추상대수학, 그 열세 번째 이야기 | 군에서의 동형 정리 ( Isomorphism Theorems for Groups )

이번 글에서는 군에서의 동형 정리에 대해 설명할 것이다. 사실, 동형 정리는 하나의 정리를 지칭하는 것이 아니라, 일반적으로 3가지의 정리를 지칭한다. 이 글에서는 각각의 정리를 제1동형 정리, 제2동형 정리, 제3동형 정리로 부를 것이다. 사실, 이 세 가지의 동형정리는 이름만 같을 뿐, 각각이 독립적인 정리이며, 각 정리가 가지고 있는 의미 역시 조금씩 다르다. 따라서 이번 글은 크게 네 부분으로 나눠서 작성할 것이다. 아래의 목차를 클릭하면 해당하는 부분으로 이동할 수 있다.

 

Table of Contents

• Part 0. 동형 정리 ( Isomorphism Theorems )
• Part 1. 제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem )
• Part 2. 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem )
• Part 3. 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem )

 

 

Part 0. 동형 정리 ( Isomorphism Theorems )

 

위에서도 언급했듯이, 동형 정리는 하나의 정리가 아닌, 독립적인 세 개의 정리를 총칭하여 부르는 이름이다.

뇌터 정리로도 유명한 수학자 에미 뇌터에 의해 증명되었으며, 군 뿐 아니라 여러 대수적 구조에서도 성립하는 정리이다.

사실, 동형 정리는 보편 대수의 정리이며, 아래의 정리들을 말한다. 본 글에서는 군에 대한 동형 정리만을 다룰 것이다.

 

Theorem 0. 동형 정리 ( Isomorphism Theorems )

제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem ) Homomorphism $\varphi :A\to B$에 대하여, 다음 명제들이 성립한다. $\varphi (A)\subseteq B$는 $B$의 부분대수이다. $a\sim b\iff \varphi (a)=\varphi (b)$는 $A$ 위의 합동 관계이다. $\varphi /\sim :A/\sim \to \varphi (A)$는 isomorphism이다. 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem ) 대수 $(A,F)$와 그의 부분대수 $(B,F{|}_B)\subseteq (A,F)$ 및 $A$ 위의 합동 관계 $\sim$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $\sim {|}_B$는 $B$ 위의 합동 관계이다. $B^{\sim }=\{\left[a\right]\in A/\sim |\left[a\right]\cap B\ne \varnothing \}$는 $A/\sim$의 부분대수이다. $B^{\sim }$은 $B/\sim {|}_B$와 isomorphic하다. 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem ) 대수 $A$ 위의 두 합동 관계 ${\sim }_1$과 ${\sim }_2$가 주어졌으며, $a{\sim }_{1}b\Rightarrow a{\sim }_{2}b$가 성립한다고 하자. 그러면 다음 명제들이 성립한다. $A/{\sim }_1$ 위의 이항 관계 ${\sim }_2/{\sim }_1=\{([a_1{]}_{{\sim }_1},[a_2{]}_{{\sim }_2})|(a_1,a_2)\in {\sim }_2\}$는 $A/{\sim }_1$ 위의 합동관계이다. $(A/{\sim }_1)/({\sim }_2/{\sim }_1)$는 $A/{\sim }_2$와 isomorphic하다.

 

위 정리에 대한 증명은 추후 보편 대수에 대해 다루게 되면 따로 포스팅하도록 하겠다.

 

 

 

 

Part 1. 제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem )

 

군에서의 제1동형 정리란, 아래의 정리를 말한다.

 

Theorem 1. 군에서의 제1동형 정리 ( First Isomorphism Theorem for Groups )

group-homomorphism $f:G\to H$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $f(G)\le H$ $\text{ker}f$$⊴$$G$ $G/\text{ker}f$$\cong f(G)$

 

Proof.

먼저, $f(G)\le H$인 것은 이글의 Theorem 2에 의해 자명하다.

또한, 이글의 Theorem1에 의해 $\text{ker}f⊴G$이다.

따라서 $\text{ker}f\cong f(G)$임을 보이면 충분하다.

서술의 편의를 위해 $K=\text{ker}f$라고 하고, 사상 $\mu :G/K\to f(G)$를 $\mu :xK\mapsto f(x)$로 정의하자.

그러면 다음과 같은 이유로 인해 $\mu$는 잘 정의된다.

$$\begin{array}{ll}xK=yK& \iff x^{-1}y\in K\\ & \iff f(x^{-1}y)=e_H\\ & \iff f(x^{-1})f(y)=e_H\\ & \iff f(x{)}^{-1}f(y)=e_H\\ & \iff f(y)=f(x)\end{array}$$

위 과정을 반대로 거슬러 올라가면, $\mu$가 단사 함수임을 알 수 있다.

또한, $\mu (G/K)=\{\mu (xK)|x\in G\}=\{f(x)|x\in G\}=f(G)$이므로 $\mu$는 전사 함수이다.

이제 $\mu$가 $G/K$에서 $f(G)$로 가는 group-homomorphism임을 보이면 $\mu$가 $G/K$에서 $f(G)$로 가는 isomorphism임이 보여지며, 따라서 정리가 증명된다.

임의의 $x,y\in G$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\mu (xKyK)=\mu (xyK)=f(xy)=f(x)f(y)=\mu (xK)\mu (yK)$$

따라서 $\mu$는 $G/K$에서 $f(G)$로 가는 group-homomorphism이며, 정리가 증명된다.

$◼$

 

 

 

 

Part 2. 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem )

 

군에서의 제2동형 정리란, 아래의 정리를 말한다.

 

Theorem 2. 군에서의 제2동형 정리 ( Second Isomorphism Theorem for Groups )

군 $G$와 부분군 $H\le G$, 그리고 정규 부분군 $N⊴G$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $H\cap N⊴H$ $(HN)/N⊴G/N$ $(HN)/N\cong H/(H\cap N)$

 

위 정리의 세 번째 명제에서 몫군의 표현을 약간 바꾸어 보면, $\frac{HN}{N}\cong \frac{H}{H\cap N}$으로 나타낼 수 있다. 이는 분모와 분자의 공통인수를 지우는, 일종의 약분으로 볼 수 있다. 즉, 군에서의 제2동형 정리는 몫군 표현에서 약분과 같은 행위가 허용됨을 의미한다고 생각할 수 있다.

 

Proof.

Part a. $H\cap N⊴H$

$h\in H$와 $n\in H\cap N$을 생각하자.

그러면, $H$가 $G$의 부분군이라는 사실로부터, $h^{-1}nh\in H$임이 자명하다.

또한, $N$이 $G$의 정규부분군이므로 $h^{-1}nh\in N$임이 자명하다.

따라서 $h^{-1}nh\in H\cap N$이 성립하며, 정의에 의해 $H\cap N$은 $H$의 정규부분군이다.

 

Part b. $(HN)/N⊴G/N$

먼저, $(HN)/N$이 잘 정의됨을 확인하기 위해 $N⊴HN$임을 보이자.

$h\in H$와 $n_1,n_2\in N$을 생각하자.

그러면 $N$이 $G$의 정규부분군이므로 다음이 성립한다.

$$(h{n}_1{)}^{-1}{n}_2(h{n}_1)=n_1^{-1}(h^{-1}{n}_{2}h)n_1\in N$$

따라서 $N⊴HN$이며, $(HN)/N$이 잘 정의된다.

이제 $g\in G,h\in H,n\in N$을 생각하자.

그러면 다음이 성립한다.

$$(gN{)}^{-1}(hnN)(gN)=(g^{-1}N)(hN)(gN)=(g^{-1}hg)N\in G/N$$

따라서 $(HN)/N⊴G/N$이다.

 

Part c. $(HN)/N\cong H/(H\cap N)$

이를 증명하기 위해 $\varphi :HN\to H/(H\cap N)$를 $\varphi :hn\mapsto h(H\cap N)$와 같이 정의하자.

이제 $\varphi$가 Epimorphism임을 보이고, $\text{ker}\varphi =N$임을 보인 후에 Theorem 1을 적용하면 정리가 증명된다.

먼저 $\varphi$가 함수임을 보이자.

$x,y\in HN$에 대하여 $x=h_x{n}_x,y=h_y{n}_y$라고 하자. 그러면 다음이 성립하므로 $\varphi$는 함수이다.

$$\begin{array}{lll}x=y& \Rightarrow & h_x{n}_x=h_y{n}_y\\ & \Rightarrow & n_x{n}_y^{-1}=h_x^{-1}{h}_y\in H\cap N\\ & \Rightarrow & h_x(H\cap N)=h_y(H\cap N)\end{array}$$

이제 $\varphi$가 group-homomorphism인 것을 보이자.

임의의 $h_1{n}_1,h_2{n}_2\in HN$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{lll}\varphi ((h_1{n}_1)(h_2{n}_2))& =& \varphi ((h_1{h}_2)(n_1{n}_2))\\ & =& (h_1{h}_2)(H\cap N)\\ & =& (h_1(H\cap N))(h_2(H\cap N))\\ & =& \varphi (h_1{n}_1)\varphi (h_2{n}_2)\end{array}$$

따라서 $\varphi$는 group-homomorphism이다.

이제 $\varphi$가 전사임을 보이자. $\varphi (HN)=\{h(H\cap N)|h\in H\}=H/(H\cap N)$이므로 $\varphi$가 전사 함수임은 자명하다.

따라서 $\varphi$는 epimorphism이다. 또한, $\varphi$의 정의로부터 $N\subseteq \text{ker}\varphi$임이 자명하므로 $\text{ker}\varphi \subseteq N$임을 보이면 정리가 증명된다.

어떤 $n\in N,h\in H$에 대하여 $\varphi (hn)=H\cap N$이라고 가정하자.

그러면 $H\cap N$이 $H$의 부분군이므로 다음이 성립한다.

$$h(H\cap N)=H\cap N\Rightarrow he=h\in H\cap N\Rightarrow h\in N$$

따라서 $\text{ker}\varphi \subseteq N$이 성립하며, 이로 인해 정리가 증명된다.

$◼$

 

 

 

 

Part 3. 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem )

 

군에서의 제3동형 정리란, 아래의 정리를 말한다.

 

Theorem 3. 군에서의 제3동형 정리 ( Third Isomorphism Theorem for Groups )

군 $G$와 두 정규부분군 $N_1\le N_2⊴G$에 대하여 다음 명제들이 성립한다. $N_2/N_1⊴G/N_1$ $(G/N_1)/(N_2/N_1)\cong G/N_2$

 

위 정리의 두 번째 명제에서 몫군의 표현을 약간 바꾸어 보면, $\frac{\frac{G}{N_1}}{\frac{N_2}{N_1}}\cong \frac{G}{N_2}$으로 나타낼 수 있다. 이는 분모와 분자에 $N_1$을 곱하는, 일종의 통분으로 볼 수 있다. 즉, 군에서의 제3동형 정리는 몫군 표현에서 통분과 같은 행위가 허용됨을 의미한다고 볼 수 있다.

 

Proof.

Part a. $N_2/N_1⊴G/N_1$

먼저, $N_1⊴G$이고 $N_2\le G$이므로 $N_1⊴N_2$임은 자명하다.

따라서 $N_2/N_1$은 잘 정의된다.

이제 $n\in N_2$와 $g\in G$를 생각하자. 그러면 $N_2⊴G$이므로 다음이 성립한다.

$$(g{N}_1{)}^{-1}(n{N}_1)(g{N}_1)=(g^{-1}{N}_1)(n{N}_1)(g{N}_1)=(g^{-1}ng)N_1\in N_2/N_1$$

 

Part b. $(G/N_1)/(N_2/N_1)\cong G/N_2$

앞서 보인 명제에 의해 $(G/N_1)/(N_2/N_1)$은 잘 정의된다.

이번에는 함수 $\varphi :G\to (G/N_1)/(N_2/N_1)$을 $\varphi :g\mapsto g{N}_1(N_2/N_1)$와 같이 정의하자.

이제 $\varphi$가 epimorphism임을 보이고, $\text{ker}\varphi =N_2$임을 보인 후, Theorem 1을 적용할 것이다.

먼저 $\varphi$가 group-homomorphism임을 보이자.

임의의 $x,y\in G$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\varphi (xy)=(xy)N_1(N_2/N_1)=((x{N}_1)(y{N}_1))(N_2/N_1)=(x{N}_1(N_2/N_1))(y{N}_1(N_2/N_1))=\varphi (x)\varphi (y)$$

따라서 $\varphi$는 group-homomorphism이다.

이제 $\varphi$가 전사임을 보이자. $\varphi (G)=\{g{N}_1(N_2/N_1)|g\in G\}=(G/N_1)/(N_2/N_1)$이므로 $\varphi$가 전사임은 자명하다.

이제 $\text{ker}\varphi =N_2$임을 보이면 정리가 증명된다.

임의의 $n\in N_2$에 대하여 다음이 성립한다.

$$n{N}_1\in N_2/N_1\Rightarrow \varphi (n)=n{N}_1(N_2/N_1)=N_2/N_1=N_1(N_2/N_1)=\varphi (e)$$

따라서 $N_2\subseteq \text{ker}\varphi$가 성립한다.

이제 반대로 $g\in \text{ker}\varphi$에 대해 생각하자. 그러면 $N_2/N_1⊴G/N_1$에 의해 다음이 성립한다.

$$g{N}_1(N_2/N_1)=N_2/N_1\Rightarrow g{N}_1\in N_2/N_1\Rightarrow g\in N_2$$

그러므로 $\text{ker}\varphi \subseteq N_2$가 성립하며, 따라서 정리가 증명된다.

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