추상대수학, 그 일곱 번째 이야기 | 아벨군(가환군) ( Abelian Group; Commutative Group )

군 (Group) $⟨G,\ast ⟩$의 임의의 원소 $a,b$에 대해 항상 $a\ast b=b\ast a$가 성립하면 $⟨G,\ast ⟩$를 아벨군 (Abelian Group) 또는 가환군 (Commutative Group)이라고 한다.

 

가환이라는 말은 '교환 가능한' 즉, '교환 법칙이 성립하는' 정도로 받아들이면 좋다.

 

교환 법칙이 성립하는 경우, 곱셈 기호 대신 덧셈 기호를 사용하는 경우도 있다. 이때, 아벨군 $⟨G,+⟩$의 원소 $g$에 대해 $g$의 역원은 $-g$와 같이 쓰며, 항등원은 $0$과 같이 쓸 때가 많다. 당연하지만, $-(-g)=g$가 성립한다.

 

다음은 아벨군의 예시이다.

 

Example 1.

실수의 집합 $\mathbb{R}$과 상용덧셈 $+$에 대해 군 $⟨\mathbb{R},+⟩$은 아벨군이다.

 

Proof:

실수의 덧셈은 교환법칙이 성립하므로 군 $⟨\mathbb{R},+⟩$은 아벨군이다.

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다음은 아벨군이 아닌 군의 예시이다.

 

Counterexample 1.

$n\times n$ 실행렬 중 가역행렬만을 모아놓은 집합 $G{L}_n$과 행렬곱셈 $\cdot$에 대해 군 $⟨G{L}_n,\cdot ⟩$은 아벨군이 아니다.

 

Proof:

행렬곱셈은 교환법칙이 성립하지 않으므로 군 $⟨G{L}_n,\cdot ⟩$은 아벨군이 아니다.

$◼$