선형대수학, 그 열아홉 번째 이야기 | Isomorphism

Isomorphism 이란, 어떤 특수한 선형 변환의 존재성에 대한 개념이다.

 

$V$ 와 $W$ 가 벡터 공간이라고 하자. 이 때 invertible 한 $T:V\to W$ 가 존재하면      $V$ 와 $W$ 는 isomorphic 하다고 하고, $T$ 를 isomorphism 이라 한다.

 

Isomorphic 한 두 벡터 공간은 다음의 성질이 성립한다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이라면      $V$ 와 $W$ 는 isomorphic 하다 $\iff$ $\dim (V)=\dim (W)$

 

Proof

 

이 글에서 $T:V\to W$ 가 선형이고 invertible 하면, 즉 isomorphism 이면 $\dim (V)=\dim (W)$ 임은 보였다.

 

이제 $\dim (V)=\dim (W)$ 라 가정하자. $\beta =\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$ 와 $\gamma =\{w_1,w_2,\cdots ,w_n\}$ 을 각각 $V$ 와 $W$ 의 기저라 하면, 어떤 선형 변환 $T:V\to W$ 가 존재하여 $T(v_i)=w_i$ 가 모든 $i=1,2,\cdots ,n$ 에 대해 성립한다. 이 때, $$R(T)=\mathrm{span}(T(\beta ))=\mathrm{span}(\gamma )=W$$ 임이 이 글의 마지막 정리에서 보장되므로 $T$ 는 onto 이다. 이 글에서 $\dim (V)=\dim (V)$ 일 때 $T$ 가 onto 이면 one-to-one 임을 보였으므로 $T$ 는 isomorphism 이 된다.

 

 

위 정리의 따름정리로, 아래 명제를 생각할 수 있다.

 

$V$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이라 하자.      $V$ 와 $F^n$ 이 isomorphic 하다 $\iff$ $\dim (V)=n$

 

증명은 위 정리에 대입하는 것으로 충분하므로 생략한다.

 

이제 구체적인 isomorphism 을 찾는 정리에 대해 알아보자.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이고, 각각 차원이 $n$ 와 $m$ 이라 하자.      $\beta$ 와 $\gamma$ 가 각각 $V$ 와 $W$ 의 순서 기저라고 할 때      $\mathrm{\Phi }:\mathcal{L}(V,W)\to M_{m\times n}(F)$ 는 $\mathrm{\Phi }(T)=[T{]}_{\beta }^{\gamma }$ 라 할때 isomorphism 이다.

 

이 때, $M_{m\times n}(F)$ 는 $F$ 의 원소로 이루어진 $m\times n$ 행렬이고, 다시 상기하자면 $\mathcal{L}(V,W)$ 는 $V\to W$ 인 모든 선형 변환의 집합이다.

 

Proof

 

이 글의 마지막 정리를 보면, 자명하게 $\mathrm{\Phi }$ 가 선형임을 알 수 있다. 이제 $\mathrm{\Phi }$ 가 one-to-one 이고, onto 임을 보이자. 이를 보이기 위해서는 모든 $m\times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $\mathrm{\Phi }(T)=A$ 인 $T:V\to W$ 가 유일하게 존재함을 보이면 충분하다. $\beta =\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\},\gamma =\{w_1,w_2,\cdots ,w_m\}$ 이고, $A$ 를 임의의 $m\times n$ 행렬이라 하자. 이 글의 마지막 정리에 의해 어떤 $T:V\to W$ 가 유일하게 존재하여 $$T(v_j)=\sum _{i=1}^m{A}_{ij}{w}_i$$ 를 만족한다. 이는 곧 $\mathrm{\Phi }(T)=[T{]}_{\beta }^{\gamma }=A$ 임을 의미하므로 $\mathrm{\Phi }$ 는 isomorphism 이다.

 

위 정리의 따름정리로, 다음을 얻는다.

 

$V$ 와 $W$ 가 각각 $n$, $m$ 차원의 벡터 공간이라고 하자.      $\mathcal{L}(V,W)$ 는 $mn$ 차원이다.

 

증명은 위 정리에서 isomorphic 한 두 벡터 공간의 차원이 같은 것을 이용하는 것으로 충분하다. $M_{m\times n}(F)$ 의 차원이 $mn$ 임을 상기하자.

 

 

위 정리를 통해 다음의 정의를 떠올릴 수 있다.

 

$V$ 가 $\beta$ 를 순서 기저로 가지는 체 $F$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이라 하자.      이 때, $V$ 의 $\beta$ 에 대한 표준 표현(standard representation)은 모든 $x\in V$ 에 대해      ${\varphi }_{\beta }:V\to F^n$ 을 ${\varphi }_{\beta }(x)=[x{]}_{\beta }$ 로 정의한 것이다.

 

위의 정의를 보면 자연스럽게 아래의 의문을 가질 수 있다.

 

모든 $n$ 차원 벡터 공간 $V$ 와 그 순서기저 $\beta$ 에 대하여      ${\varphi }_{\beta }$ 는 $V$ 와 $F^n$ 사이의 isomorphism 이다.

 

Proof

 

우선 one-to-one 임을 보이기 위해 이 글의 첫 번째 정리를 사용하자. 만약 어떤 $x\in V$ 에 대해 $\varphi (x)=0_{F^n}$ 이라면, $$[x{]}_{\beta }=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$$ 여야 하므로, $\beta =\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$ 에 대해 $$x=\sum _{k=1}^{n}0v_k=0$$ 이 되어, $N(\varphi )=\{0\}$ 이므로 $\varphi$ 는 one-to-one 이다.

 

그런데 $V$ 와 $F^n$ 은 같은 차원이므로, 이 글의 두 번째 정리에 의해 $\varphi$ 가 one-to-one 임과 onto 임이 동치이다. 따라서 $\varphi$ 는 one-to-one 이고 onto 이므로 isomorphism 이다.

 

 

위의 정리로부터, 우리는 네 개의 벡터 공간 $V$, $W$, $F^n$, $F^m$ 에 대해 생각해볼 수 있다.

이 때, $V$ 와 $W$ 는 체 $F$ 위에 정의된 $n$, $m$ 차원 벡터 공간이고, 각각 $\beta$ 와 $\gamma$ 를 순서 기저로 가진다.

 

$V$ 에서 $F^n$ 으로 가는 변환을 우리는 방금 ${\varphi }_{\beta }$ 로 정의했다. 마찬가지로 $W$ 에서 $F^m$ 으로 가는 변환 또한 ${\varphi }_{\gamma }$ 가 된다.

 

그리고 $V$ 와 $W$ 사이에서 선형 변환 $T$ 를 생각할 수 있으며, $F^n$ 와 $F^m$ 사이에서는 선형 변환 $L_A$ 가 있어 이 글에 의해 $A=[T{]}_{\beta }^{\gamma }$ 임을 알 수 있다. 그렇다면 $V$ 에서 $F^m$ 으로 가는 변환은 어떨까?

 

1. $V$ 에서 $F^n$ 으로 간 뒤에, $F^n$ 에서 $F^m$ 으로 간다.

2. $V$ 에서 $W$ 로 간 뒤에, $W$ 에서 $F^m$ 으로 간다.

의 두 가지 방법을 생각해볼 수 있다. 1번을 의미하는 변환은 $L_A{\varphi }_{\beta }$ 가 될 것이고, 2번을 의미하는 변환은 ${\varphi }_{\gamma }T$ 가 된다. 여기서 이 글의 마지막 정리를 생각해보면, $${\varphi }_{\gamma }Tx=[T(x){]}_{\gamma }=[T{]}_{\beta }^{\gamma }[x{]}_{\beta }=L_A{\varphi }_{\beta }x$$ 이므로, $L_A{\varphi }_{\beta }={\varphi }_{\gamma }T$ 이다.

 

이 때 우리는 다음의 다이어그램이 commute 하다고 부른다.

Commute 한 Diagram 이다.

 

이 말은 곧 변환의 순서를 바꾸어도 상관이 없다는 뜻이고, 여기에서 우리는 직관적으로 $V$ 와 $W$ 에서의 관계가 $\varphi$ 를 통해 $F^n$ 와 $F^m$ 의 관계로 바뀔 수 있으리라고 생각할 수 있다.

 

이는 추상적이었던 "벡터 공간" 이라는 $V$ 와 $W$ 에서의 개념을 구체적인 "행렬" 에 대응시켜 생각하는 것이 타당함을 우리에게 직관적으로 이해할 수 있게 한다.