

 

Theorem 5.

1보다 큰 실수 b에 대해 집합 B(x)={bt|tQtx}를 정의하자. 그러면 다음 명제가 성립한다.
xQ,supB(x)=bx

 

Proof:

b>1이므로 txbtbx를 함의한다. 따라서 bxB(x)의 상계임은 자명하다. 그런데, bxB(x)이므로 bx보다 작은 B(x)의 상계는 존재할 수 없다. 따라서 supB(x)=bx이다.

 

위 정리로부터 우리는 실지수를 다음과 같이 매우 자연스럽게 정의할 수 있다.

 

만약 b1이면 모든 실수 x에 대해 bx=supB(x)이다.
만약 0<b<1이면 모든 실수 x에 대해 bx=(b1)x이다.

 

위와 같이 실지수를 정의했을 때에도 다음 명제들이 여전히 성립한다.

 

bR with b>0,x,yR,bx+y=bxbybR with b>0,x,yR,bxy=(bx)ybR with b>1,x,yR with x<y,bx<byb,cR with 0<b<c,xR with x>0,bx<cxb,cR with 0<b<c,xR with x<0,bx>cx

 

위 명제들의 증명 역시 비교적 간단하므로 증명은 생략하도록 하겠다.

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