추상대수학, 그 여덟 번째 이야기 | 잉여류 ( Coset )

저번 글에서 부분군 (Subgroup)에 대해 다루었다. 이번 글에서는 그 부분군을 이용하여 정의되는 잉여류와 그를 통해 정의되는 몫군에 대해 알아볼 것이다. 먼저, 잉여류가 무엇인지 알아보자.

 

추상대수, 그 중에서도 특히 군론 (Group Theory)에서, 잉여류 (Coset)는 주어진 부분군에 의해 결정되는 동치관계의 동치류이다.

 

군 $G$와 그의 부분군 $H$, $G$의 원소 $a$에 대해 다음과 같이 정의되는 집합을 $a$가 속하는 $H$의 좌잉여류 (Left Coset)라고 한다.

 

$$aH=\{ah|h\in H\}$$

 

같은 방식으로 우잉여류 (Right Coset)도 정의할 수 있다.

 

$$Ha=\{ha|h\in H\}$$

 

만약 $G$가 아벨군인 경우를 비롯하여, 덧셈 기호를 사용하는 경우, $a+H$, $H+a$와 같이 쓴다.

또한, $H$가 부분군이 아닌 부분집합이라도 위와 같은 표기는 똑같은 방식으로 정의할 수 있다. 단지 그렇게 만들어진 집합은 $H$가 부분군이 아니므로 잉여류라고 부를 수 없다.

 

추가적으로, 잉여류 $aH$에서 $a$를 $aH$의 대표원 (Representative)이라고 부른다. 이때, 대표원은 해당 잉여류를 대표하는 원소로, 잉여류의 원소 중 아무것이나 될 수 있다.

 

그러면 이런 것들을 정의하는 이유가 대체 무엇일까? 그 이유는 위와 같이 정의된 잉여류가 사실은 동치류라는 사실 때문이다. 이에 대해 설명하기에 앞서 먼저 다음 정리를 보자.

 

Theorem 1.

$H$를 군 $G$의 부분군이라 하고, $a$, $b$를 $G$의 임의의 원소라고 하자. 이때, $a(bH)=(ab)H$가 성립한다.

 

Proof:

$a(bH)$의 임의의 원소 $x$를 생각하자. 그러면 $a(bH)$의 정의에 의해 $x=ay$인 $y\in bH$가 존재한다. 또한, $bH$의 정의에 의해 $y=bh$인 $h\in H$가 존재한다. 따라서 $x=abh$가 성립하며, $(ab)H$의 정의에 의해 $x\in (ab)H$임을 알 수 있다. 따라서 $a(bH)\subseteq (ab)H$이다.

이젠 $(ab)H$의 임의의 원소 $abh$를 생각하자. 그러면 $abh=a(bh)$이므로 $abh\in a(bH)$가 성립한다. 따라서 $(ab)H\subseteq a(bH)$이다.

$a(bH)\subseteq (ab)H$이고 동시에 $(ab)H\subseteq a(bH)$이므로 $a(bH)=(ab)H$이다.

$◼$

 

위의 정리 덕분에 $abH$와 같은 표기가 아무런 오해 없이 사용될 수 있게 된다. 이제 다음 정리를 보자.

 

Theorem 2.

$H$를 군 $G$의 부분군이라 하고, $a$, $b$를 $G$의 임의의 원소라고 하자. 그러면 항상 다음 둘 중 하나가 성립한다. 1. $aH=bH$ 2. $aH\cap bH=\varnothing$

 

Proof:

임의의 $a,b\in G$를 생각하자.

만약 $aH\cap bH$가 공집합이라면 2번 조건을 만족하므로 논의가 필요 없다.

만약 $aH\cap bH$가 공집합이 아니라면 $a{h}_1=b{h}_2$를 만족하는 $h_1,h_2\in H$가 존재한다.

이때, 양변의 왼쪽에 $a$의 역원을 곱하면 $h_1=a^{-1}b{h}_2$를 얻을 수 있다. 다시 양변의 오른쪽에 $h_2$의 역원을 곱하면 $h_1{h}_2^{-1}=a^{-1}b$를 얻을 수 있으며, 따라서 $a^{-1}b\in H$임을 알 수 있다. 즉, $a^{-1}bH=H$가 성립한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$aH=a(a^{-1}bH)=a{a}^{-1}bH=ebH=bH$$

따라서 정리가 증명되었다.

$◼$

 

드디어 잉여류가 동치류라는 것의 증명을 하기 위한 준비가 끝났다. 이제 다음 정리를 보면 왜 잉여류가 동치류가 되는지 알 수 있을 것이다.

 

Theorem 3.

$H$를 군 $G$의 부분군이라고 하자. 그러면 임의의 $a,b\in G$에 대해 다음과 같은 관계 $\sim$을 정의할 수 있다. $$a\sim b\iff a\in bH$$ 그러면 관계 $\sim$은 동치관계이다.

 

Proof:

임의의 $a\in G$에 대해 $a\in aH$임은 자명하므로 $\sim$은 반사적이다.

만약 $a\in bH$이면, Theorem 2에 의해 $aH=bH$이다. 등호는 대칭적이므로 $\sim$ 역시 대칭적이다.

위와 같은 방식으로 $\sim$은 추이적이다.

따라서 $\sim$은 동치관계이다.

$◼$

 

위의 모든 논의는 좌잉여류에 관해서 이루어졌지만, 같은 논리를 이용하여 우잉여류에 대해서도 같은 내용의 논의를 진행할 수 있다. 마지막으로, 이러한 잉여류들의 집합은 다음과 같이 표기한다.

 

$H$가 군 $G$의 부분군일 때, $G/H$는 $H$의 모든 좌잉여류의 집합이다. 즉, 다음과 같다. $$G/H=\{aH|a\in G\}$$ 이때, $G/H$ 의 cardinality를 index of $H$ in $G$ 라고 부르고, [ $G:H$ ] 라고 적는다.

 

이때, $H$가 특별한 구조를 만족하면 $G/H$는 군을 이루게 된다. 이에 대해서는 추후 포스팅할 예정이다.

 

또한, 위와 같이 한쪽으로만 잉여류를 생각할 수 있는 것이 아니라 다음과 같이 양쪽에 동시에 연산을 하는 것도 가능하다.

 

$H$를 군 $G$의 부분집합이라고 하고 $a,b$를 $G$의 원소라고 하자. 그러면 $aHb$는 다음과 같이 정의된다. $$aHb=\{ahb|h\in H\}$$

 

쉽게 예상할 수 있듯이 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 4.

$H$를 군 $G$의 부분군이라고 하자. 그러면 임의의 $a,b\in H$에 대해 다음이 성립한다. $$aHb=a(Hb)=(aH)b$$

 

증명은 위의 Theorem 1의 증명과 유사하므로 따로 서술하지는 않겠다.

 

또한, 다음과 같은 것을 정의할 수 있다.

 

$H$와 $K$를 군 $G$의 부분군이라고 하자. 그러면 임의의 $g\in G$에 대해 $HgK$를 다음과 같이 정의한다. $$HgK=\{hgk|h\in H\wedge k\in K\}$$ 이와 같이 정의되는 $HgK$를 $H$와 $K$에 대한 $g$의 이중 잉여류 (Double Coset)라고 한다. 이때, $H$와 $K$에 대한 이중 잉여류의 집합을 $H\mathrm{\setminus }G/K$와 같이 표기한다. 즉, 다음이 성립한다. $$H\mathrm{\setminus }G/K=\{HgK|g\in G\}$$

 

위와 같이 정의된 이중 잉여류에 대해 다음이 성립한다.

 

Theorem 5.

$H$와 $K$를 군 $G$의 부분군이라고 하자. 그러면 임의의 $a,b\in G$에 대해 다음 둘 중 하나가 항상 성립한다. 1. $HaK=HbK$ 2. $HaK\cap HbK=\varnothing$

 

증명은 위의 Theorem 2의 증명과 유사하므로 따로 서술하지는 않겠다.