추상대수학, 그 첫 번째 이야기 | 마그마의 정의 ( Definition of Magma )

드디어 추상대수학의 첫 번째 이야기를 시작하려 한다. 추상대수학은 수학의 여러 분야 중에서도 상당히 최근에 등장한 분야로, 우리가 흔히 생각하는 직관적이고 구체적인 개념의 '수'를 다루는 학문이 아닌 추상적인 구조 그 자체를 다루는 학문이다. 우리가 '수'라고 부르던 것을 집합의 원소로 확장했다고 생각하면 편하다. 추상대수학에서 주로 관심을 가지는 것은 집합과 그에 부여된 연산이다. 그 연산에 대해 집합이 닫혀있는지, 항등원은 존재하는지, 역원은 존재하는지, 어떤 연산법칙을 가지고 있는지 등에 관심을 가지며, 이러한 연산 중에서도 추상대수학이 관심을 가지는 대상은 이항연산이다. 이항연산은 집합의 두 원소를 하나의 원소로 대응시키는 연산을 말한다. 예를 들자면 자연수집합에서 정의되는 '덧셈'도 이항연산이다. 보다 엄밀하게는 다음과 같이 정의된다.

 

집합 $S$ 위에서 정의되는 이항연산 $*$는 $*:S\times S\to S$로 정의되는 함수이다.

 

위와 같이 정의되는 이항연산이 부여된 집합을 이항구조 (Group-Like Structure)라고 부른다. 이제 이러한 이항연산 구조 중 가장 기본이 되는 구조인 마그마에 대해 소개하겠다. 마그마는 다음과 같이 정의된다.

 

집합 $M$에 부여된 이항연산 $*$에 대해 집합 $M$이 이항연산 $*$에 대해 닫혀 (Closed) 있다면 즉, 임의의 $a,b\in M$에 대해 $a*b\in M$이라면 이항연산 구조 $\left<M,*\right>$를 마그마 (Magma)라고 한다.

 

다음은 마그마의 예시와 마그마가 아닌 것의 예시이다.

 

Example 1.

임의의 집합 $S$에 대해 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\cup\right>$는 마그마이다.

 

Proof:

집합 $S$의 임의의 두 부분집합 $A$, $B$에 대해 $A\cup B\subseteq S$가 성립한다. 즉, $A\cup B\in\mathcal{P}\left(S\right)$가 성립한다. 따라서 $\mathcal{P}\left(S\right)$는 이항연산 $\cup$에 대해 닫혀 있으며, $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\cup\right>$는 마그마이다.

$\blacksquare$

 

Example 2.

임의의 집합 $S$에 대해 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\setminus\right>$는 마그마이다.

 

Proof:

집합 $S$의 임의의 두 부분집합 $A$, $B$에 대해 $A\setminus B\subseteq S$가 성립한다. 즉, $A\setminus B\in\mathcal{P}\left(S\right)$가 성립한다. 따라서 $\mathcal{P}\left(S\right)$는 이항연산 $\setminus$에 대해 닫혀 있으며, $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\setminus\right>$는 마그마이다.

$\blacksquare$

 

Counterexample 1.

임의의 집합 $X$, $Y$에 대해 $(X*Y)\cup Y=X$와 $(X*Y)\cap Y=\varnothing$이 동시에 성립하는 집합을 $X*Y$로 정의하자. 그러면 공집합이 아닌 집합 $S$에 대해 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),*\right>$는 마그마가 아니다.

 

Proof:

집합 $S$와 공집합 $\varnothing$은 모두 $\mathcal{P}\left(S\right)$의 원소이다. 하지만, $X\cup S=\varnothing$을 만족하는 집합 $X$가 존재하지 않으므로 $\varnothing*S\notin\mathcal{P}\left(S\right)$이다. 즉, $\mathcal{P}\left(S\right)$는 이항연산 $*$에 대해 닫혀 있지 않으며, $\left<\mathcal{P}\left(S\right),*\right>$는 마그마가 아니다.

$\blacksquare$

 

Counterexample 2.

자연수의 집합 $\mathbb{N}$에 대해 $\left<\mathbb{N},-\right>$는 마그마가 아니다.

 

Proof:

두 자연수 $0$, $1$에 대해 $0-1\notin\mathbb{N}$이다. 따라서 자연수의 집합 $\mathbb{N}$은 이항연산 $-$에 대해 닫혀 있지 않으며, $\left<\mathbb{N},-\right>$는 마그마가 아니다.

$\blacksquare$

 

위의 Example 1과 Counterexample 1로부터 알 수 있는 사실은 추상대수학에서 다루는 구조는 집합 뿐만 아니라 그 집합에 부여된 연산을 같이 봐야 한다는 사실이다. 같은 집합이라도 연산을 어떻게 부여하느냐에 따라 마그마가 될 수도, 되지 못할 수도 있다.

 

사실, 마그마는 연산에 대해 닫혀 있다는 조건만 만족하면 되기 때문에 이 자체만으로는 할 수 있는 얘기가 별로 없다. 단지 모든 이항연산 구조의 가장 기본이 되는 구조이기 때문에 의미를 가지는 구조라고 할 수 있겠다.