선형대수학, 그 열아홉 번째 이야기 | Isomorphism

Isomorphism 이란, 어떤 특수한 선형 변환의 존재성에 대한 개념이다.

 

$V$ 와 $W$ 가 벡터 공간이라고 하자. 이 때 invertible 한 $T : V \rightarrow W$ 가 존재하면      $V$ 와 $W$ 는 isomorphic 하다고 하고, $T$ 를 isomorphism 이라 한다.

 

Isomorphic 한 두 벡터 공간은 다음의 성질이 성립한다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이라면      $V$ 와 $W$ 는 isomorphic 하다 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(W)$

 

Proof

 

이 글에서 $T : V \rightarrow W$ 가 선형이고 invertible 하면, 즉 isomorphism 이면 $\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(W)$ 임은 보였다.

 

이제 $\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(W)$ 라 가정하자. $\beta = \{v_1, v_2, \cdots, v_n \}$ 와 $\gamma = \{w_1, w_2, \cdots, w_n\}$ 을 각각 $V$ 와 $W$ 의 기저라 하면, 어떤 선형 변환 $T : V \rightarrow W$ 가 존재하여 $T(v_i) = w_i$ 가 모든 $i = 1, 2, \cdots, n$ 에 대해 성립한다. 이 때, $$R(T) = \mathrm{span}(T(\beta)) = \mathrm{span}(\gamma) = W$$ 임이 이 글의 마지막 정리에서 보장되므로 $T$ 는 onto 이다. 이 글에서 $\mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(V)$ 일 때 $T$ 가 onto 이면 one-to-one 임을 보였으므로 $T$ 는 isomorphism 이 된다.

 

 

위 정리의 따름정리로, 아래 명제를 생각할 수 있다.

 

$V$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이라 하자.      $V$ 와 $F^n$ 이 isomorphic 하다 $\Leftrightarrow$ $\mathrm{dim}(V) = n$

 

증명은 위 정리에 대입하는 것으로 충분하므로 생략한다.

 

이제 구체적인 isomorphism 을 찾는 정리에 대해 알아보자.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이고, 각각 차원이 $n$ 와 $m$ 이라 하자.      $\beta$ 와 $\gamma$ 가 각각 $V$ 와 $W$ 의 순서 기저라고 할 때      $\Phi : \mathcal{L}(V, W) \rightarrow M_{m\times n} (F)$ 는 $\Phi(T) = [T]_\beta^\gamma$ 라 할때 isomorphism 이다.

 

이 때, $M_{m \times n} (F)$ 는 $F$ 의 원소로 이루어진 $m \times n$ 행렬이고, 다시 상기하자면 $\mathcal{L}(V, W)$ 는 $V \rightarrow W$ 인 모든 선형 변환의 집합이다.

 

Proof

 

이 글의 마지막 정리를 보면, 자명하게 $\Phi$ 가 선형임을 알 수 있다. 이제 $\Phi$ 가 one-to-one 이고, onto 임을 보이자. 이를 보이기 위해서는 모든 $m \times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $\Phi(T) = A$ 인 $T : V \rightarrow W$ 가 유일하게 존재함을 보이면 충분하다. $\beta = \{v_1, v_2, \cdots, v_n \}, \gamma = \{w_1, w_2, \cdots, w_m \}$ 이고, $A$ 를 임의의 $m \times n$ 행렬이라 하자. 이 글의 마지막 정리에 의해 어떤 $T : V \rightarrow W$ 가 유일하게 존재하여 $$T(v_j) = \sum_{i=1}^{m} A_{ij}w_i$$ 를 만족한다. 이는 곧 $\Phi(T) = [T]_\beta^\gamma = A$ 임을 의미하므로 $\Phi$ 는 isomorphism 이다.

 

위 정리의 따름정리로, 다음을 얻는다.

 

$V$ 와 $W$ 가 각각 $n$, $m$ 차원의 벡터 공간이라고 하자.      $\mathcal{L}(V, W)$ 는 $mn$ 차원이다.

 

증명은 위 정리에서 isomorphic 한 두 벡터 공간의 차원이 같은 것을 이용하는 것으로 충분하다. $M_{m \times n}(F)$ 의 차원이 $mn$ 임을 상기하자.

 

 

위 정리를 통해 다음의 정의를 떠올릴 수 있다.

 

$V$ 가 $\beta$ 를 순서 기저로 가지는 체 $F$ 위의 $n$ 차원 벡터 공간이라 하자.      이 때, $V$ 의 $\beta$ 에 대한 표준 표현(standard representation)은 모든 $x \in V$ 에 대해      $\phi_\beta : V \rightarrow F^n$ 을 $\phi_\beta (x) = [x]_\beta$ 로 정의한 것이다.

 

위의 정의를 보면 자연스럽게 아래의 의문을 가질 수 있다.

 

모든 $n$ 차원 벡터 공간 $V$ 와 그 순서기저 $\beta$ 에 대하여      $\phi_\beta$ 는 $V$ 와 $F^n$ 사이의 isomorphism 이다.

 

Proof

 

우선 one-to-one 임을 보이기 위해 이 글의 첫 번째 정리를 사용하자. 만약 어떤 $x \in V$ 에 대해 $\phi(x) = 0_{F^n}$ 이라면, $$[x]_\beta = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$ 여야 하므로, $\beta = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ 에 대해 $$x = \sum_{k=1}^{n} 0v_k = 0$$ 이 되어, $N(\phi) = \{0\}$ 이므로 $\phi$ 는 one-to-one 이다.

 

그런데 $V$ 와 $F^n$ 은 같은 차원이므로, 이 글의 두 번째 정리에 의해 $\phi$ 가 one-to-one 임과 onto 임이 동치이다. 따라서 $\phi$ 는 one-to-one 이고 onto 이므로 isomorphism 이다.

 

 

위의 정리로부터, 우리는 네 개의 벡터 공간 $V$, $W$, $F^n$, $F^m$ 에 대해 생각해볼 수 있다.

이 때, $V$ 와 $W$ 는 체 $F$ 위에 정의된 $n$, $m$ 차원 벡터 공간이고, 각각 $\beta$ 와 $\gamma$ 를 순서 기저로 가진다.

 

$V$ 에서 $F^n$ 으로 가는 변환을 우리는 방금 $\phi_\beta$ 로 정의했다. 마찬가지로 $W$ 에서 $F^m$ 으로 가는 변환 또한 $\phi_\gamma$ 가 된다.

 

그리고 $V$ 와 $W$ 사이에서 선형 변환 $T$ 를 생각할 수 있으며, $F^n$ 와 $F^m$ 사이에서는 선형 변환 $L_A$ 가 있어 이 글에 의해 $A = [T]_\beta^\gamma$ 임을 알 수 있다. 그렇다면 $V$ 에서 $F^m$ 으로 가는 변환은 어떨까?

 

1. $V$ 에서 $F^n$ 으로 간 뒤에, $F^n$ 에서 $F^m$ 으로 간다.

2. $V$ 에서 $W$ 로 간 뒤에, $W$ 에서 $F^m$ 으로 간다.

의 두 가지 방법을 생각해볼 수 있다. 1번을 의미하는 변환은 $L_A \phi_\beta$ 가 될 것이고, 2번을 의미하는 변환은 $\phi_\gamma T$ 가 된다. 여기서 이 글의 마지막 정리를 생각해보면, $$\phi_\gamma Tx = [T(x)]_\gamma = [T]_\beta^\gamma [x]_\beta = L_A \phi_\beta x$$ 이므로, $L_A \phi_\beta = \phi_\gamma T$ 이다.

 

이 때 우리는 다음의 다이어그램이 commute 하다고 부른다.

Commute 한 Diagram 이다.

 

이 말은 곧 변환의 순서를 바꾸어도 상관이 없다는 뜻이고, 여기에서 우리는 직관적으로 $V$ 와 $W$ 에서의 관계가 $\phi$ 를 통해 $F^n$ 와 $F^m$ 의 관계로 바뀔 수 있으리라고 생각할 수 있다.

 

이는 추상적이었던 "벡터 공간" 이라는 $V$ 와 $W$ 에서의 개념을 구체적인 "행렬" 에 대응시켜 생각하는 것이 타당함을 우리에게 직관적으로 이해할 수 있게 한다.