집합론, 그 여덟 번째 이야기 | 동치관계

아마 이 글을 읽고 있는 사람의 대부분은 같다는 것이 무엇인가에 대해 고민해본 적이 없었을 것이다. 만약 고민했다고 하더라도 스스로 그 결론을 내리는 것은 매우 어려운 일이었을 것이다. 만약 지금 이 글을 읽고 있는 독자가 앞선 글들을 제대로 읽었다면 그 독자는 수학적으로 같은 것이 무엇인지 정의를 하고 그에 대해 이해할 수 있는 준비가 끝났다고 할 수 있다. 그러면 이제 수학에서 같다는 것을 어떻게 정의하는지 알아보도록 하자.

 

집합 $X$ 위의 관계 $\sim$이 다음 조건들을 만족할 때 우리는 관계 $\sim$을 동치관계라고 한다. 1. 반사성 :  $$\forall A\in X,\;A\sim A$$ 2. 대칭성 :  $$\forall A,B\in X,\;A\sim B\Leftrightarrow B\sim A$$ 3. 추이성 :  $$\forall A,B,C\in X,\;A\sim B\land B\sim C\Rightarrow A\sim C$$

 

즉, 동치관계란, 반사적이고 대칭적이며 추이적인 이항관계를 말한다. 그리고 이러한 정의는 우리가 직관적으로 생각하는 같다는 것의 성질을 잘 만족한다.

 

다음은 동치관계의 예시다.

 

1. 집합 사이의 등호 2. 논리적 동치 3. 도형 사이의 닮음 4. 도형 사이의 합동

 

다음은 동치관계의 세 조건 중 두 조건을 만족하지만 나머지 하나의 조건을 만족하지 못해 동치관계가 되지 못하는 관계이다.

 

1. 공집합이 아닌 임의의 집합 $X\not=\varnothing$ 위의 공관계는 대칭적이고 추이적이지만 반사적이지 않아서 동치관계가 아니다. 이때, 공관계란 관계를 만족하는 $x,y\in X$쌍이 존재하지 않는 관계를 말한다. 2. 실수 집합 위의 순서관계 $\leq$는 반사적이고 추이적이지만 대칭적이지 않아 동치관계가 아니다. 순서관계에 대해서는 추후에 다룰 예정이다. 3. 실수 집합 위의 이항관계 $|x-y|<10$은 반사적이고 대칭적이지만 추이적이지 않아 동치관계가 아니다.

 

또한, 두 동치관계 사이에도 비교하는 개념이 존재한다. 두 동치관계 $\sim$와 $\approx$가 다음을 만족하면 $\sim$이 $\approx$에 비해 섬세하다 (finer) 라고 하며 $\approx$가 $\sim$보다 엉성하다 (coarser) 라고 한다.

$$\forall x,y,\;x\sim y\Rightarrow x\approx y$$

이런 관계를 만족하는 동치관계는 도형의 닮음과 합동이 있다.