선형대수학, 그 열다섯 번째 이야기 | 선형 변환의 합성과 행렬곱

바로 전 글에서 우리는 행렬의 합과 상수곱이, 그에 해당하는 선형 변환의 합과 상수곱에 대응될 수 있음을 보였다. 행렬 사이의 곱에서도 선형 변환과의 관계를 찾을 수 있는데, 그 관계는 선형 변환의 합성이다.

 

편의를 위하여, 선형 변환 $T$ 와 $U$ 의 합성은 $T \circ U$ 대신 $TU$ 처럼 쓰도록 하겠다.

 

$V, W, Z$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이라 하고, $T : V \rightarrow W$ 와 $U : W \rightarrow Z$ 가 선형이라 하자.      이 때 $UT : V \rightarrow Z$ 는 선형이다.

 

Proof

 

임의의 $x, y \in V$ 와 $a \in F$ 를 생각하자. 이 때, $$\begin{align*} UT(ax + y)&= U(T(ax+y)) = U(aT(x) + T(y)) \\&=aU(T(x)) + U(T(y)) = a(UT)(x) + UT(y)\end{align*}$$ 이므로 분명히 $UT$ 는 선형이다.

 

위의 정리는, 두 선형 변환의 합성이 선형임을 보장하여 행렬 표현이 가능하게 만든다. 또한, 위의 정리로부터 우리는 아래의 명제들을 얻을 수 있다.

 

$V$ 가 $F$ 위의 벡터 공간이고, $T, U_1, U_2 \in \mathcal{L}(V)$ 일 때, 다음 네 가지 명제는 참이다.      1. $T(U_1 + U_2) = TU_1 + TU_2$ 이고, $(U_1 + U_2)T = U_1 T + U_2 T$      2. $T(U_1 U_2) = (TU_1 )U_2$      3. $TI_V = I_V T = T$      4. $\forall a \in F,\;a(U_1 U_2) = (aU_1)U_2 = U_1 (aU_2)$

 

이에 대한 증명은 바로 위의 정리와 이 글의 첫 번째 정리를 조합하여 만들어질 수 있으므로 생략한다.

 

이제 본격적으로 선형 변환의 행렬 표현 이야기를 해보자. 그를 위해 체 $F$ 위의 벡터 공간 $V, W, Z$ 와 각각의 순서 기저 $\alpha = \{v_1, v_2, \cdots, v_n \},\;\beta = \{w_1, w_2, \cdots, w_m \},\;\gamma=\{z_1, z_2, \cdots, z_p\}$ 를 생각하자.

 

두 선형 변환 $T : V \rightarrow W$ 와 $U : W \rightarrow Z$ 의 행렬 표현을 $A = [U]_\beta^\gamma$ 와 $B = [T]_\alpha^\beta$ 라 쓰면, 두 행렬의 곱셈은 두 선형 변환의 합성의 행렬 표현으로 정의한다. 즉, $$AB = [UT]_\alpha^\gamma$$ 로 정의된다. 이를 수식적으로 좀 더 풀어보면, $$\begin{align*} (UT)(v_j) &= U(T(v_j)) = U\left( \sum_{k=1}^{m} B_{kj} w_k \right) = \sum_{k=1}^{m} B_{kj} U(w_k) \\ &= \sum_{k=1}^{m} B_{kj} \left( \sum_{i=1}^{p} A_{ik} z_i \right) = \sum_{i=1}^{p} \left( \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj} \right) z_i \\&= \sum_{i=1}^{p} C_{ij} z_i \end{align*}$$ 이 때, $C$ 는 $$C_{ij} = \sum_{k=1}^{m} A_{ik} B_{kj}$$ 로 정의된 행렬이다. 위의 과정은 기호가 꽤나 많은 수식이므로, 확실히 읽고 이해한 뒤에 넘어가는 것을 권장한다.

 

따라서 우리는 위의 전개 과정을 통해, 두 행렬의 곱셈을 아래처럼 정의할 수 있다.

 

$A$ 가 $m \times n$ 행렬이고, $B$ 가 $n \times p$ 행렬일 때, $A$ 와 $B$ 의 행렬곱은      $AB$ 라 쓰고, $m \times p$ 행렬이 되며, 아래처럼 정의한다. $$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$$

 

위의 정의에서, 두 행렬 $A$, $B$ 의 행렬곱이 정의되기 위해서는 둘의 크기가 중요함을 기억하자.

 

또, 위의 증명 과정을 통해 우리는 자명하게 다음 결과를 얻는다.

 

$V, W, Z$ 가 벡터 공간이고, 순서기저로 각각 $\alpha, \beta, \gamma$ 를 가진다 하자.      선형 변환 $T : V \rightarrow W$ 와 $U : W \rightarrow Z$ 에 대해 $$[UT]_\alpha^\gamma = [U]_\beta^\gamma [T]_\alpha^\beta$$

 

또, 위의 정리를 벡터 공간 하나에 대해 생각하면,

 

$V$ 가 순서기저로 $\beta$ 를 가질 때, $T, U \in \mathcal{L}(V)$ 라면 $$[UT]_\beta = [U]_\beta [T]_\beta$$