추상대수학, 그 아홉 번째 이야기 | 켤레와 정규부분군 ( Conjugate & Normal Subgroup )
이번 글에서는 부분군 중 특이한 성질을 가지는 부분군을 소개할 것이다. 그 전에 다음을 먼저 정의하자.
Definition 1.
군 |
위와 같이 켤레를 정의하면 다음 정리가 성립한다.
Theorem 1.
군 |
Proof:
만약
만약
따라서 켤레관계는 동치관계이다.
Theorem 1에 의해 켤레관계에 대한 동치류를 만들 수 있음을 알 수 있다. 이때, 켤레관계로 인해 만들어지는 동치류를 켤레류 (Conjugacy Class)라고 한다.
이제 정규부분군을 정의하자. 정규부분군은 다음과 같이 정의된다.
군 또한, |
이제 정규부분군의 성질에 대해 알아보자. 제일 먼저, 다음은 정규부분군의 가장 기본적인 성질을 다루는 정리이다.
군 1. 2. 임의의 3. 임의의 4. 임의의 |
Proof:
Part [1] : 1번 명제가 2번 명제를 함의함의 증명
임의의
그러면
이때,
Part [2] : 2번 명제가 3번 명제를 함의함의 증명
임의의
그러면
또한,
따라서 임의의
Part [3] : 3번 명제가 4번 명제를 함의함의 증명
임의의
그러면
Part [4] : 4번 명제가 1번 명제를 함의함의 증명
임의의
그러면
따라서 임의의
또한, 다음 정리 역시 성립한다.
Theorem 3.
다음은 군 1. 2. 3. |
Proof:
따라서 Theorem 2에 의해
또한, 하나의 군이 아닌 두 개의 군에 대해서 정규부분군이 가지는 성질들도 있다. 다음 정리를 보자.
Theorem 4.
두 군 |
Proof:
이때,
군 |
Proof.
따라서 Theorem 2에 의해
이렇게 정의와 정리만 나열해놓으면 정규부분군이라는 개념이 대체 왜 필요한 것인지 이해가 안 될 수도 있다. 하지만, 정규부분군은 추상대수학에서 상당히 중요한 개념이며, 이 정규부분군을 활용하여 정의되는 또 다른 개념을 이용하면 군의 구조를 파악하는 데에 큰 도움이 된다. 이런 점에서 정규부분군은 상당히 중요한 개념이라고 할 수 있다.
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