추상대수학, 그 여섯 번째 이야기 | 부분군 ( Subgroup )

이 글에서 우리는 군 (Group)이 무엇인지 정의하였다. 일반적으로 이러한 대수적 구조는 그의 부분구조와 관련된 여러 성질을 가진다. 따라서 이번 글에서는 군의 부분구조인 부분군을 정의할 것이다.

부분군은 다음과 같이 정의된다.

 

군 $\left<G,*\right>$의 부분집합 $H \subseteq G$에 대해 $\left<H,*\right>$가 군을 이룰 때, $H$를 $G$의 부분군 (Subgroup)이라고 하며, $H \leq G$ 또는 $H < G$와 같이 나타낸다. 만일 $H \neq G$이면서 동시에 $H \leq G$라면 $H \lneq G$로 나타낸다.

 

이때, 자명군인 부분군을 자명부분군 (Trivial Subgroup)이라고 부르며, $H \lneq G$인 $H$를 $G$의 진부분군 (Proper Subgroup)이라고 부른다.

부분군을 정의했으니 군 $G$의 부분집합 $H$가 부분군인지 아닌지 판정하는 방법을 알아보자.

 

Theorem 1.

군 $\left<G,*\right>$의 부분집합 $H$가 다음 조건을 모두 만족한다면, $H$는 군 $G$의 부분군이다. 또한, 역도 성립한다. 1. $H$가 이항연산 $*$에 대해 닫혀 있다. 2. $H$가 군 $G$의 항등원 $e$를 원소로 가진다. 3. $H$의 모든 원소 $x$에 대해 $x^{-1}\in H$를 만족한다.

 

Proof:

Part [1]

$H$가 이항연산 $*$에 대해 닫혀 있으므로 이항구조 $\left<H,*\right>$는 마그마이다.

임의의 $a,b,c\in H$를 생각하자. 그러면 $H \subseteq G$로부터 $a,b,c\in G$가 성립한다. 이때, $\left<G,*\right>$가 군이므로 다음이 성립한다.

$$(a*b)*c=a*(b*c)$$

따라서 마그마 $\left<H,*\right>$는 결합법칙을 만족하며, 마그마 $\left<H,*\right>$는 반군이다.

$H$가 항등원 $e$를 원소로 가지므로 반군 $\left<H,*\right>$는 모노이드이다.

$H$의 임의의 원소 $x$에 대해 역원 $x^{-1}\in H$가 존재하므로 모노이드 $\left<H,*\right>$는 군이다.

$\left<H,*\right>$가 군이고 $H\subseteq G$이므로 $H$는 군 $G$의 부분군이다.

Part [2]

$\left<H,*\right>$가 군이라면 군의 정의에 의해 집합 $H$는 이항연산 $*$에 대해 닫혀있다.

$H$의 항등원을 $e_H$, $G$의 항등원을 $e_G$라고 하자. 그러면, 군 $\left<G,*\right>$의 이항연산 아래에서 다음이 성립한다.

$$e_He_H=e_H=e_He_G$$

이제 양변의 왼쪽에 $e_H^{-1}$를 곱해주면 $e_H=e_G$를 얻을 수 있다. 따라서 $H$는 $G$의 항등원을 원소로 가진다.

$H$의 임의의 원소 $x$에 대해 $H$에서의 $x$의 역원을 $x^{-1_H}$, $G$에서의 $x$의 역원을 $x^{-1_G}$와 같이 표기하자. 그러면 $G$의 이항연산 아래에서 다음이 성립한다.

$$xx^{-1_H}=e_H=e_G=xx^{-1_G}$$

이제 양변의 왼쪽에 $x^{-1_G}$를 곱해주면 $x^{-1_H}=x^{-1_G}$를 얻을 수 있다. 따라서 $G$에서의 역원과 $H$에서의 역원은 같다.

$\blacksquare$

 

하지만 위와 같이 세 가지 조건을 다 확인해보는 것은 매우 번거로운 일이다. 따라서 수학자들은 부분군을 판정하기 위한 다른 방법을 찾아냈다. 다음 정리를 보자.

 

Theorem 2.

군 $\left<G,*\right>$의 부분집합 $H$에 대해 $H$가 군 $G$의 부분군인 것은 다음과 동치이다. $$\forall a,b\in H,\;ab^{-1}\in H$$

 

Proof:

Part [1]

만약 $H$가 군 $G$의 부분군이면 임의의 $a,b\in H$에 대해 $b^{-1}\in H$임이 자명하며, 또한, $H$가 $G$의 부분군인 것으로부터 연산에 대해 닫혀있으므로 $ab^{-1}\in H$ 역시 성립한다.

Part [2]

임의의 $a,b\in H$에 대해 $ab^{-1}\in H$가 성립한다고 하자.

$a=b$인 경우를 생각하면, $aa^{-1}=e\in H$가 성립함을 알 수 있다.

또한, $G$의 항등원 $e$가 $H$의 원소이므로 $a=e$인 경우를 생각하면, 임의의 $b\in H$에 대해 $eb^{-1}=b^{-1}\in H$임을 알 수 있다.

임의의 $H$의 원소에 대해 그의 역원이 $H$의 원소이므로 임의의 $a,b\in H$에 대해 $a(b^{-1})^{-1}=ab\in H$임을 알 수 있다.

따라서 Theorem 1에 의해 $H$는 $G$의 부분군이다.

$\blacksquare$

 

이제 군과 그의 부분집합이 주어졌을 때 그것이 부분군이 되는지, 그렇지 않은지 쉽게 판단할 수 있는 근거가 마련되었다. 그러니 몇 가지 특수한 부분군에 대해 알아보자. 다음 정리들을 보자.

 

Theorem 3.

군 $\left<G,*\right>$와 endomorphism $f:G\to G$에 대해 $G$의 부분집합 $H = \{ f(g) \;|\; g \in G \}$는 군 $G$의 부분군이다.

 

Proof:

임의의 $f(g),f(h)\in H$에 대해 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.

$$f(g)f(h)^{-1}=f(g)f(h^{-1})=f(gh^{-1})\in H$$

따라서 Theorem 2에 의해 $H \leq G$이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 4.

군 $\left<G,*\right>$의 두 부분군 $U$, $V$에 대해 $U \cap V$ 역시 군 $G$의 부분군이 된다.

 

Proof:

임의의 $a,b \in U \cap V$에 대해 $a,b \in U$이고 동시에 $a,b \in V$이므로 항상 다음이 성립한다.

$$ab^{-1} \in U \\ ab^{-1} \in V$$

따라서 $ab^{-1} \in U \cap V$가 성립한다. 즉, Theorem 2에 의해 $U \cap V$는 군 $G$의 부분군이다.

$\blacksquare$