집합론, 그 일곱 번째 이야기 | 함수의 합성과 역함수

함수의 합성은 다음과 같이 정의한다.

 

임의의 집합 $X, Y, Z$와, 두 함수 $f:X\rightarrow Y$, $g:Y \rightarrow Z$ 가 있을 때,      두 함수의 합성함수 $g\circ f$ 는 $g \circ f : X \rightarrow Z$, $g \circ f : x \mapsto g(f(x))$ 를 만족한다.

 

위 성질에서 두 함수 $f, g$에 대해 합성함수가 정의되려면 $\textrm{codom}f \subset \textrm{dom} g$ 이어야 함을 알 수 있다.

즉, $\left \{ f(x) : x \in X \right \} \subset Y$ 일 때 $f$와 $g$의 합성함수가 정의된다.

 

또한, 일반적으로 합성함수는 아래와 같은 성질을 가진다.

 

세 함수 $f, g, h$에 대하여 각각의 합성이 잘 정의된다고 하자. 또, 항등함수를 $I$ 라고 하자.      $1.\;\;g \circ f \neq f \circ g$      $2.\;\;h \circ \left ( g \circ f \right ) = \left ( h \circ g \right ) \circ f$      $3.\;\;f \circ I = I \circ f = f$

 

집합 $X$에 대한 항등함수 $I$는 $I : X \rightarrow X$, $\forall x \in X, I(x) = x$ 를 만족하는 함수를 의미한다.

 

역함수는 다음과 같이 정의한다.

 

함수 $f : X \rightarrow Y$ 가 주어질 때, $f$의 역함수 $g : Y \rightarrow X$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.      $\forall x \in X, y \in Y,\;\;\left (y = f \left ( x \right ) \right ) \Leftrightarrow \left ( x = g \left ( y \right ) \right )$

 

또, 일반적으로 함수 $f$에 대해 $f$의 역함수 $g$를 $f^{-1}$ 로 적는다.

 

정의를 잘 보면, 다음과 같은 관계가 성립함을 알 수 있을 것이다.

$\textrm{dom}f^{-1}=\textrm{codom}f=\textrm{ran}f,\; \textrm{dom}f=\textrm{codom}f^{-1}=\textrm{ran}f^{-1}$

 

여기서 $\textrm{dom}f,\; \textrm{codom}f,\; \textrm{ran}f$는 각각 $f$의 정의역, 공역, 치역을 의미한다.

 

일반적으로 함수 $f : X \rightarrow Y$와 그 역함수는 다음과 같은 성질들을 가진다.

 

$1.$ 함수가 역함수를 가질 필요충분조건은 $f$가 전단사 함수(일대일 대응)인 것이다.      $2.$ 전단사 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 유일하게 존재한다.      $3.$ $\left ( f^{-1} \right )^{-1} = f$      $4.$ $\left ( g \circ f \right )^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$      $5.$ $f \circ f^{-1} = I$

 

위 성질들 중 증명하기가 상대적으로 어려운 것은 2번 성질이므로, 여기에서는 2번 성질만 증명하겠다.

 

귀류법을 사용하여, $f$가 전단사 함수일 때 $f^{-1}$이 유일하지 않다고 가정하자.

전단사함수이면 역함수가 존재하는데, 역함수가 유일하지 않으므로 서로 다른 둘 이상의 역함수가 존재한다.

 

따라서, 서로 다른 $f$의 역함수 $g$와 $h$가 존재하고, 이는 아래 식을 만족한다.

 

$f \circ g = f \circ h = I$

 

왼쪽에 $g$를 합성하면,

 

$g \circ \left ( f \circ g \right ) = g \circ \left ( f \circ h \right )$

 

합성함수의 성질에 의해

 

$\left (g \circ f \right ) \circ g = \left ( g \circ f \right ) \circ h$

 

그런데 $g$는 $f$의 역함수이므로 $\left ( g \circ f \right ) = I$ 따라서

 

$g = h$

 

그런데 $g, h$는 서로 다른 역함수이므로 모순. 따라서 귀류법에 의해 $f$가 전단사 함수이면 역함수는 유일하다.