선형대수학 그 열여섯 번째 이야기 | 행렬곱의 성질

행렬곱의 성질을 이야기하기 전에, 한 가지 유용한 기호의 정의를 하나 하겠다.

 

$\delta_{ij}$ 를 크로네커 델타라고 하고, 아래와 같이 정의한다. $$\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{when} \;\;i=j\\ 0 & \text{when}\;\; i \neq j\end{cases}$$

 

위를 이용하여 우리는 Identity matrix $I_n$ 을 $$(I_n)_{ij} = \delta_{ij}$$ 로 정의할 수 있다.

 

이제 본격적으로 행렬곱의 성질을 증명하자.

$A$ 가 $m \times n$, $B, C$ 가 $n \times p$, $D, E$가 $q \times m$ 행렬일 때 다음 네 가지 명제는 참이다.      1. $A(B+C) = AB + AC$ 이고 $(D + E)A = DA + EA$ 이다.      2. $a(AB) = (aA)B = A(aB)$ 가 모든 $a \in F$ 에 대해 성립한다.      3. $I_m A = A = AI_n$      4. $V$ 가 순서기저 $\beta$ 를 가지는 벡터 공간이라면, $[I_V]_\beta = I_n$

 

Proof

증명을 위해, 양 변의 $i$ 행 $j$ 열 원소가 항상 같음을 보이자.

 

1. 행렬곱의 정의에 의해 $$\begin{align*} [A(B + C)]_{ij} &= \sum_{k=1}^{n} A_{ik} (B + C)_{kj} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} (B_{kj} + C_{kj}) \\ &= \sum_{k=1}^{n} (A_{ik} B_{kj} + A_{ik} C_{kj} ) = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj} + \sum_{k=1}^{n} A_{ik} C_{kj} \\ &= (AB)_{ij} + (AC)_{ij} = [AB + AC]_{ij} \end{align*}$$ 이므로 $A(B+C) = AB + AC$

 

2. 행렬곱의 정의에 의해 $$\begin{align*} (a(AB))_{ij} &= a \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj} \\&= \sum_{k=1}^{n} (aA_{ik}) B_{kj} = ((aA)B)_{ij} \\ &= \sum_{k=1}^{n} A_{ik} (a B_{kj}) = (A(aB))_{ij}\end{align*}$$ 이므로 $a(AB) = (aA)B = A(aB)$

 

3. 행렬곱의 정의에 의해 $$(I_m A)_{ij}=\sum_{k=1}^{m} (I_m)_{ik} A_{kj} = \sum_{k=1}^{m} \delta_{ik} A_{kj} = A_{ij}$$ 이고 $$ (A I_n)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} (I_n)_{kj} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \delta_{kj} = A_{ij}$$ 이므로 $I_m A = A = A I_n$

 

4. 선형 변환의 행렬 표현의 정의에서, $[I_V(v_i)]_\alpha = e_i$ 이기 때문에 자명하다. 이 때 $v_i$ 는 $\beta$ 의 $i$ 번째 벡터이고, $e_i$ 는 $i$ 번째 원소만 $1$ 이고 나머지는 모두 $0$ 인 $n \times 1$ 행렬이다.

위와 같은 $e_i$ 는 자주 쓰이기 때문에, $i$-th standard vector 라는 이름으로 기억하자. 

 

행렬의 곱셈이 정의되므로, 행렬의 거듭제곱 또한 정의할 수 있다.

 

$n \times n$ 행렬 $A$ 와 자연수 $k$ 에 대해, $A^k = A^{k-1} A$, $A^0 = I_n$ 으로 귀납적으로 정의된다.

 

이는 나중에 다루기로 하고, 이 글의 마지막으로 행렬의 열 사이의 관계에 대해 알아보자.

 

$A$ 를 $m \times n$ 행렬으로, $B$ 를 $n \times p$ 행렬으로 정의하자. 이 때,      어떤 $j$ 에 대해 $u_j$ 와 $v_j$ 를 각각 $AB$ 와 $B$ 의 $j$ 번째 열이라고 하면 아래 명제가 참이다.      1. $u_j = Av_j$      2. $v_j = Be_j$ 단, $e_j$ 는 $j$-th standard vector

 

Proof

 

1. $AB$ 의 $j$ 번째 열을 생각하면, $$u_j = \begin{bmatrix} (AB)_{1j} \\ (AB)_{2j} \\ \vdots \\ (AB)_{mj} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum_{k=1}^{n} A_{1k} B_{kj} \\ \sum_{k=1}^{n} A_{2k} B_{kj} \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{n} A_{mk} B_{kj} \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} B_{1j} \\ B_{2j} \\ \vdots \\ B_{nj} \end{bmatrix} = Av_j$$ 이므로 성립한다.

 

2. $j$-th standard vector 의 정의에 의해, $$(Be_j )_i = \sum_{k=1}^{n} B_{ik} (e_j)_i = B_{ij}$$ 이므로, $Be_j$ 는 $B$ 의 $j$ 번째 열이 된다.

 

 

위의 정리를 선형 변환처럼 생각해보면, 아래의 정리를 얻을 수 있다.

 

체 $F$ 위의 $V$ 와 $W$ 가 $\beta$ 와 $\gamma$ 를 순서 기저로 갖는 벡터 공간이라고 하자.      또한, $T : V\rightarrow W$ 가 선형이라고 하면, 모든 $u\in V$ 에 대해 다음이 참이다. $$[T(u)]_\gamma = [T]_\beta ^\gamma [u]_\beta$$

 

Proof

 

$u \in V$ 를 고정하고, 선형 변환 $f : F\rightarrow V$ 를 임의의 $a \in F$ 에 대해 $f(a) = au$ 처럼 정의하자. 또, $g : F \rightarrow W$ 를 $g(a) = a T(u)$ 처럼 정의하자. 이때, $\alpha = \{1\}$ 이라 하면, 이는 $F$ 의 기저가 됨을 알 수 있다. 따라서 $F$ 의 순서 기저를 $\alpha$ 로 잡으면 이 글의 마지막 정리에 의해 $$[T(u)]_\gamma = [g(1)]_\gamma = [g]_\alpha^\gamma = [Tf]_\alpha^\gamma = [T]_\beta^\gamma = [f]_\alpha^\beta = [T]_\beta^\gamma [f(1)]_\beta = [T]_\beta^\gamma [u]_\beta$$ 가 성립한다.