추상대수학, 그 여섯 번째 이야기 | 부분군 ( Subgroup )
이 글에서 우리는 군 (Group)이 무엇인지 정의하였다. 일반적으로 이러한 대수적 구조는 그의 부분구조와 관련된 여러 성질을 가진다. 따라서 이번 글에서는 군의 부분구조인 부분군을 정의할 것이다.
부분군은 다음과 같이 정의된다.
군 |
이때, 자명군인 부분군을 자명부분군 (Trivial Subgroup)이라고 부르며,
부분군을 정의했으니 군
Theorem 1.
군 1. 2. 3. |
Proof:
Part [1]
임의의
따라서 마그마
Part [2]
이제 양변의 왼쪽에
이제 양변의 왼쪽에
하지만 위와 같이 세 가지 조건을 다 확인해보는 것은 매우 번거로운 일이다. 따라서 수학자들은 부분군을 판정하기 위한 다른 방법을 찾아냈다. 다음 정리를 보자.
군 |
Proof:
Part [1]
만약
Part [2]
임의의
또한,
임의의
따라서 Theorem 1에 의해
이제 군과 그의 부분집합이 주어졌을 때 그것이 부분군이 되는지, 그렇지 않은지 쉽게 판단할 수 있는 근거가 마련되었다. 그러니 몇 가지 특수한 부분군에 대해 알아보자. 다음 정리들을 보자.
Theorem 3.
군 |
Proof:
임의의
따라서 Theorem 2에 의해
Theorem 4.
군 |
Proof:
임의의
따라서
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