해석학, 그 일곱 번째 이야기 | 실수의 거듭제곱
이 글에서는 실수의 거듭제곱을 정의하기 위한 여정을 떠날 것이다.
일단 가장 먼저, 자연수 지수를 정의해보자. 자연수 지수는 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.
위의 정의는 매우 자연스러운 정의이며, 추가로
위의 정의로부터 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.
Theorem 1.
Proof:
위 명제는
이제
또한, 위 정의를 확장하여 정수 지수를 정의할 수 있다. 음수 지수는 다음과 같이 정의한다.
위의 정의로부터 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.
Theorem 2.
Proof:
위 명제는 Theorem 1에 의해 간단히 증명된다.
Theorem 1에 의해
이제 지수를 유리수로 확장하기 위한 준비를 해보자. 아마 이 글을 읽고 있는 독자는 이미
Theorem 3.
Proof:
일단 존재성에 대해 생각해보자. 집합
따라서
또한, 만약
따라서 실수의 완비성에 의해 집합
이제
그 전에 한 가지 부등식에 대해 언급하도록 하겠다. 항등식
이제
이제 반대로
따라서
이제 Theorem 3에 의해 양의 실수의
양의 실수 |
또한,
이제 유리지수를 정의하기 위한 준비가 거의 끝나간다. 다음 정리가 유리지수를 정의하기 위한 마지막 준비가 될 것이다.
Theorem 4.
어떤 정수 |
Proof:
위 정리로부터 우리는 유리지수를 다음과 같이 정의할 수 있다.
위와 같이 유리지수를 정의했을 때에도 다음과 같은 명제들이 여전히 성립한다.
이에 대한 증명은 비교적 간단하므로 생략하도록 하겠다.
이제 다음 정리를 보자.
Theorem 5.
Proof:
위 정리로부터 우리는 실지수를 다음과 같이 매우 자연스럽게 정의할 수 있다.
만약 만약 |
위와 같이 실지수를 정의했을 때에도 다음 명제들이 여전히 성립한다.
위 명제들의 증명 역시 비교적 간단하므로 증명은 생략하도록 하겠다.
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