추상대수학, 그 두 번째 이야기 | 반군의 정의 ( Definition of Semigroup )

저번 글에서 모든 이항구조의 기본이 되는 마그마에 대해 다루었다. 이제 이 이항구조에 하나씩 조건을 추가해 나가면서 점점 의미 있는 구조로 만들어갈 것이다. 이번 글에서는 마그마에 결합법칙이 추가된 이항구조인 반군에 대해 다룰 것이다. 어떤 이항구조 $\left<M,*\right>$가 다음 명제를 만족할 때, 이항구조 $\left<M,*\right>$가 결합법칙 (Associative Law; Associative Property; Associativity)을 만족한다고 한다.

 

$$\forall a,b,c\in M,\;(a*b)*c=a*(b*c)$$

 

또한, 반군은 다음과 같이 정의한다.

 

어떤 마그마 $\left<G,*\right>$가 결합법칙을 만족할 때, 이러한 $\left<G,*\right>$를 반군 (Semigroup)이라고 한다.

 

다음은 반군의 예시이다.

 

Example 1.

임의의 집합 $S$에 대해 마그마 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\cup\right>$는 반군이다.

 

Proof:

집합에 대해 이항연산 $\cup$은 결합법칙을 만족하므로 마그마 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\cup\right>$는 반군이다.

$\blacksquare$

 

Example 2.

자연수의 집합 $\mathbb{N}$에 대해 마그마 $\left<\mathbb{N},+\right>$는 반군이다.

 

Proof:

자연수의 덧셈 $+$는 결합법칙을 만족하므로 마그마 $\left<\mathbb{N},+\right>$는 반군이다.

$\blacksquare$

 

위 예시처럼 대수적으로 의미를 가지는 이항구조는 대부분 반군이다. 하지만 모든 마그마가 반군인 것은 아니다. 아래는 반군이 아닌 마그마의 예시이다.

 

Counterexample 1.

집합 $S=\{1,2,3\}$에 대해 마그마 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\setminus\right>$는 반군이 아니다.

 

Proof:

집합 $S$의 두 부분집합 $A=\{1,2\}$, $B=\{2,3\}$를 생각하자. 그러면 $(S\setminus A)\setminus B=\{3\}\setminus B=\varnothing$이고 $S\setminus(A\setminus B)=S\setminus\{1\}=\{2,3\}$이므로 $(S\setminus A)\setminus B\neq S\setminus(A\setminus B)$이 성립한다. 즉, 마그마 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\setminus\right>$는 결합법칙을 만족하지 않으며, 반군이 아니다.

$\blacksquare$