추상대수학, 그 열 번째 이야기 | 몫군 ( Quotient Group )

몫군에 대해 얘기하기에 앞서, 다음과 같은 연산을 정의하자.

 

군 $⟨G,\ast ⟩$의 부분집합 $U$, $V$에 대하여 $UV$를 다음과 같이 정의한다. $$UV=\{uv|u\in U\wedge v\in V\}$$

 

그러면 다음의 정리가 성립한다.

 

Lemma 1.

군 $⟨G,\ast ⟩$의 부분집합 $U$, $V$, $W$에 대하여 다음이 성립한다. $$(UV)W=U(VW)$$

 

Proof:

$U$, $V$, $W$가 군 $G$의 부분집합이므로 군의 정의에 의해 임의의 $u\in U$, $v\in V$, $w\in W$에 대하여 $(uv)w=u(vw)$가 성립한다.

따라서 임의의 $(UV)W$의 원소는 $U(VW)$의 원소이며 그 역도 성립한다. 즉, $(UV)W=U(VW)$가 성립한다.

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Theorem 1.

군 $⟨G,\ast ⟩$의 정규부분군 $N$과 임의의 $a,b\in G$에 대하여 다음이 성립한다. $$(aN)(bN)=(ab)N$$

 

Proof:

$N$이 $G$의 정규부분군이므로 $N$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $bn=nb$가 성립한다. 즉, $bN=Nb$가 성립한다.

따라서 $(aN)(bN)=(aN)(Nb)$가 성립하며, 이때 $aN=\{a\}N$, $Nb=N\{b\}$으로 볼 수 있으며 Lemma 1에 의해 군의 부분집합의 곱은 결합법칙이 성립하므로 $(aN)(Nb)=aNNb=aNb=a(bN)=(ab)N$이 성립한다. 이때, $NN=N$인 것은 $N$이 $G$의 부분군이기 때문이다.

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위와 같이 연산이 정의되면, 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 2.

$⟨G,\ast ⟩$를 군이라 하고 $N$을 $G$의 정규부분군이라고 하자. 그러면 $G/N$은 위에서 정의된 연산에 대하여 군을 이룬다.

 

Proof:

Theorem 1에 의해 $G/N$이 연산에 대하여 닫혀 있음은 자명하다.

또한, $G/N$이 결합법칙을 만족하며, 항등원 $eN=N$을 가진다는 것 역시 Theorem 1의 결과이다.

따라서 $G/N$은 주어진 연산에 대하여 군을 이룬다.

$◼$

 

위 정리로부터 우리는 군 $G$와 그의 정규부분군 $N$이 주어졌을 때 새로운 군 $G/N$을 얻을 수 있으며, 이러한 군을 몫군 (Quotient Group)이라고 부른다.

 

이때, 라그랑주 정리에 의해 $G/N$의 위수는 $G$의 위수의 약수이다. 즉, $|G|=|G/N|\kappa$가 성립하는 기수 $\kappa$가 존재한다.

 

또한, 임의의 군 $G$에 대하여 $G/G$는 자명군과 동형이며, $G/\{e\}$는 $G$와 동형이다.

추가적으로, 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 3.

군 $G$와 그의 정규부분군 $N$에 대하여 자연스러운 사상 $\varphi :G\to G/N$은 surjective group homomorphism이다. 이때, 자연스러운 사상 $\varphi :G\to G/N$은 $\varphi :g\mapsto gN$으로 정의된다. 또한, 위와 같은 자연스러운 사상을 Canonical Map이라고 부른다.

 

Proof:

군 $G$의 임의의 두 원소 $g$, $g^{\prime }$에 대해 $\varphi (g{g}^{\prime })=(g{g}^{\prime })N=(gN)(g^{\prime }N)=\varphi (g)\varphi (g^{\prime })$이며, 모든 $gN$에 대하여 $g\in G$이므로 $\varphi$는 $G$에서 $G/N$으로 가는 surjective group homomorphism이다.

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