추상대수학, 그 여섯 번째 이야기 | 부분군 ( Subgroup )  By 초코맛 도비

이 글에서 우리는 군 (Group)이 무엇인지 정의하였다. 일반적으로 이러한 대수적 구조는 그의 부분구조와 관련된 여러 성질을 가진다. 따라서 이번 글에서는 군의 부분구조인 부분군을 정의할 것이다.

부분군은 다음과 같이 정의된다.

 

G,의 부분집합 HG에 대해 H,가 군을 이룰 때, HG부분군 (Subgroup)이라고 하며, HG 또는 H<G와 같이 나타낸다. 만일 HG이면서 동시에 HG라면 HG로 나타낸다.

 

이때, 자명군인 부분군을 자명부분군 (Trivial Subgroup)이라고 부르며, HGHG진부분군 (Proper Subgroup)이라고 부른다.

부분군을 정의했으니 군 G의 부분집합 H가 부분군인지 아닌지 판정하는 방법을 알아보자.

 

Theorem 1.

G,의 부분집합 H가 다음 조건을 모두 만족한다면, H는 군 G의 부분군이다. 또한, 역도 성립한다.

1. H가 이항연산 에 대해 닫혀 있다.
2. H가 군 G의 항등원 e를 원소로 가진다.
3. H의 모든 원소 x에 대해 x1H를 만족한다.

 

Proof:

Part [1]

H가 이항연산 에 대해 닫혀 있으므로 이항구조 H,는 마그마이다.

임의의 a,b,cH를 생각하자. 그러면 HG로부터 a,b,cG가 성립한다. 이때, G,가 군이므로 다음이 성립한다.

(ab)c=a(bc)

따라서 마그마 H,는 결합법칙을 만족하며, 마그마 H,는 반군이다.

H가 항등원 e를 원소로 가지므로 반군 H,는 모노이드이다.

H의 임의의 원소 x에 대해 역원 x1H가 존재하므로 모노이드 H,는 군이다.

H,가 군이고 HG이므로 H는 군 G의 부분군이다.

Part [2]

H,가 군이라면 군의 정의에 의해 집합 H는 이항연산 에 대해 닫혀있다.

H의 항등원을 eH, G의 항등원을 eG라고 하자. 그러면, 군 G,의 이항연산 아래에서 다음이 성립한다.

eHeH=eH=eHeG

이제 양변의 왼쪽에 eH1를 곱해주면 eH=eG를 얻을 수 있다. 따라서 HG의 항등원을 원소로 가진다.

H의 임의의 원소 x에 대해 H에서의 x의 역원을 x1H, G에서의 x의 역원을 x1G와 같이 표기하자. 그러면 G의 이항연산 아래에서 다음이 성립한다.

xx1H=eH=eG=xx1G

이제 양변의 왼쪽에 x1G를 곱해주면 x1H=x1G를 얻을 수 있다. 따라서 G에서의 역원과 H에서의 역원은 같다.

 

하지만 위와 같이 세 가지 조건을 다 확인해보는 것은 매우 번거로운 일이다. 따라서 수학자들은 부분군을 판정하기 위한 다른 방법을 찾아냈다. 다음 정리를 보자.

 

Theorem 2.

G,의 부분집합 H에 대해 H가 군 G의 부분군인 것은 다음과 동치이다.
a,bH,ab1H

 

Proof:

Part [1]

만약 H가 군 G의 부분군이면 임의의 a,bH에 대해 b1H임이 자명하며, 또한, HG의 부분군인 것으로부터 연산에 대해 닫혀있으므로 ab1H 역시 성립한다.

Part [2]

임의의 a,bH에 대해 ab1H가 성립한다고 하자.

a=b인 경우를 생각하면, aa1=eH가 성립함을 알 수 있다.

또한, G의 항등원 eH의 원소이므로 a=e인 경우를 생각하면, 임의의 bH에 대해 eb1=b1H임을 알 수 있다.

임의의 H의 원소에 대해 그의 역원이 H의 원소이므로 임의의 a,bH에 대해 a(b1)1=abH임을 알 수 있다.

따라서 Theorem 1에 의해 HG의 부분군이다.

 

이제 군과 그의 부분집합이 주어졌을 때 그것이 부분군이 되는지, 그렇지 않은지 쉽게 판단할 수 있는 근거가 마련되었다. 그러니 몇 가지 특수한 부분군에 대해 알아보자. 다음 정리들을 보자.

 

Theorem 3.

G,endomorphism f:GG에 대해 G의 부분집합 H={f(g)|gG}는 군 G의 부분군이다.

 

Proof:

임의의 f(g),f(h)H에 대해 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

f(g)f(h)1=f(g)f(h1)=f(gh1)H

따라서 Theorem 2에 의해 HG이다.

 

Theorem 4.

G,의 두 부분군 U, V에 대해 UV 역시 군 G의 부분군이 된다.

 

Proof:

임의의 a,bUV에 대해 a,bU이고 동시에 a,bV이므로 항상 다음이 성립한다.

ab1Uab1V

따라서 ab1UV가 성립한다. 즉, Theorem 2에 의해 UV는 군 G의 부분군이다.

 

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