해석학, 그 두 번째 이야기 | 자연수의 연산

자연수의 연산에서는 덧셈과 곱셈을 정의할 필요가 있다. 그리고 이 글에서는 곱셈의 반복을 간단히 표현하기 위해 거듭제곱 또한 정의할 것이다.

 

먼저, 자연수의 덧셈부터 시작하도록 하자. 자연수의 덧셈은 다음과 같이 정의된다.

 

자연수의 덧셈은 다음 조건을 만족하는 함수 $+:\mathbb{N}^2\to\mathbb{N}$으로 정의된다. 1) $\forall n\in\mathbb{N},\;n+0=n$ 2) $\forall n,m\in\mathbb{N}\;n+s(m)=s(n+m)$

 

위의 정의만으로 덧셈이 잘 정의되는지 살펴보자.
자연수 $n$에 대해서 함수 $+_n:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$를 $+_n:m\mapsto n+m$으로 정의하자. 이때, Recursion Theorem에 의해 함수 $+_n$은 유일하게 존재한다. 따라서 자연수의 덧셈 역시 유일하게 존재한다.

 

위와 같이 정의된 자연수의 덧셈이 우리가 흔히 아는 자연수의 덧셈과 같은 것인지 예시를 들어 확인해보자. $3+2$는 다음과 같이 계산된다.

$$3+2=3+s(1)=s(3+1)=s(3+s(0))=s(s(3+0))=s(s(3))=s(4)=5$$

 

위와 같이 자연수의 덧셈을 정의하게 되면 다음과 같은 연산법칙이 성립하게 된다.

 

1. 결합법칙 : $$\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x+(y+z)=(x+y)+z$$ 2. 교환법칙 : $$\forall x,y\in\mathbb{N},\;x+y=y+x$$ 3. 소거법칙 :  $$\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x+z=y+z\Rightarrow x=y$$

 

Part 1. 결합법칙

$z=0$일 때를 먼저 살펴보자. $x+(y+0)=x+y=(x+y)+0$이므로 $z=0$인 경우 결합법칙은 성립한다.

$x+(y+z)=(x+y)+z$가 성립한다고 가정하자. 이때, $x+(y+s(z))=x+s(y+z)=s(x+(y+z))=s((x+y)+z)=(x+y)+s(z)$이므로 $x+(y+s(z))=(x+y)+s(z)$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x+(y+z)=(x+y)+z$가 성립한다.

 

Part 2. 교환법칙

먼저 $\forall x\in\mathbb{N},\;0+x=x+0$을 먼저 보이도록 하자. 일단, $x=0$일 때에는 자명하다.

$0+x=x+0$이 성립한다고 가정하자. 이때, $0+s(x)=s(0+x)=s(x+0)=s(x)=s(x)+0$이므로 $0+s(x)=s(x)+0$이 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x\in\mathbb{N},\;0+x=x+0$이 성립한다. 같은 방법으로 $\forall x\in\mathbb{N},\;s(0)+x=x+s(0)$ 또한 성립함을 보일 수 있다.

$x+y=y+x$에서 $y=0$인 경우는 위에서 보였듯이 성립한다.

$x+y=y+x$가 성립한다고 가정하자. 이때,
$$\begin{array} {ll}x+s(y) & =s(x+y)=s(y+x)=y+s(x)=y+s(x+0)=y+(x+s(0))\\ & =y+(s(0)+x)=(y+s(0))+x=s(y+0)+x=s(y)+x\end{array}$$
이므로 $x+s(y)=s(y)+x$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y\in\mathbb{N},\;x+y=y+x$가 성립한다.

 

Part 3. 소거법칙

$z=0$일 때를 먼저 살펴보자. $x+0=x$이고 $y+0=y$이므로 $x+0=y+0$은 $x=y$와 동치이다.

$x+z=y+z\Rightarrow x=y$가 성립한다고 가정하자. 이때, $x+s(z)=y+s(z)$인 경우, $s(x+z)=s(y+z)$이고, 따라서 $x+z=y+z$가 성립한다. 따라서 가정에 의해 $x=y$가 성립한다. 따라서 $x+s(z)=y+s(z)\Rightarrow x=y$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x+z=y+z\Rightarrow x=y$가 성립한다.

 

자연수의 덧셈에 대한 이야기를 마쳤으므로 이제 자연수의 곱셈에 대해 얘기해보자. 자연수의 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

 

자연수의 곱셈은 다음 조건을 만족하는 함수 $\times :\mathbb{N}^2\to\mathbb{N}$으로 정의된다. 1) $\forall n\in\mathbb{N},\;x\times 0=0$ 2) $\forall n,m\in\mathbb{N},\;n\times s(m)=n\times m+n$

 

위의 정의만으로도 곱셈이 잘 정의되는지 살펴보자.
자연수 $n$에 대해서 $\times_n:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$을 $\times_n:m\mapsto n\times m$으로 정의하자. 이때, Recursion Theorem에 의해 함수 $\times_n$은 유일하게 존재한다. 따라서 자연수의 곱셈 역시 유일하게 존재한다.

 

위와 같이 정의된 자연수의 곱셈이 우리가 흔히 아는 곱셈과 같은 것인지 예시를 들어 확인해보자. $3\times 2$는 다음과 같이 계산된다.

$$3\times 2=3\times s(1)=3\times 1+3=3\times s(0)+3=3\times 0+3+3=0+3+3=3+3=6$$

 

또한, 곱셈과 덧셈이 혼용될 경우, 곱셈의 우선순위가 더 높다. 이와 같이 자연수의 곱셈을 정의하게 되면 다음과 같은 연산법칙들이 성립하게 된다.

 

1. 분배법칙 : $$\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;(x+y)\times z=x\times z+y\times z\\ \forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x\times(y+z)=x\times y+x\times z$$ 2. 결합법칙 : $$\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x\times(y\times z)=(x\times y)\times z$$ 3. 교환법칙 : $$\forall x,y\in\mathbb{N},\;x\times y=y\times x$$ 4. 소거법칙 : $$\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x\times z=y\times z\land z\not=0\Rightarrow x=y$$

 

Part 1. 분배법칙

1) $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;(x+y)\times z=x\times z+y\times z$

$z=0$인 경우, 우분배법칙의 성립은 자명하다.

$(x+y)\times z=x\times z+y\times z$가 성립한다고 가정하자. 이때,
$$\begin{array}{ll}(x+y)\times s(z) & =(x+y)\times z+(x+y)=x\times z+y\times z+x+y\\ & =x\times z+x+y\times z+y=x\times s(z)+y\times s(z)\end{array}$$
이므로 $(x+y)\times s(z)=x\times s(z)+y\times s(z)$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;(x+y)\times z=s\times z+y\times z$가 성립한다.

 

2) $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x\times(y+z)=x\times y+x\times z$

$z=0$인 경우, $x\times(y+0)=x\times y=x\times y+0=x\times y+x\times 0$이므로 성립한다.

$x\times(y+z)=x\times y+x\times z$가 성립한다고 가정하자. 이때,
$$\begin{array}{ll}x\times(y+s(z)) & =x\times s(y+z)=x\times(y+z)+x\\ & =x\times y+x\times z+x =x\times y+x\times s(y)\end{array}$$
이므로 $x\times(y+s(z))=x\times y+x\times s(z)$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x\times(y+z)=x\times y+x\times z$가 성립한다.

 

Part 2. 결합법칙

$z=0$인 경우, $x\times(y\times0)=x\times0=0=(x\times y)\times0$이므로 성립한다.

$x\times(y\times z)=(x\times y)\times z$가 성립한다고 가정하자. 이때,
$$\begin{array}{ll}x\times(y\times s(z)) & =x\times(y\times z+y)=x\times(y\times z)+x\times y\\ & =(x\times y)\times z+x\times y=(x\times y)\times s(z)\end{array}$$
이므로 $x\times(y\times s(z))=(x\times y)\times s(z)$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x\times(y\times z)=(x\times y)\times z$가 성립한다.

 

Part 3. 교환법칙

먼저 $\forall x\in\mathbb{N},\;0\times x=x\times 0$임을 보이자. 일단, $x=0$인 경우, 자명하다.

$0\times x=x\times0$이 성립한다고 가정하자. 이때, $0\times s(x)=0\times x+0=0+0=0=s(x)\times0$이므로 $0\times s(x)=s(x)\times0$이 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x\in\mathbb{N},\;0\times x=x\times0$이 성립한다.

$x\times y=y\times x$에서 $y=0$인 경우는 위에서 보였듯이 성립한다.

$x\times y=y\times x$가 성립한다고 가정하자. 이때,
$$\begin{array}{ll} x\times s(y) & =x\times y+x=y\times x+x=x+y\times x \\ & =s(0)\times x+y\times x=(s(0)+y)\times x=s(y)\times x\end{array}$$
이므로 $x\times s(y)=s(y)\times x$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y\in\mathbb{N},\;x\times y=y\times x$가 성립한다.

 

Part 4. 소거법칙

먼저 $z=s(0)$일 때를 보자. $x\times s(0)=x\times0+x=x$이고 $y\times x(0)=y\times0+y=y$이므로 $x\times s(0)=y\times s(0)\Rightarrow x=y$가 성립한다.

$x\times z=y\times z\Rightarrow x=y$가 성립한다고 가정하자. 이때, $x\times s(z)=y\times s(z)$이면 $x\times y+x=y\times z+y$이고, 덧셈의 소거법칙에 의해 $x\times z=y\times z$가 되며, 가정에 의해 $x=y$이다. 따라서 $x\times s(z)=y\times s(z)\Rightarrow x=y$가 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $\forall x,y,z\in\mathbb{N},\;x\times z=y\times z\land z\not=0\Rightarrow x=y$가 성립한다.

 

자연수의 곱셈에 대한 이야기를 끝냈으므로 이제 거듭제곱을 정의해보자. 자연수에서의 거듭제곱은 다음과 같이 정의할 수 있다. 단, $0^0$은 정의하지 않는다.

 

두 자연수 $a\not=0$와 $n$에 대해 다음 두 가지가 성립하도록 거듭제곱을 정의한다. 1) $a^0=1$ 2) $a^{s(n)}=a\times a^n$ 3) $0^a=0$

 

위의 정의만으로도 자연수의 거듭제곱이 잘 정의되는지 살펴보자.

함수 $f_a:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$를 $f_a:n\mapsto a^n$로 정의하자. 그러면 Recursion Theorem에 의해 함수 $f_a$가 유일하게 존재한다. 따라서 자연수의 거듭제곱 역시 유일하게 존재한다.

 

위와 같이 정의된 거듭제곱이 우리가 흔히 알고 있는 거듭제곱과 같은 것인지 예시를 들어 확인해보자. $3^2$은 다음과 같이 계산된다.

$$3^2=3^{s(1)}=3\times 3^1=3\times 3^{s(0)}=3\times3\times1=9\times1=9$$

 

또한, 덧셈이나 곱셈보다 우선순위가 높다. 단, 지수의 위치에 있는 수식을 먼저 계산한다. 이와 같이 자연수의 거듭제곱을 정의하게 되면 다음의 연산법칙들이 성립하게 된다.

 

임의의 자연수 $a\not=0$과 임의의 자연수 $n$, $m$에 대해 다음이 성립한다. 1. $a^{n+m}=a^n\times a^m$ 2. $(a^n)^m=a^{nm}$

 

Part 1. $a^{n+m}=a^n\times a^m$

먼저 $m=0$일 때를 먼저 살펴보자. $a^{n+0}=a^n=a^n\times1=a^n\times a^0$이므로 성립한다.

$a^{n+m}=a^n\times a^m$이 성립한다고 가정하자. 이때, $a^{n+s(m)}=a^{s(n+m)}=a^{n+m}\times a=a^n\times a^m\times a=a^n\times a^{s(m)}$이므로 $a^{n+s(m)}=a^n\times a^{s(m)}$이 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $a^{n+m}=a^n\times a^m$이 성립한다.

 

Part 2. $(a^n)^m=a^{nm}$

먼저 $m=0$일 때를 먼저 살펴보자. $(a^n)^0=1=a^0=a^{n\times0}$이므로 성립한다.

$(a^n)^m=a^{nm}$이 성립한다고 가정하자. 이때, $(a^n)^{s(m)}=(a^n)^m\times(a^n)=a^{nm}\times a^n=a^{nm+n}=a^{n\times s(m)}$이므로 $(a^n)^{s(m)}=a^{n\times s(m)}$이 성립한다.

수학적 귀납법에 의해 $(a^n)^m=a^{nm}$이 성립한다.