추상대수학, 그 열 번째 이야기 | 몫군 ( Quotient Group )

몫군에 대해 얘기하기에 앞서, 다음과 같은 연산을 정의하자.

 

군 $\left< G,*\right>$의 부분집합 $U$, $V$에 대하여 $UV$를 다음과 같이 정의한다. $$UV = \{ uv \;|\; u \in U \land v \in V \}$$

 

그러면 다음의 정리가 성립한다.

 

Lemma 1.

군 $\left< G,* \right>$의 부분집합 $U$, $V$, $W$에 대하여 다음이 성립한다. $$(UV)W = U(VW)$$

 

Proof:

$U$, $V$, $W$가 군 $G$의 부분집합이므로 군의 정의에 의해 임의의 $u \in U$, $v \in V$, $w \in W$에 대하여 $(uv)w = u(vw)$가 성립한다.

따라서 임의의 $(UV)W$의 원소는 $U(VW)$의 원소이며 그 역도 성립한다. 즉, $(UV)W = U(VW)$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Theorem 1.

군 $\left< G,* \right>$의 정규부분군 $N$과 임의의 $a, b \in G$에 대하여 다음이 성립한다. $$(aN)(bN) = (ab)N$$

 

Proof:

$N$이 $G$의 정규부분군이므로 $N$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $bn = nb$가 성립한다. 즉, $bN = Nb$가 성립한다.

따라서 $(aN)(bN) = (aN)(Nb)$가 성립하며, 이때 $aN = \{ a \} N$, $Nb = N \{ b \}$으로 볼 수 있으며 Lemma 1에 의해 군의 부분집합의 곱은 결합법칙이 성립하므로 $(aN)(Nb) = aNNb = aNb = a(bN) = (ab)N$이 성립한다. 이때, $NN = N$인 것은 $N$이 $G$의 부분군이기 때문이다.

$\blacksquare$

 

위와 같이 연산이 정의되면, 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 2.

$\left< G,* \right>$를 군이라 하고 $N$을 $G$의 정규부분군이라고 하자. 그러면 $G/N$은 위에서 정의된 연산에 대하여 군을 이룬다.

 

Proof:

Theorem 1에 의해 $G/N$이 연산에 대하여 닫혀 있음은 자명하다.

또한, $G/N$이 결합법칙을 만족하며, 항등원 $eN = N$을 가진다는 것 역시 Theorem 1의 결과이다.

따라서 $G/N$은 주어진 연산에 대하여 군을 이룬다.

$\blacksquare$

 

위 정리로부터 우리는 군 $G$와 그의 정규부분군 $N$이 주어졌을 때 새로운 군 $G/N$을 얻을 수 있으며, 이러한 군을 몫군 (Quotient Group)이라고 부른다.

 

이때, 라그랑주 정리에 의해 $G/N$의 위수는 $G$의 위수의 약수이다. 즉, $|G| = |G/N| \kappa$가 성립하는 기수 $\kappa$가 존재한다.

 

또한, 임의의 군 $G$에 대하여 $G/G$는 자명군과 동형이며, $G/\{e\}$는 $G$와 동형이다.

추가적으로, 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 3.

군 $G$와 그의 정규부분군 $N$에 대하여 자연스러운 사상 $\phi : G \to G/N$은 surjective group homomorphism이다. 이때, 자연스러운 사상 $\phi : G \to G/N$은 $\phi : g \mapsto gN$으로 정의된다. 또한, 위와 같은 자연스러운 사상을 Canonical Map이라고 부른다.

 

Proof:

군 $G$의 임의의 두 원소 $g$, $g'$에 대해 $\phi(gg') = (gg')N = (gN)(g'N) = \phi(g)\phi(g')$이며, 모든 $gN$에 대하여 $g \in G$이므로 $\phi$는 $G$에서 $G/N$으로 가는 surjective group homomorphism이다.

$\blacksquare$