추상대수학, 그 아홉 번째 이야기 | 켤레와 정규부분군 ( Conjugate & Normal Subgroup )

이번 글에서는 부분군 중 특이한 성질을 가지는 부분군을 소개할 것이다. 그 전에 다음을 먼저 정의하자.

 

Definition 1.

군 $G$의 두 원소 $a$, $b$에 대해 다음이 성립하면 $a$와 $b$가 켤레관계 (Conjugate Relation)에 있다고 하며, $a$를 $b$의 켤레 (Conjugate)라고 한다. $$\exists g \in G \text{ s.t. } gag^{-1} = b$$

 

위와 같이 켤레를 정의하면 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 1.

군 $G$의 원소에 대해 다음과 같이 정의되는 관계는 동치관계이다. 즉, 켤레관계는 동치관계이다. $$\exists g \in G \text{ s.t. } gag^{-1} = b \Leftrightarrow a \sim b$$

 

Proof:

$G$의 항등원 $e$에 대해 다음이 성립하므로 켤레관계는 반사적이다.

$$\forall a \in G,\; eae^{-1} = a$$

만약 $a \sim b$라면 $gag^{-1} = b$인 $g \in G$가 존재하므로 $g^{-1}bg = a$가 성립한다. 이때, $g^{-1} \in G$이므로 $b \sim a$이다. 따라서 켤레관계는 대칭적이다.

만약 $a \sim b \land b \sim c$라면 $gag^{-1} = b$인 $g \in G$가 존재하며, 동시에 $hbh^{-1} = c$인 $h \in G$가 존재한다. 그러면 다음이 성립하므로 켤레관계는 추이적이다.

$$c = hbh^{-1} = hgag^{-1}h^{-1} = (hg)a(hg)^{-1}$$

따라서 켤레관계는 동치관계이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 1에 의해 켤레관계에 대한 동치류를 만들 수 있음을 알 수 있다. 이때, 켤레관계로 인해 만들어지는 동치류를 켤레류 (Conjugacy Class)라고 한다.

 

이제 정규부분군을 정의하자. 정규부분군은 다음과 같이 정의된다.

 

Definition 2.

군 $G$의 부분군 $N$에 대해 $N$의 임의의 원소의 임의의 켤레가 다시 $N$의 원소가 되면 $N$을 정규부분군 (Normal Subgroup)이라고 한다. 즉, 다음이 성립하는 부분군 $N$을 정규부분군이라고 한다. $$\forall a \in N,\; \forall g \in G,\; gag^{-1} \in N$$ 또한, $N$이 군 $G$의 정규부분군이면 $N \trianglelefteq G$ 또는 $N \triangleleft G$라고 쓴다.

 

이제 정규부분군의 성질에 대해 알아보자. 제일 먼저, 다음은 정규부분군의 가장 기본적인 성질을 다루는 정리이다.

 

Theorem 2.

군 $G$와 그의 부분군 $N$에 대해 다음은 모두 동치이다. 1. $N$은 $G$의 정규부분군이다. 2. 임의의 $g \in G$에 대해 $gNg^{-1} \subseteq N$이 성립한다. 3. 임의의 $g \in G$에 대해 $gNg^{-1} = N$이 성립한다. 4. 임의의 $g \in G$에 대해 $gN = Ng$가 성립한다.

 

Proof:

Part [1] : 1번 명제가 2번 명제를 함의함의 증명

임의의 $g \in G$를 생각하자.

그러면 $N$이 $G$의 정규부분군이므로 임의의 $n \in N$에 대해 $gng^{-1} \in N$이 성립한다.

이때, $gNg^{-1} = \{ gng^{-1} \;|\; n \in N \}$이므로 $gNg^{-1} \subseteq N$이 성립한다.

$\blacksquare$

Part [2] : 2번 명제가 3번 명제를 함의함의 증명

임의의 $g \in G$를 생각하자.

그러면 $gNg^{-1} \subseteq N$이므로 임의의 $n \in N$에 대해 $gng^{-1} \in N$이 성립한다.

또한, $g^{-1} \in G$이므로 $g^{-1}Ng \subseteq N$ 역시 성립하며, 따라서 임의의 $n \in N$에 대해 $g^{-1}ng \in N$이 성립한다.

따라서 임의의 $n \in N$에 대해 $n = g(g^{-1}ng)g^{-1} \in gNg^{-1}$가 성립한다. 즉, $N \subseteq gNg^{-1}$가 성립한다.

$N \subseteq gNg^{-1}$임과 동시에 $gNg^{-1} \subseteq N$이므로 $gNg^{-1} = N$이다.

$\blacksquare$

Part [3] : 3번 명제가 4번 명제를 함의함의 증명

임의의 $g \in G$를 생각하자.

그러면 $gNg^{-1} = N$이므로 $gN = (gNg^{-1})g = Ng$가 성립한다.

$\blacksquare$

Part [4] : 4번 명제가 1번 명제를 함의함의 증명

임의의 $g \in G$를 생각하자.

그러면 $gN = Ng$이므로 임의의 $n \in N$에 대해 $gn = mg$가 성립하는 $m \in N$이 존재한다.

따라서 임의의 $n \in N$에 대해 $gng^{-1} = m \in N$이 성립하며, 정규부분군의 정의에 의해 $N$은 군 $G$의 정규부분군이다.

$\blacksquare$

 

또한, 다음 정리 역시 성립한다.

 

Theorem 3.

다음은 군 $G$의 부분군 $N$이 정규부분군일 충분조건이다. 1. $G$가 아벨군이다. 2. $N$은 자명군이다. 3. $N = G$이다.

 

Proof:

$G$가 아벨군이라면 교환법칙이 성립하므로 자명하게 다음이 성립한다.

$$\forall g \in G,\; gN = Ng$$

따라서 Theorem 2에 의해 $N$은 정규부분군이다.

$N$이 자명군이라면 임의의 $g \in G$에 대해 $gN = Ng = \{g\}$이므로 Theorem 2에 의해 $N$은 정규부분군이다.

$N = G$라면 임의의 $g \in G$에 대해 $gN = Ng = G$이므로 Theorem 2에 의해 $N$은 정규부분군이다.

$\blacksquare$

 

또한, 하나의 군이 아닌 두 개의 군에 대해서 정규부분군이 가지는 성질들도 있다. 다음 정리를 보자.

 

Theorem 4.

두 군 $G$와 $H$에 대해 $f : G \to H$가 전사인 group homomorphism이라고 하자. 그러면 군 $G$의 정규부분군 $N$에 대해 $f(N) \trianglelefteq H$가 성립한다.

 

Proof:

$f : G \to H$가 전사이므로 임의의 $h \in H$에 대해 $f(g) = h$가 성립하는 $g \in G$가 존재한다.

이때, $h^{-1} = f(g^{-1})$이므로 $N$의 임의의 원소 $n$에 대해 $hf(n)h^{-1} = f(g)f(n)f(g^{-1})=f(gng^{-1}) \in f(N)$이 성립한다. 즉, $f(N) \trianglelefteq H$이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 5.

군 $G$가 주어졌다고 하자. 그러면 $G$의 두 정규부분군 $N$과 $H$에 대하여 $NH = \{ nh \;|\; n \in N, \; h \in H \}$ 역시 $G$의 정규부분군이다.

 

Proof.

$N$과 $H$가 $G$의 정규부분군이므로 임의의 $g \in G$와 $n \in N, h \in H$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ g(nh)g^{-1} = (gng^{-1})(ghg^{-1}) \in NH $$

따라서 Theorem 2에 의해 $NH$는 $G$의 정규부분군이다.

$\blacksquare$

 

이렇게 정의와 정리만 나열해놓으면 정규부분군이라는 개념이 대체 왜 필요한 것인지 이해가 안 될 수도 있다. 하지만, 정규부분군은 추상대수학에서 상당히 중요한 개념이며, 이 정규부분군을 활용하여 정의되는 또 다른 개념을 이용하면 군의 구조를 파악하는 데에 큰 도움이 된다. 이런 점에서 정규부분군은 상당히 중요한 개념이라고 할 수 있다.