선형대수학, 그 열 번째 이야기 | 선형 변환(Linear Transformation)

선형 변환이란 두 벡터 공간 사이를 오가는 말 그대로 변환이다. 이는 앞으로 여러 벡터 공간 사이의 관계를 파악하는데 중요한 역할을 한다.

 

선형 변환은 아래와 같이 정의한다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이라고 하자.      함수 $T:V\to W$ 가 선형변환이려면 모든 $x,y\in V$ 와 $c\in F$ 에 대해      1. $T(x+y)=T(x)+T(y)$      2. $T(cx)=cT(x)$      를 만족해야 한다. 이를 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형변환이라고 부른다.

 

만약 $F$ 가 유리수체라면, 위의 두 조건은 서로 같은 조건이다. 그러나 일반적으로 둘은 완전히 다르다.

$T$ 가 $V$ 에서 $W$ 로 가는 선형 변환일 때, 이를 $T$ 는 선형이라고 말하기도 한다.

 

어떤 특수한 선형 변환은 이름을 따로 붙여가며 자주 언급된다. 그렇기에 여기에서도 두 가지를 소개하겠다.

 

체 $F$ 위의 벡터 공간 $V$ 와 $W$ 에 대해, $I_V$ 와 $T_0$ 는 다음과 같이 정의된다.      $I_V:V\to V$ 이고 $I_V(x)=x$ 가 모든 $x\in V$ 에 대해 성립한다.      $T_0:V\to W$ 이고 $T_0(x)=0$ 이 모든 $x\in V$ 에 대해 성립한다.

 

두 함수가 선형임은 자명하므로 증명은 생략하겠다. 이 때, $I_V$ 를 항등변환(identity transformation) 이라 하고 $T_0$ 를 영변환(zero transformation) 이라고 한다. 또 정의역이 분명한 경우 $I_V$ 대신 $I$ 라고 쓰기도 한다.

 

이제 선형 변환에 관한 두 가지 매우 중요한 집합에 대해 정의하자.

 

$V$ 와 $W$ 가 벡터 공간이고, $T:V\to W$ 가 선형 변환이라고 하자.      이 때 $T$ 의 null space(혹은 kernal) $N(T)$ 와 range(혹은 image) $R(T)$ 는 다음과 같이 정의한다.      $N(T)=\{x\in V:T(x)=0\}$, $R(T)=\{T(x):x\in V\}$

 

 

이 때, $N(T)$ 와 $R(T)$ 에 대해 다음과 같은 정리가 성립한다.

 

$V$ 와 $W$ 가 $F$ 위의 벡터 공간이고 $T:V\to W$ 가 선형 변환이라고 하자.      $N(T)$ 와 $R(T)$ 는 각각 $V$ 와 $W$ 의 부분 공간이다.

 

Proof

 

우선, $V$ 와 $W$ 의 영벡터를 각각 $0_V$ 와 $0_W$ 로 표기하자.

$$T(0_V+0_V)=T(0_V)=T(0_V)+T(0_V)\Rightarrow T(0_V)=0_W$$ 이므로, $0_V\in N(T)$ 이다.

이제 $x,y\in N(T)$ 와 $c\in F$ 를 생각하자. $$\begin{gathered} T(x+y)=T(x)+T(y)=0_W+0_W=0_W \\ T(cx)=cT(x)=c{0}_W=0_W \end{gathered}$$ 이므로 $x+y\in N(T)$ 이고 $cx\in N(T)$ 이다. 따라서 $N(T)$ 는 $V$ 의 부분 공간이다.

 

또한 $T(0_V)=0_W$ 이므로 $0_W\in R(T)$ 이다. 

이제 $x,y\in R(T)$ 와 $c\in F$ 를 생각하자. $T(v)=x,T(w)=y$ 인 $v,w\in V$ 가 존재하므로 $$\begin{gathered} T(v+w)=T(v)+T(w)=x+y \\ T(cv)=cT(v)=cx \end{gathered}$$ 이므로 $x+y\in R(T)$ 이고 $cx\in R(T)$ 이다. 따라서 $R(T)$ 는 $W$ 의 부분 공간이다.

 

 

두 벡터 공간 사이에 선형 변환이 존재한다면, 그 기저 사이에서도 관계를 찾을 수 있다. 아래의 정리를 보자.

 

$V$ 와 $W$ 가 $F$ 위의 벡터 공간이고, $T:V\to W$ 가 선형이라고 하자.      만약 $\beta =\{v_1,v_2,\cdots ,v_n\}$ 이 $V$ 의 기저라면,       $R(T)=\mathrm{span}(T(\beta ))=\mathrm{span}(\{T(v_1),T(v_2),\cdots ,T(v_n)\})$ 이다.

 

Proof

 

우선 $T(v_i)\in R(T)$ 가 $i=1,2,\cdots ,n$ 에 대해 참임은 정의에 의해 자명하다. $R(T)$ 는 위의 정리에 의해 $W$ 의 부분 공간이므로, $$(\{T(v_1),T(v_2),\cdots ,T(v_n)\})=\mathrm{span}(T(\beta ))\subseteq R(T)$$ 임이 이 글의 첫번째 정리에 의해 보장된다.

 

이제 임의의 $w\in R(T)$ 를 잡자. 정의에 의해 $w=T(v)$ 인 $v\in V$ 가 존재한다. 그런데 $\beta$ 는 $V$ 의 기저이므로 어떤 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in F$ 에 대해 $$v=a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n$$ 이 성립한다. $T$ 는 선형이므로, $$w=T(v)=T(a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_n{v}_n)=a_{1}T(v_1)+a_{2}T(v_2)+\cdots +a_{n}T(v_n)$$ 이다. 이는 $w\in \mathrm{span}(\beta )$ 임을 의미한다.

 

따라서 $R(T)=\mathrm{span}(\beta )=\mathrm{span}(\{T(v_1),T(v_2),\cdots ,T(v_n)\})$ 이다.

 

 

위의 정리에서는, 자연스럽게 $\beta$ 를 유한집합으로 설정하여 $V$ 가 유한 차원 벡터 공간일때만을 다뤘으나, 이는 무한 차원일때도 성립한다. 이를 증명해보자.

 

Proof

 

$\mathrm{span}(\{T(v):v\in \beta \})\subseteq R(T)$ 임은 $R(T)$ 의 정의에 의해 자명하다. 이제 임의의 $y\in R(T)$ 를 잡으면, 어떤 $x\in V$ 에 대해 $T(x)=y$ 가 성립한다. 그런데 $x$ 는 $V$ 의 원소이므로 그 기저에 포함된 유한한 개수의 벡터의 선형결합으로 표시될 수 있다. (무한히 많은 벡터를 기저로 가지더라도 선형 결합은 그 중 유한 개를 선택해서 진행된다) 따라서 $$x=\sum _{i=1}^k{a}_i{v}_i$$ 인 $v_1,v_2,\cdots ,v_k\in \beta$ 와 $a_1,a_2,\cdots ,a_k\in F$ 가 존재한다. 그러므로 $$y=T(x)=T(\sum _{i=1}^k{a}_i{v}_i)=\sum _{i=1}^k{a}_{i}T(v_i)$$ 가 되어, $y\in \mathrm{span}(\{T(v):v\in \beta \})$ 가 된다. 따라서 $R(T)=\mathrm{span}(T(\beta ))$ 이다.