선형대수학, 그 열일곱 번째 이야기 | 행렬곱의 성질(2)

행렬곱의 성질 두 번째 글에서는 왼쪽 곱하기 함수(Left-multiplication function) 라는 것을 정의하고, 이를 통해 행렬곱의 성질을 알아볼 것이다.

 

$A$ 가 $m\times n$ 행렬이라고 하고, 각 원소가 체 $F$ 의 원소라고 하자.      이 때 $L_A : F^n \rightarrow F^m$ 를 왼쪽 곱하기 함수라고 하며 다음처럼 정의한다. $$L_A(x) = Ax$$

 

위처럼 정의된 왼쪽 곱하기 함수가 선형임의 증명은 독자에게 맡긴다.

이 글에서는 왼쪽 곱하기 함수가 가지는 다음의 성질들을 증명하겠다.

 

$A, B$ 가 $m \times n$ 행렬이다. $L_A$ 와 $L_B$ 에 대해 $F^n$ 과 $F^m$ 의 순서 기저를 각각      $\beta = \{e_1, e_2, \cdots, e_n \}$ 와 $\gamma = \{ e_1, e_2, \cdots, e_m \}$ 으로 잡자. (표준순서기저라고 하자)      $A$ 와 $B$ 의 원소가 모두 $F$ 의 원소라면 다음의 명제들은 모두 참이다.      1. $[L_A]_\beta^\gamma = A$      2. $L_A = L_B \Leftrightarrow A=B$      3. $L_{A+B} = L_A+L_B$ 이고 $\forall a \in F,\;L_{aA}=aL_A$ 이다.      4. $T : F^n \rightarrow F^m$ 가 선형이면, $C = [T]_\beta^\gamma$ 에 대해 $T = L_C$ 이다.      5. $E$ 가 $n\times p$ 행렬일 때, $L_{AE} = L_A L_E$ 이다.      6. $m = n$ 이면, $L_{I_n} = I_{F^n}$ 이다.

 

Proof

 

1. $[L_A]_\beta^\gamma$ 의 $j$ 번째 열은 $L_A(e_j)$ 인데, $L_A(e_j) = Ae_j$ 이므로 $A$ 의 $j$ 번째 열과 같다. 따라서 $[L_A]_\beta^\gamma = A$

 

2. $L_A = L_B$ 이면 $A = [L_A]_\beta^\gamma = [L_B]_\beta^\gamma = B$ 이므로 $A = B$ 이다. 이것의 역은 자명하다.

3. 임의의 $v \in F^n$ 에 대해 $$L_{A +B}(v) = (A + B)v = Av + Bv = L_A (v) + L_B(v) = (L_A + L_B)(v)$$ 이고 $$L_{aA}(v) = aA(v) = aL_A(v)$$ 가 성립하므로 $L_{A+B}=L_A + L_B$ 이고 $L_{aA} = aL_A$ 이다.

 

4. $C = [T]_\beta^\gamma$ 라 하자. 이 때, $[T(x)]_\gamma = [T]_\beta^\gamma [x]_\beta$ 가 이 글의 마지막 정리에 의해 성립하므로 $T(x) = Cx = L_C(x)$ 가 성립한다. 따라서 $T = L_C$ 이다.

 

5. $(AE)e_j = A(Ee_j)$ 는 $AE$ 의 $j$ 번째 열이다. 따라서 $$L_{AE}(e_j) = (AE)e_j = A(Ee_j) = L_A(Ee_j) = L_A(L_E(e_j))$$ 가 성립하여 $L_{AE} = L_A L_E$ 이다.

 

6. 임의의 $v \in F^n$ 에 대해, $L_{I_n} (v) = I_n(v) = v = I_{F^n}(v)$ 이므로 $L_{I_n} = I_{F^n}$ 이다.

 

 

위의 정리로부터, 우리는 다음 정리를 쉽게 보일 수 있다.

 

$A, B, C$ 는 모두 행렬이고, $A(BC)$ 가 잘 정의된다고 하자. 이 때 다음이 성립한다.$$(AB)C = (AB)C$$

 

위 정리는, 세 개 이상의 행렬을 곱할 때 순서와 무관함을 의미하므로 $ABC$ 라는 표기가 잘 정의되었음을 의미한다.

 

Proof

$$L_{A(BC)} = L_A L_{BC} = L_A (L_B L_C) = (L_A L_B) L_C = L_{AB} L_C = L_{(AB)C}$$ 이므로 참이다.