해석학, 그 일곱 번째 이야기 | 실수의 거듭제곱

이 글에서는 실수의 거듭제곱을 정의하기 위한 여정을 떠날 것이다.
일단 가장 먼저, 자연수 지수를 정의해보자. 자연수 지수는 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

 

$$\forall b\in\mathbb{R},\;b^1=b\\ \forall n\in\mathbb{N},\;\forall b\in\mathbb{R},\;b^{n+1}=b^n b$$

 

위의 정의는 매우 자연스러운 정의이며, 추가로 $b$가 $0$이 아닌 경우에는 $b^0=1$로 정의할 수 있다. 이것이 왜 잘 정의되는지 궁금하다면 수학적 귀납법을 참고하라.

 

위의 정의로부터 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.

 

Theorem 1.

$$\forall b,c\in\mathbb{R}\text{ with }0<b<c,\;\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},\;b^n<c^n$$

 

Proof:

위 명제는 $n$에 대한 수학적 귀납법으로 증명된다.
$n=1$인 경우에는 위 명제가 자명하게 성립한다.
이제 $n=k$일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. 그러면 $b^{k+1}=b^k b<b^k c<c^k c=c^{k+1}$이므로 $n=k+1$일 때에도 위 명제가 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 Theorem 1은 증명된다.
$\blacksquare$

 

또한, 위 정의를 확장하여 정수 지수를 정의할 수 있다. 음수 지수는 다음과 같이 정의한다.

 

$$\forall b\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\;\forall n\in\mathbb{N},\;b^{-n}=\frac{1}{b^n}$$

 

위의 정의로부터 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.

 

Theorem 2.

$$\forall b,c\in\mathbb{R}\text{ with }0<b<c,\;\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},\;b^{-n}>c^{-n}$$

 

Proof:

위 명제는 Theorem 1에 의해 간단히 증명된다.
Theorem 1에 의해 $b^n<c^n$이 성립한다. 이때, 양변을 $b^nc^n$으로 나눠주자. 그러면 $\displaystyle\frac{1}{c^n}<\frac{1}{b^n}$을 얻을 수 있으며 이는 곧 $b^{-n}>c^{-n}$을 의미한다.
$\blacksquare$

 

이제 지수를 유리수로 확장하기 위한 준비를 해보자. 아마 이 글을 읽고 있는 독자는 이미 $n$제곱근의 개념에 대해 알고 있을 것이다. 다음 정리는 그 $n$제곱근의 개념을 정당화하는 정리이다.

 

Theorem 3.

$$\forall x\in\mathbb{R},\;\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0\},\;\exists! y\in\mathbb{R}\text{ s.t. }y>0\land y^n=x$$

 

Proof:

일단 존재성에 대해 생각해보자. 집합 $A$를 다음과 같이 정의하자.

$$A=\{w\in\mathbb{R}\;|\;0<w\land w^n<x\}$$

$t=\displaystyle\frac{x}{x+1}<1$라고 하면 $t>0$이고 동시에 $t^n=\displaystyle\left(\frac{x}{x+1}\right)^n<x$임을 알 수 있다.

따라서 $A\neq\emptyset$임을 알 수 있다.

또한, 만약 $t>x+1$이면 $t>1$이며 동시에 $t^n>t>x$임을 알 수 있다. 즉, 집합 $A$의 상계가 존재한다.

따라서 실수의 완비성에 의해 집합 $A$의 상한이 존재한다. 이제 $\text{sup}A=y$라고 하자.

이제 $y^n=x$임을 보이기 위해 남은 두 가지 가능성이 모두 모순을 이끌어낸다는 것을 보일 것이다.

그 전에 한 가지 부등식에 대해 언급하도록 하겠다. 항등식 $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})$로부터 $a>b$일 때 부등식 $a^n-n^n<n(a-b)a^{n-1}$이 성립함을 알 수 있다.

이제 $y^n>x$임을 가정하자. 이제 $0<h<\displaystyle\frac{y^n-x}{ny^{n-1}}$인 실수 $h$를 생각하자. 그러면 $y^n-(y-h)^n<nhy^{n-1}<y^n-x$가 성립한다. 따라서 부등식 $x<(y-h)^n$을 얻을 수 있으며, 이로부터 $y-h$도 $A$의 상계임을 알 수 있다. 하지만, 이는 $y$가 $A$의 상한임에 모순이므로 $y^n>x$라는 가정은 틀렸다.

이제 반대로 $y^n<x$임을 가정하자. 이번에는 $0<h<\text{min}\displaystyle\{1,\frac{x-y^n}{n(y+1)^{n-1}}\}$인 실수 $h$를 생각하자. 그러면 $(y+h)^n-y^n<nh(y+h)^{n-1}<nh(y+1)^{n-1}<x-y^n$임을 알 수 있으며 이로부터 부등식 $(y+h)^n<x$를 얻을 수 있다. 따라서 $y+h\in A$이며, 이는 $y$가 $A$의 상한임에 모순된다.

따라서 $y^n=x$일 수밖에 없다. 이로서 $y^n=x$를 만족하는 실수 $y$의 존재성이 보장되었다. 이제 유일성을 보여보자. 만약 위 식을 만족하는 서로 다른 두 실수 $y_1$과 $y_2$가 존재한다면 일반성을 잃지 않고 $y_1<y_2$라고 가정할 수 있다. 그러면 자명하게 부등식 $y_1^n<y_2^n$가 성립하며, 이는 두 수가 모두 $x$임에 모순이다. 따라서 위 식을 만족하는 실수 $y$는 아무리 많아도 한 개이다. 따라서 $y^n=x$를 만족하는 실수 $y$는 유일하게 존재한다. $\blacksquare$

 

이제 Theorem 3에 의해 양의 실수의 $n$제곱근을 정의할 수 있다. 양의 실수의 $n$제곱근은 다음과 같이 정의된다.

 

양의 실수 $x$과 양의 정수 $n$에 대해 $y^n=x$를 만족하는 양의 실수 $y$를 $x$의 $n$제곱근이라고 하며, 이를 $\displaystyle x^\frac{1}{n}$ 또는 $\displaystyle\sqrt[n]{x}$로 나타낸다.

 

또한, $\frac{1}{x}$의 $n$제곱근을 $\displaystyle x^{-\frac{1}{n}}$과 같이 나타낼 수 있다.

이제 유리지수를 정의하기 위한 준비가 거의 끝나간다. 다음 정리가 유리지수를 정의하기 위한 마지막 준비가 될 것이다.

 

Theorem 4.

어떤 정수 $n,m,p,q$에 대해 $\frac{n}{m}=\frac{p}{q}$가 성립한다면 양의 실수 $x$에 대해 $\displaystyle(x^n)^\frac{1}{m}=(x^p)^\frac{1}{q}$가 성립한다.

 

Proof:

$\displaystyle\frac{n}{m}=\frac{p}{q}$이므로 $nq=mp$이다. 따라서 $x^{nq}=x^{mp}$이다. 이제 양변을 $\frac{1}{mq}$제곱을 하자. 그러면 $\displaystyle(x^{nq})^\frac{1}{mq}=\displaystyle(x^{mp})^\frac{1}{mq}$임을 얻을 수 있다. 이때, $\displaystyle((x^n)^\frac{1}{m})^{mq}=(((x^n)^\frac{1}{m})^m)^q=(x^n)^q=x^{nq}$이므로 $\displaystyle(x^{nq})^\frac{1}{mq}=(x^n)^\frac{1}{m}$이며, 같은 방법으로 $\displaystyle(x^{mp})^\frac{1}{mq}=(x^p)^\frac{1}{q}$이다. 따라서 $(x^n)^\frac{1}{m}=(x^p)^\frac{1}{q}$이다.
$\blacksquare$

 

위 정리로부터 우리는 유리지수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

$$\forall b\in\mathbb{R}\text{ with }b>0,\;\forall p,q\in\mathbb{Z}\text{ with }q\neq0,\;b^\frac{p}{q}=(b^p)^\frac{1}{q}$$

 

위와 같이 유리지수를 정의했을 때에도 다음과 같은 명제들이 여전히 성립한다.

 

$$\forall b\in\mathbb{R}\text{ with }b>0,\;\forall x,y\in\mathbb{Q},\;b^{x+y}=b^xb^y\\ \forall b\in\mathbb{R}\text{ with }b>0,\;\forall x,y\in\mathbb{Q},\;b^{xy}=(b^x)^y\\ \forall b\in\mathbb{R}\text{ with }b>1,\;\forall x,y\in\mathbb{Q}\text{ with }x<y,\;b^x<b^y\\ \forall b,c\in\mathbb{R}\text{ with }0<b<c,\;\forall x\in\mathbb{Q}\text{ with }x>0,\;b^x<c^x\\ \forall b,c\in\mathbb{R}\text{ with }0<b<c,\;\forall x\in\mathbb{Q}\text{ with }x<0,\;b^x>c^x$$

 

이에 대한 증명은 비교적 간단하므로 생략하도록 하겠다.

이제 다음 정리를 보자.

 

Theorem 5.

$1$보다 큰 실수 $b$에 대해 집합 $B(x)=\{b^t\;|\;t\in\mathbb{Q}\land t\leq x\}$를 정의하자. 그러면 다음 명제가 성립한다. $$\forall x\in\mathbb{Q},\;\text{sup}B(x)=b^x$$

 

Proof:

$b>1$이므로 $t\leq x$는 $b^t\leq b^x$를 함의한다. 따라서 $b^x$는 $B(x)$의 상계임은 자명하다. 그런데, $b^x\in B(x)$이므로 $b^x$보다 작은 $B(x)$의 상계는 존재할 수 없다. 따라서 $\text{sup}B(x)=b^x$이다.
$\blacksquare$

 

위 정리로부터 우리는 실지수를 다음과 같이 매우 자연스럽게 정의할 수 있다.

 

만약 $b\geq1$이면 모든 실수 $x$에 대해 $b^x=\text{sup}B(x)$이다. 만약 $0<b<1$이면 모든 실수 $x$에 대해 $b^x=(b^{-1})^{-x}$이다.

 

위와 같이 실지수를 정의했을 때에도 다음 명제들이 여전히 성립한다.

 

$$\forall b\in\mathbb{R}\text{ with }b>0,\;\forall x,y\in\mathbb{R},\;b^{x+y}=b^xb^y\\ \forall b\in\mathbb{R}\text{ with }b>0,\;\forall x,y\in\mathbb{R},\;b^{xy}=(b^x)^y\\ \forall b\in\mathbb{R}\text{ with }b>1,\;\forall x,y\in\mathbb{R}\text{ with }x<y,\;b^x<b^y\\ \forall b,c\in\mathbb{R}\text{ with }0<b<c,\;\forall x\in\mathbb{R}\text{ with }x>0,\;b^x<c^x\\ \forall b,c\in\mathbb{R}\text{ with }0<b<c,\;\forall x\in\mathbb{R}\text{ with }x<0,\;b^x>c^x$$

 

위 명제들의 증명 역시 비교적 간단하므로 증명은 생략하도록 하겠다.