추상대수학, 그 열두 번째 이야기 | Homomorphism의 Kernel (Kernel of Homomorphism)

일반적으로, 어떠한 대수적 구조에서 homomorphism $f$의 kernel이란 항등원 $e$를 함수값으로 가지는 원소들의 집합을 말한다. 

Kernel은 그 자체로도 단사성에 대한 정보 등을 제공할 뿐만 아니라, 함수값이 같은 두 원소들간의 관계를 설명하기도 한다. 

그렇기 때문에 kernel은 대수적인 구조를 해석하는데에 좋은 직관을 제공하는 중요한 개념이다.

다음은 group-homomorphism에서의 kernel의 정의이다.

 

군 $H$에 대하여, $H$의 항등원을 $e$라고 하자.  $f : G \to H $ 가 group-homomorphism일때, $ \text{ker} f = \{ x \in G | f(x) = e \} $ 로 정의된다. 이때, $\text{ker} f$는 $f$의 kernel을 의미한다.

 

이렇게 정의된 kernel은 상당히 좋은 성질을 가지는데, group-homomorphism $f : G \to H$에 대해 $ker f$는 $G$의 정규부분군이다.

 

Theorem 1.

군 $G,H$에 대하여, group-homomorphism $f : G \to H$ 에 대해, $ \text{ker} f \trianglelefteq G$

 

Proof.

먼저 $ \text{ker} f < G $임을 보이자.

$ x \in \text{ker} f , y \in ker f $ 이면 $f(x) = f(y) = e_H$ 이므로, $f(xy) = f(x)f(y) = e_H$이다.

따라서 $xy \in \text{ker} f $.

$G,H$ 의 항등원을 각각 $e_G, e_H$라고 하자. 
$e_G \in \text{ker} f $ 임을 보이자.
임의의 $x \in G$에 대하여 $e_G x = x $이므로 임의의 $x \in G$에 대하여 $f(e_G x) = f(x) = f(e_G) f(x) $이다.
$H$는 군이므로 $f(x)^{-1}$ 이 존재하며, 이를 위 식의 우측에 곱하면 $ f(e_G) = e_H $ 를 얻을 수 있다. 

$x \in \text{ker} f $이면 $ x^{-1} \in \text{ker} f $ 임을 보이자. 
주어진 조건에 의해 $ f(x) = e_H$ 이다.
따라서 $ f(x x^{-1}) = f(e_G) = e_H = f(x) f(x^{-1})  = f(x^{-1}) $ 이다.

연산은 G에서 정의된 연산이므로 결합법칙을 만족한다.

 

이제, $\text{ker} f $가 정규 부분군임을 보이자.

임의의 $x \in G$에 대하여 $x \left( \text{ker} f \right) x^{-1} \subset \text{ker} f$ 임을 보이자.
임의의 $ y \in \text{ker} f $ 에 대해, $f (xyx^{-1}) = f(x)f(y)f(x^{-1}) = f(x)f(x^{-1}) = f(x x^{-1}) = f(e_G) = e_H $ 이므로 성립한다.

$\blacksquare$