선형대수학, 그 스무 번째 이야기 | 기저 변환과 닮음 행렬 ( Change of Basis & Similar Matrix )

벡터 공간 하나에는 여러 개의 기저가 존재할 수 있다. 그렇기에 하나의 벡터라도 어떤 순서 기저를 잡느냐에 따라 그 표현이 달라진다. 이 글에서는 그 표현 사이에 어떤 관계가 존재하는지 알아보려 한다. 다음 정리를 보자.

 

Theorem 1.

$V$ 가 $\beta$ 와 ${\beta }^{\prime }$ 를 순서 기저로 갖는다고 하자. 또, $Q=[I_V{]}_{{\beta }^{\prime }}^{\beta }$ 로 정의하자. 이 때      1. $Q$ 는 invertible 하다.      2. $\mathrm{\forall }v\in V,[v{]}_{\beta }=Q[v{]}_{{\beta }^{\prime }}$

 

Proof

 

$I_V$ 는 자명하게 invertible 하므로, 이 글의 마지막 정리에 의해 $Q$ 는 invertible 하다.

 

또, 다음의 식이 이 글의 마지막 정리에 의해 성립한다. $$[v{]}_{\beta }=[I_V(v){]}_{\beta }=[I_V{]}_{{\beta }^{\prime }}^{\beta }[v{]}_{{\beta }^{\prime }}=Q[v{]}_{\beta }^{\prime }$$ 

 

 

이 때, $Q=[I_V{]}_{{\beta }^{\prime }}^{\beta }$ 를 change of coordinate matrix. 즉 좌표변환 행렬이라고 부른다. 위 정리의 2번을 토대로 $Q$ 를 ${\beta }^{\prime }$ 좌표를 $\beta$ 좌표로 바꾸는 행렬이라 부르기도 한다.

 

또한 $\beta =\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$, ${\beta }^{\prime }\{x_1^{\prime },x_2^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime }\}$ 이라 하면, $$x_j^{\prime }=\sum _{i=1}^n{Q}_{ij}{x}_i$$ 가 성립함을 확인할 수 있다. 또한, 위 정리의 2번을 증명하는 것과 마찬가지 방법으로 $Q^{-1}$ 이 $\beta$ 좌표를 ${\beta }^{\prime }$ 좌표로 바꾸는 행렬임을 증명할 수 있다. 자세한 증명은 독자에게 맡긴다.

$◼$

 

이 글과 앞으로 보게 될 몇몇 글에서, $V$ 에서 $V$ 로 가는 선형 변환을 자주 보게 될 것이다. 이러한 선형 변환을 우리는 $V$ 위의 선형 연산자(Linear Operator)라고 부른다. 벡터의 행렬 표현뿐만 아니라 선형 연산자의 서로 다른 기저에 대한 행렬 표현 사이의 관계를 알아보자.

 

Theorem 2.

$T$ 를 $V$ 위의 선형 연산자라고 하고, $\beta$ 와 ${\beta }^{\prime }$ 을 $V$ 의 순서 기저라고 하자.      $Q$ 가 ${\beta }^{\prime }$ 좌표를 $\beta$ 좌표로 바꾸는 행렬이라면, 다음의 식이 성립한다. $$[T{]}_{{\beta }^{\prime }}=Q^{-1}[T{]}_{\beta }Q$$

 

Proof

 

다음의 식을 보면 증명된다. $$Q[T{]}_{{\beta }^{\prime }}=[I_V{]}_{{\beta }^{\prime }}^{\beta }[T{]}_{{\beta }^{\prime }}^{{\beta }^{\prime }}=[I_{V}T{]}_{{\beta }^{\prime }}^{\beta }=[T{]}_{\beta }^{\beta }[I_V{]}_{{\beta }^{\prime }}^{\beta }=[T{]}_{\beta }Q$$

$◼$

 

위 정리의 따름정리로, 다음과 같은 정리를 생각해볼 수 있다.

 

Corollary 2.1.

$A$ 가 $M_{n\times n}(F)$ 의 원소라고 하고, $\gamma$ 가 $F^n$ 의 순서 기저라고 하자.      $Q$ 를 $j$ 번째 열이 $\gamma$ 의 $j$ 번째 벡터인 $n\times n$ 행렬이라고 하면, 다음이 성립한다. $$[L_A{]}_{\gamma }=Q^{-1}AQ$$

 

위 정리의 증명은 따름정리이니만큼, 그저 대입에 지나지 않으므로 생략한다.

 

그리고 우리는 위의 정리로부터 닮음(Similar)이라는 두 행렬 간의 관계를 정의한다.

어떤 선형 연산자를 서로 다른 기저로 표현한 두 행렬을 닮았다(Similar)고 부르는 것이다.

 

Definition 1.

$A$ 와 $B$ 가 $M_{n\times n}(F)$ 의 원소라고 하자. $A$ 와 $B$ 가 닮음이기 위한 조건은      어떤 invertible 한 행렬 $Q$ 가 존재하여 $B=Q^{-1}AQ$ 인 것이다.

 

두 행렬 $A$ 와 $B$ 가 닮았을 경우, $A\sim B$ 라고 표기하기도 한다.