추상대수학, 그 열한 번째 이야기 | 군론에서의 라그랑주 정리 ( Lagrange's Theorem - Group Theory )

먼저, 라그랑주 정리에 대해 이야기하기에 앞서, 부분군의 지표에 대한 이야기를 먼저 해야 한다.

부분군의 지표는 다음과 같이 정의한다.

 

군 $G$의 부분군 $H$에 대해, $H$의 $G$에 대한 지표 (Index)는 $\left[ G : H \right]$와 같이 표기하며, 다음과 같이 정의된다.$$\left[ G : H \right] = \left\lvert G/H \right\rvert$$책에 따라 $\left( G : H \right)$나 $\lvert G : H \rvert$와 같이 나타내기도 한다.

 

부분군의 지표를 위와 같이 정의하면 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 1.

군 $G$의 임의의 부분군 $H$에 대하여 다음 식이 항상 성립한다. $$\left\lvert G \right\rvert = \left[ G : H \right] \left\lvert H \right\rvert$$

 

Proof:

군 $G$와 그의 부분군 $H$에 대하여 임의의 서로 다른 두 $H$의 left coset $aH$, $bH$의 교집합은 공집합이다.

또한, 임의의 $a \in G$에 대하여, $a \in aH$가 성립하므로, $H$의 모든 left coset의 합집합은 $G$이다.

따라서 $H$의 모든 left coset의 집합은 $G$의 분할이다.

또한, 임의의 $a \in G$에 대하여, $aH$의 기수는 $H$의 기수와 같다. 이는 $h \mapsto ah$가 $H$에서 $aH$로 가는 전단사함수이기 때문이다.

따라서 $G$와 $(G/H) \times H$ 사이의 자연스러운 전단사함수가 존재하며, 기수의 연산의 정의에 의해 $\left\lvert G \right\rvert = \left[ G : H \right] \left\lvert H \right\rvert$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

위 정리를 라그랑주 정리 (Lagrange's Theorem)라고 부르며, 라그랑주 정리는 다음과 같은 따름정리를 이끌어낸다.

 

Corollary 1.1.

유한군 $G$의 임의의 부분군 $H$에 대해 $\left\lvert H \right\rvert$는 $\left\lvert G \right\rvert$의 약수이다.

 

또한, 라그랑주 정리는 다음과 같은 확장을 가진다.

 

Theorem 2.

군 $G$의 부분군 $H$와 $H$의 부분군 $K$에 대하여 다음 등식이 성립한다. $$\left[ G : K \right] = \left[ G : H \right] \left[ H : K \right]$$

 

Proof:

집합 $S$를 $K$의 $H$에서의 left coset의 대표원의 집합이라고 하자. 그러면 집합 $P = \{ aK \;|\; a \in S \}$는 $H$의 분할이며, $\left\lvert S \right\rvert = \left[ H : K \right]$이다.

이때, 임의의 $a \in G$에 대해서 사상 $x \mapsto ax$는 $G$에서 $G$로 가는 전단사함수이므로 $aP = \{ aX \;|\; X \in P \}$가 $aH$의 분할임을 알 수 있다.

따라서 모든 $H$의 left coset은 기수가 $\left[ H : K \right]$이고 모든 원소가 $K$의 $H$에서의 left cost인 분할로 분해된다. 이때, $G$가 기수가 $\left[ G : K \right]$이고 모든 원소가 $K$의 left coset인 분할로 분해되므로 $\left[ G : K \right] = \left[ G : H \right] \left[ H : K \right]$가 성립한다.

$\blacksquare$