선형대수학, 그 열네 번째 이야기 | 행렬 표현의 덧셈

행렬의 덧셈에 대해 알아보기 위해서, 우선 두 선형 변환 사이의 덧셈이나 상수곱을 정의해야 한다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이고, $T, U : V\rightarrow W$ 인 임의의 함수 $T, U$ 를 잡자.      어떤 $a \in F$ 에 대해, $T + U : V \rightarrow W$ 와 $aT : V\rightarrow W$ 는 아래와 같이 정의한다.      $\forall x \in V, \;(T + U)(x) = T(x) + U(x)$ 이고, $\forall x\in V,\; (aT)(x) = aT(x)$

 

다행히도, 우리는 함수의 덧셈과 상수곱이 선형성을 보존함을 증명할 수 있다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이고, $T, U : V\rightarrow W$ 가 선형이라고 하자.      1. 임의의 $a\in F$ 에 대해 $aT + U$ 는 선형이다.      2. $V\rightarrow W$ 인 모든 선형 변환의 집합은 $F$ 위의 벡터공간이다.

 

Proof

 

1. $x, y \in V$ 와 $ c\in F$ 를 생각하자. 이 때 $$\begin{align*} (aT + U)(cx + y) &= aT(cx+y)+U(cx+y) \\ &= a[cT(x) + T(y)] + cU(x) + U(y) \\ &= acT(x) + cU(x) + aT(y) + U(y) \\ &= c(aT + U)(x) + (aT + U)(y)\end{align*} $$ 이므로, $aT + U$ 는 선형이다.

 

2. $T_0$, 영변환을 영벡터로 두면 $\mathcal{L}(V, W)$ 가 벡터 공간의 정의를 모두 만족함을 쉽게 알 수 있다. 따라서 $V \rightarrow W$ 인 모든 선형 변환의 집합은 $F$ 위의 벡터 공간이다.

 

 

위 정리의 2번으로부터 우리는 다음과 같은 것을 정의한다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이라고 하자. 이 때,      $V \rightarrow W$ 인 모든 선형 변환의 집합을 $\mathcal{L}(V, W)$ 라 쓰자.      만약 $V = W$ 라면, $\mathcal{L}(V)$ 라 쓰기도 한다.

 

위 정리의 2번은 곧 $\mathcal{L}(V, W)$ 가 $F$ 위의 벡터 공간이 됨을 의미하는 것이다.

또, 우리는 앞선 글을 통해 $\mathcal{L}(V, W)$ 의 임의의 원소를 행렬로 표현할 수 있음을 안다. 행렬로 생각할 수 있음을 유념하면서 정리를 바라본다면 좀 더 직관적이게 느껴질 것이다.

 

이제 선형 변환에 대응하는 행렬을 생각하면, 선형 변환의 합과 상수곱은 그 행렬의 합과 상수곱에 해당함을 증명해보자.

 

$V$ 와 $W$ 를 체 $F$ 위의 유한 차원 벡터 공간이라 하고, 각각 $\beta$ 와 $\gamma$ 를 순서 기저로 갖는다 하자.      $T, U : V \rightarrow W$ 를 선형 변환이라고 하고 $a\in F$ 이면, 아래의 두 명제는 참이다.      1. $[T+U]_\beta^\gamma = [T]_\beta^\gamma + [U]_\beta^\gamma$      2. $[aT]_\beta^\gamma = a[T]_\beta^\gamma$

 

Proof

 

$\beta = \{v_1, v_2, \cdots, v_n \}$, $\gamma = \{w_1, w_2, \cdots, w_m\}$ 이라 하자. 그렇다면 유일한 $a_{ij}, b_{ij} \in F$ $(1 \leq i \leq m, 1\leq j \leq n)$ 이 존재하여 $$T(v_j) = \sum_{i=1}^{m} a_{ij} w_i \\ U(v_j) = \sum_{i=1}^{m} b_{ij} w_i$$ 로 쓸 수 있다. 이 때 $$(T + U)(v_j) = \sum_{i=1}^{m} (a_{ij} + b_{ij} ) w_i$$ 이 성립하므로, $$([T + U]_\beta^\gamma)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = ([T]_\beta^\gamma + [U]_\beta^\gamma)_{ij}$$ 가 성립한다. 상수배에 대해서도 유사한 방법으로 쉽게 증명할 수 있다.

 

즉, 우리는 행렬이라는 객체의 덧셈과 상수곱을 위와 같이 정의할 수 있다.