선형대수학, 그 열세 번째 이야기 | 선형 변환의 행렬 표현

지금까지 우리는 선형 변환에 대해 그 range 나 kernal 을 보았다. 이 글에서는 유한 차원 벡터 공간에 대한 선형 변환을 분석하기 위한 좀 더 유용한 도구인 선형 변환의 행렬 표현에 대해 알아볼 것이다. 그를 위해서는, 먼저 순서 기저(ordered basis) 라는 것을 정의할 필요가 있다.

 

$V$ 를 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. $V$ 의 순서 기저(ordered basis) 는 기저에 순서를 준 것이다.      즉, $V$ 의 기저를 집합이 아니라 튜플(순서쌍)처럼 본 것이다.

 

$V$ 의 기저를 순서대로 놓은 이유는, 아래의 정의를 하기 위해서이다.

 

$\beta = \{u_1, u_2, \cdots, u_n \}$ 을 벡터 공간 $V$ 의 순서 기저라고 하자.      어떤 $x \in V$ 에 대해, $a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 가 유일하게 존재하여$$x = \sum_{i=1}^{n} a_i u_i$$     처럼 쓸 수 있다. 이 때 $x$ 의 $\beta$ 에 대한 좌표벡터(coordinate vector) 는 $[x]_{\beta}$ 로 적고, $$[x]_\beta = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$$     로 정의한다.

 

이 때 $x \rightarrow [x]_\beta$ 가 $V \rightarrow F^n$ 인 선형 변환이라는 것의 증명은 독자에게 맡긴다.

 

이제 우리는 위의 좌표 벡터를 이용하여, 선형 변환을 행렬로 표현할 수 있다.

 

$V$ 와 $W$ 를 유한 차원 벡터 공간이라고 하고, 각각 $\beta = \{v_1, v_2, \cdots, v_n \}$ 과 $\gamma = \{ w_1, w_2, \cdots, w_m \}$ 을 순서 기저로 갖는다고 하자. 이 때 $T : V \rightarrow W$ 가 선형이라고 하면, $1 \leq  j \leq m$ 인 모든 $j$ 에 대해 $a_{ij} \in F$, $1 \leq i \leq m$ 이 존재하여 $$T(v_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_i$$ 를 만족한다.

 

바로 위의 조건 하에서, $m \times n$ 행렬 $A$ 를 $[A]_{ij} = a_{ij}$ 로 정의하자.      $A$ 를 $\beta$ 와 $\gamma$ 에 대한 선형 변환의 행렬 표현이라고 부르고 $A = [T]_\beta^\gamma$ 라 쓴다.      만약 $V = W$ 이고 $\beta = \gamma$ 이면 $A = [T]_\beta$ 라 쓰기도 한다.

 

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$ 으로 써질 수 있다는 뜻이다.

 

$A$ 의 $j$ 번째 열은 $[T(v_j)]_\gamma$ 가 됨을 기억하자. 또, 만약 $T, U : V \rightarrow W$ 가 $[U]_\beta^\gamma = [T]_\beta^\gamma$ 를 만족한다면, $U = T$ 가 성립함을 이 글의 마지막 정리로부터 알 수 있다.

 

만약 다른 분야에서 "행렬" 이라는 도구의 존재를 미리 알고있더라도, 선형대수학의 논의를 진행하기 위해서는 이를 잊어주기를 바란다. 이 글에서의 행렬은 선형 변환과 순서 기저 두 개에 의해 정의된 그 무언가이다.