추상대수학, 그 열세 번째 이야기 | 군에서의 동형 정리 ( Isomorphism Theorems for Groups )

이번 글에서는 군에서의 동형 정리에 대해 설명할 것이다. 사실, 동형 정리는 하나의 정리를 지칭하는 것이 아니라, 일반적으로 3가지의 정리를 지칭한다. 이 글에서는 각각의 정리를 제1동형 정리, 제2동형 정리, 제3동형 정리로 부를 것이다. 사실, 이 세 가지의 동형정리는 이름만 같을 뿐, 각각이 독립적인 정리이며, 각 정리가 가지고 있는 의미 역시 조금씩 다르다. 따라서 이번 글은 크게 네 부분으로 나눠서 작성할 것이다. 아래의 목차를 클릭하면 해당하는 부분으로 이동할 수 있다.

 

Table of Contents

• Part 0. 동형 정리 ( Isomorphism Theorems )
• Part 1. 제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem )
• Part 2. 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem )
• Part 3. 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem )

 

 

Part 0. 동형 정리 ( Isomorphism Theorems )

 

위에서도 언급했듯이, 동형 정리는 하나의 정리가 아닌, 독립적인 세 개의 정리를 총칭하여 부르는 이름이다.

뇌터 정리로도 유명한 수학자 에미 뇌터에 의해 증명되었으며, 군 뿐 아니라 여러 대수적 구조에서도 성립하는 정리이다.

사실, 동형 정리는 보편 대수의 정리이며, 아래의 정리들을 말한다. 본 글에서는 군에 대한 동형 정리만을 다룰 것이다.

 

Theorem 0. 동형 정리 ( Isomorphism Theorems )

제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem ) Homomorphism $\phi : A \to B$에 대하여, 다음 명제들이 성립한다. $\phi(A) \subseteq B$는 $B$의 부분대수이다. $a \sim b \Leftrightarrow \phi(a) = \phi(b)$는 $A$ 위의 합동 관계이다. $\phi/\sim : A/\sim \to \phi(A)$는 isomorphism이다. 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem ) 대수 $(A,F)$와 그의 부분대수 $(B,F|_B) \subseteq (A,F)$ 및 $A$ 위의 합동 관계 $\sim$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $\sim|_B$는 $B$ 위의 합동 관계이다. $B^\sim = \{ \left[ a \right] \in A/\sim \;|\; \left[ a \right] \cap B \neq \varnothing \}$는 $A/\sim$의 부분대수이다. $B^\sim$은 $B/\sim|_B$와 isomorphic하다. 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem ) 대수 $A$ 위의 두 합동 관계 $\sim_1$과 $\sim_2$가 주어졌으며, $a \sim_1 b \Rightarrow a \sim_2 b$가 성립한다고 하자. 그러면 다음 명제들이 성립한다. $A/\sim_1$ 위의 이항 관계 $\sim_2 / \sim_1 = \{ \left( [a_1]_{\sim_1}, [a_2]_{\sim_2} \right) \;|\; \left( a_1, a_2 \right) \in \sim_2 \}$는 $A/\sim_1$ 위의 합동관계이다. $(A/\sim_1)/(\sim_2/\sim_1)$는 $A/\sim_2$와 isomorphic하다.

 

위 정리에 대한 증명은 추후 보편 대수에 대해 다루게 되면 따로 포스팅하도록 하겠다.

 

 

 

 

Part 1. 제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem )

 

군에서의 제1동형 정리란, 아래의 정리를 말한다.

 

Theorem 1. 군에서의 제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem for Groups )

group-homomorphism $f : G \to H$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $f(G) \leq H$ $\text{ker} f$$\trianglelefteq$$G$ $G/\text{ker} f$$\cong f(G)$

 

Proof.

먼저, $f(G) \leq H$인 것은 이글의 Theorem 2에 의해 자명하다.

또한, 이글의 Theorem1에 의해 $\text{ker} f \trianglelefteq G$이다.

따라서 $\text{ker} f \cong f(G)$임을 보이면 충분하다.

서술의 편의를 위해 $K = \text{ker} f$라고 하고, 사상 $\mu : G/K \to f(G)$를 $\mu : xK \mapsto f(x)$로 정의하자.

그러면 다음과 같은 이유로 인해 $\mu$는 잘 정의된다.

$$\begin{array}{ll} xK = yK & \Leftrightarrow x^{-1}y \in K \\ & \Leftrightarrow f(x^{-1}y) = e_H \\ & \Leftrightarrow f(x^{-1})f(y) = e_H \\ & \Leftrightarrow f(x)^{-1}f(y) = e_H \\ & \Leftrightarrow f(y) = f(x) \end{array}$$

위 과정을 반대로 거슬러 올라가면, $\mu$가 단사 함수임을 알 수 있다.

또한, $\mu(G/K) = \{ \mu(xK) \;|\; x \in G \} = \{ f(x) \;|\; x \in G \} = f(G)$이므로 $\mu$는 전사 함수이다.

이제 $\mu$가 $G/K$에서 $f(G)$로 가는 group-homomorphism임을 보이면 $\mu$가 $G/K$에서 $f(G)$로 가는 isomorphism임이 보여지며, 따라서 정리가 증명된다.

임의의 $x,y \in G$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\mu(xKyK) = \mu(xyK) = f(xy) = f(x)f(y) = \mu(xK) \mu(yK)$$

따라서 $\mu$는 $G/K$에서 $f(G)$로 가는 group-homomorphism이며, 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

 

 

 

Part 2. 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem )

 

군에서의 제2동형 정리란, 아래의 정리를 말한다.

 

Theorem 2. 군에서의 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem for Groups )

군 $G$와 부분군 $H \leq G$, 그리고 정규 부분군 $N \trianglelefteq G$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $H \cap N \trianglelefteq H$ $(HN)/N \trianglelefteq G/N$ $(HN)/N \cong H/(H \cap N)$

 

위 정리의 세 번째 명제에서 몫군의 표현을 약간 바꾸어 보면, $\frac{HN}{N} \cong \frac{H}{H \cap N}$으로 나타낼 수 있다. 이는 분모와 분자의 공통인수를 지우는, 일종의 약분으로 볼 수 있다. 즉, 군에서의 제2동형 정리는 몫군 표현에서 약분과 같은 행위가 허용됨을 의미한다고 생각할 수 있다.

 

Proof.

Part a. $H \cap N \trianglelefteq H$

$h \in H$와 $n \in H \cap N$을 생각하자.

그러면, $H$가 $G$의 부분군이라는 사실로부터, $h^{-1}nh \in H$임이 자명하다.

또한, $N$이 $G$의 정규부분군이므로 $h^{-1}nh \in N$임이 자명하다.

따라서 $h^{-1}nh \in H \cap N$이 성립하며, 정의에 의해 $H \cap N$은 $H$의 정규부분군이다.

 

Part b. $(HN)/N \trianglelefteq G/N$

먼저, $(HN)/N$이 잘 정의됨을 확인하기 위해 $N \trianglelefteq HN$임을 보이자.

$h \in H$와 $n_1, n_2 \in N$을 생각하자.

그러면 $N$이 $G$의 정규부분군이므로 다음이 성립한다.

$$(hn_1)^{-1}n_2(hn_1) = n_1^{-1}(h^{-1}n_2h)n_1 \in N$$

따라서 $N \trianglelefteq HN$이며, $(HN)/N$이 잘 정의된다.

이제 $g \in G, h \in H, n \in N$을 생각하자.

그러면 다음이 성립한다.

$$(gN)^{-1}(hnN)(gN) = (g^{-1}N)(hN)(gN) = (g^{-1}hg)N \in G/N$$

따라서 $(HN)/N \trianglelefteq G/N$이다.

 

Part c. $(HN)/N \cong H/(H \cap N)$

이를 증명하기 위해 $\phi : HN \to H/(H \cap N)$를 $\phi : hn \mapsto h(H \cap N)$와 같이 정의하자.

이제 $\phi$가 Epimorphism임을 보이고, $\text{ker}\phi = N$임을 보인 후에 Theorem 1을 적용하면 정리가 증명된다.

먼저 $\phi$가 함수임을 보이자.

$x, y \in HN$에 대하여 $x = h_x n_x, \; y = h_y n_y$라고 하자. 그러면 다음이 성립하므로 $\phi$는 함수이다.

$$\begin{array}{lll} x=y & \Rightarrow & h_x n_x = h_y n_y \\ & \Rightarrow & n_x n_y^{-1} = h_x^{-1} h_y \in H \cap N \\ & \Rightarrow & h_x(H \cap N) = h_y(H \cap N) \end{array}$$

이제 $\phi$가 group-homomorphism인 것을 보이자.

임의의 $h_1n_1, h_2n_2 \in HN$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{lll} \phi((h_1n_1)(h_2n_2)) & = & \phi((h_1h_2)(n_1n_2)) \\ & = & (h_1h_2)(H \cap N) \\ & = & (h_1(H \cap N))(h_2(H \cap N)) \\ & = & \phi(h_1n_1)\phi(h_2n_2) \end{array}$$

따라서 $\phi$는 group-homomorphism이다.

이제 $\phi$가 전사임을 보이자. $\phi(HN) = \{ h(H \cap N) \;|\; h \in H \} = H / (H \cap N)$이므로 $\phi$가 전사 함수임은 자명하다.

따라서 $\phi$는 epimorphism이다. 또한, $\phi$의 정의로부터 $N \subseteq \text{ker}\phi$임이 자명하므로 $\text{ker}\phi \subseteq N$임을 보이면 정리가 증명된다.

어떤 $n \in N, h \in H$에 대하여 $\phi(hn) = H \cap N$이라고 가정하자.

그러면 $H \cap N$이 $H$의 부분군이므로 다음이 성립한다.

$$h(H \cap N) = H \cap N \Rightarrow he = h \in H \cap N \Rightarrow h \in N$$

따라서 $\text{ker}\phi \subseteq N$이 성립하며, 이로 인해 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

 

 

 

Part 3. 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem )

 

군에서의 제3동형 정리란, 아래의 정리를 말한다.

 

Theorem 3. 군에서의 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem for Groups )

군 $G$와 두 정규부분군 $N_1 \leq N_2 \trianglelefteq G$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $N_2/N_1 \trianglelefteq G/N_1$ $(G/N_1)/(N_2/N_1) \cong G/N_2$

 

위 정리의 두 번째 명제에서 몫군의 표현을 약간 바꾸어 보면, $\frac{\frac{G}{N_1}}{\frac{N_2}{N_1}} \cong \frac{G}{N_2}$으로 나타낼 수 있다. 이는 분모와 분자에 $N_1$을 곱하는, 일종의 통분으로 볼 수 있다. 즉, 군에서의 제3동형 정리는 몫군 표현에서 통분과 같은 행위가 허용됨을 의미한다고 볼 수 있다.

 

Proof.

Part a. $N_2/N_1 \trianglelefteq G/N_1$

먼저, $N_1 \trianglelefteq G$이고 $N_2 \leq G$이므로 $N_1 \trianglelefteq N_2$임은 자명하다.

따라서 $N_2/N_1$은 잘 정의된다.

이제 $n \in N_2$와 $g \in G$를 생각하자. 그러면 $N_2 \trianglelefteq G$이므로 다음이 성립한다.

$$(gN_1)^{-1}(nN_1)(gN_1) = (g^{-1}N_1)(nN_1)(gN_1) = (g^{-1}ng)N_1 \in N_2/N_1$$

 

Part b. $(G/N_1)/(N_2/N_1) \cong G/N_2$

앞서 보인 명제에 의해 $(G/N_1)/(N_2/N_1)$은 잘 정의된다.

이번에는 함수 $\phi : G \to (G/N_1)/(N_2/N_1)$을 $\phi : g \mapsto gN_1(N_2/N_1)$와 같이 정의하자.

이제 $\phi$가 epimorphism임을 보이고, $\text{ker}\phi = N_2$임을 보인 후, Theorem 1을 적용할 것이다.

먼저 $\phi$가 group-homomorphism임을 보이자.

임의의 $x,y \in G$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \phi(xy) = (xy)N_1(N_2/N_1) = ((xN_1)(yN_1))(N_2/N_1) = (xN_1(N_2/N_1))(yN_1(N_2/N_1)) = \phi(x)\phi(y) $$

따라서 $\phi$는 group-homomorphism이다.

이제 $\phi$가 전사임을 보이자. $\phi(G) = \{ gN_1(N_2/N_1) \;|\; g \in G \} = (G/N_1)/(N_2/N_1)$이므로 $\phi$가 전사임은 자명하다.

이제 $\text{ker}\phi = N_2$임을 보이면 정리가 증명된다.

임의의 $n \in N_2$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ nN_1 \in N_2/N_1 \Rightarrow \phi(n) = nN_1(N_2/N_1) = N_2/N_1 = N_1(N_2/N_1) = \phi(e) $$

따라서 $N_2 \subseteq \text{ker}\phi$가 성립한다.

이제 반대로 $g \in \text{ker}\phi$에 대해 생각하자. 그러면 $N_2/N_1 \trianglelefteq G/N_1$에 의해 다음이 성립한다.

$$ gN_1(N_2/N_1) = N_2/N_1 \Rightarrow gN_1 \in N_2/N_1 \Rightarrow g \in N_2 $$

그러므로 $\text{ker}\phi \subseteq N_2$가 성립하며, 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$