추상대수학, 그 아홉 번째 이야기 | 켤레와 정규부분군 ( Conjugate & Normal Subgroup )  By 초코맛 도비

이번 글에서는 부분군 중 특이한 성질을 가지는 부분군을 소개할 것이다. 그 전에 다음을 먼저 정의하자.

 

Definition 1.

G의 두 원소 a, b에 대해 다음이 성립하면 ab켤레관계 (Conjugate Relation)에 있다고 하며, ab켤레 (Conjugate)라고 한다.
gG s.t. gag1=b

 

위와 같이 켤레를 정의하면 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 1.

G의 원소에 대해 다음과 같이 정의되는 관계는 동치관계이다. 즉, 켤레관계는 동치관계이다.
gG s.t. gag1=bab

 

Proof:

G의 항등원 e에 대해 다음이 성립하므로 켤레관계는 반사적이다.

aG,eae1=a

만약 ab라면 gag1=bgG가 존재하므로 g1bg=a가 성립한다. 이때, g1G이므로 ba이다. 따라서 켤레관계는 대칭적이다.

만약 abbc라면 gag1=bgG가 존재하며, 동시에 hbh1=chG가 존재한다. 그러면 다음이 성립하므로 켤레관계는 추이적이다.

c=hbh1=hgag1h1=(hg)a(hg)1

따라서 켤레관계는 동치관계이다.

 

Theorem 1에 의해 켤레관계에 대한 동치류를 만들 수 있음을 알 수 있다. 이때, 켤레관계로 인해 만들어지는 동치류를 켤레류 (Conjugacy Class)라고 한다.

 

이제 정규부분군을 정의하자. 정규부분군은 다음과 같이 정의된다.

 

Definition 2.

G의 부분군 N에 대해 N의 임의의 원소의 임의의 켤레가 다시 N의 원소가 되면 N정규부분군 (Normal Subgroup)이라고 한다. 즉, 다음이 성립하는 부분군 N을 정규부분군이라고 한다.
aN,gG,gag1N
또한, N이 군 G의 정규부분군이면 NG 또는 NG라고 쓴다.

 

이제 정규부분군의 성질에 대해 알아보자. 제일 먼저, 다음은 정규부분군의 가장 기본적인 성질을 다루는 정리이다.

 

Theorem 2.

G와 그의 부분군 N에 대해 다음은 모두 동치이다.
1. NG의 정규부분군이다.
2. 임의의 gG에 대해 gNg1N이 성립한다.
3. 임의의 gG에 대해 gNg1=N이 성립한다.
4. 임의의 gG에 대해 gN=Ng가 성립한다.

 

Proof:

Part [1] : 1번 명제가 2번 명제를 함의함의 증명

임의의 gG를 생각하자.

그러면 NG의 정규부분군이므로 임의의 nN에 대해 gng1N이 성립한다.

이때, gNg1={gng1|nN}이므로 gNg1N이 성립한다.

Part [2] : 2번 명제가 3번 명제를 함의함의 증명

임의의 gG를 생각하자.

그러면 gNg1N이므로 임의의 nN에 대해 gng1N이 성립한다.

또한, g1G이므로 g1NgN 역시 성립하며, 따라서 임의의 nN에 대해 g1ngN이 성립한다.

따라서 임의의 nN에 대해 n=g(g1ng)g1gNg1가 성립한다. 즉, NgNg1가 성립한다.

NgNg1임과 동시에 gNg1N이므로 gNg1=N이다.

Part [3] : 3번 명제가 4번 명제를 함의함의 증명

임의의 gG를 생각하자.

그러면 gNg1=N이므로 gN=(gNg1)g=Ng가 성립한다.

Part [4] : 4번 명제가 1번 명제를 함의함의 증명

임의의 gG를 생각하자.

그러면 gN=Ng이므로 임의의 nN에 대해 gn=mg가 성립하는 mN이 존재한다.

따라서 임의의 nN에 대해 gng1=mN이 성립하며, 정규부분군의 정의에 의해 N은 군 G의 정규부분군이다.

 

또한, 다음 정리 역시 성립한다.

 

Theorem 3.

다음은 군 G의 부분군 N이 정규부분군일 충분조건이다.
1. G가 아벨군이다.
2. N은 자명군이다.
3. N=G이다.

 

Proof:

G가 아벨군이라면 교환법칙이 성립하므로 자명하게 다음이 성립한다.

gG,gN=Ng

따라서 Theorem 2에 의해 N은 정규부분군이다.

N이 자명군이라면 임의의 gG에 대해 gN=Ng={g}이므로 Theorem 2에 의해 N은 정규부분군이다.

N=G라면 임의의 gG에 대해 gN=Ng=G이므로 Theorem 2에 의해 N은 정규부분군이다.

 

또한, 하나의 군이 아닌 두 개의 군에 대해서 정규부분군이 가지는 성질들도 있다. 다음 정리를 보자.

 

Theorem 4.

두 군 GH에 대해 f:GH가 전사인 group homomorphism이라고 하자. 그러면 군 G의 정규부분군 N에 대해 f(N)H가 성립한다.

 

Proof:

f:GH가 전사이므로 임의의 hH에 대해 f(g)=h가 성립하는 gG가 존재한다.

이때, h1=f(g1)이므로 N의 임의의 원소 n에 대해 hf(n)h1=f(g)f(n)f(g1)=f(gng1)f(N)이 성립한다. 즉, f(N)H이다.

 

Theorem 5.

G가 주어졌다고 하자. 그러면 G의 두 정규부분군 NH에 대하여 NH={nh|nN,hH} 역시 G의 정규부분군이다.

 

Proof.

NHG의 정규부분군이므로 임의의 gGnN,hH에 대하여 다음이 성립한다.

g(nh)g1=(gng1)(ghg1)NH

따라서 Theorem 2에 의해 NHG의 정규부분군이다.

 

이렇게 정의와 정리만 나열해놓으면 정규부분군이라는 개념이 대체 왜 필요한 것인지 이해가 안 될 수도 있다. 하지만, 정규부분군은 추상대수학에서 상당히 중요한 개념이며, 이 정규부분군을 활용하여 정의되는 또 다른 개념을 이용하면 군의 구조를 파악하는 데에 큰 도움이 된다. 이런 점에서 정규부분군은 상당히 중요한 개념이라고 할 수 있다.

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