선형대수학, 그 일곱 번째 이야기 | Replacement Theorem

한국어로는 기저 대체 정리라고 번역할 수 있다. 상당히 많은 정리의 증명에서 사용되고 있으므로 별도로 포스팅한다.

 

어떤 벡터 공간 $V$ 가 $n$ 개의 벡터를 원소로 가지는 집합 $G$ 로 $\mathrm{span}$ 된다고 하자.      이 때 선형 독립인 $m$ 개의 원소를 가지는 $L \subseteq V$ 가 존재하면, $m \leq n$ 이 참이고      $n - m$ 개의 원소를 가지는 어떤 집합 $H \subseteq G$ 가 존재하여, $V = \mathrm{span}(L\cup H)$ 가 성립한다.

 

Proof

 

증명을 위해 $m$ 에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. 만약 $m = 0$ 이라면, $L = \varnothing$ 이므로 $H = G$ 라고 하면 $V = \mathrm{span}(L \cup H)$ 가 된다.

 

이제 주어진 정리가 음이 아닌 정수 $m$ 에 대해 성립함을 가정하고, $m + 1$ 일 때를 살펴보자. 이 때 $L = \{v_1, v_2, \cdots v_{m+1}\}$ 이라고 할 수 있고, 정리의 조건에 의해 $L$ 이 선형 독립임을 기억하자.

 

이 때, $L$ 이 선형 독립이므로 $\{v_1, v_2, \cdots, v_m\}$ 이 선형 독립임이 이 글의 두 번째 정리에 의해 보장된다. 따라서 귀납 가정에 의해 $G$ 의 부분집합 $\{u_1, u_2, \cdots, u_{n-m}\}$ 이 존재하여 $$V = \mathrm{span}(\{v_1, v_2, \cdots, v_m\} \cup \{u_1, u_2, \cdots, u_{n-m}\})$$ 이 성립한다. 이는 곧 $a_1, a_2, \cdots, a_m, b_1, b_2, \cdots, b_{n-m}$ 이 존재하여 $$a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_m v_m + b_1 u_1 + b_2 u_2 + \cdots + b_{n-m} u_{n-m} = v_{m+1}$$ 이 성립한다는 뜻이다.

 

그런데 $L$ 은 선형 독립인 집합이므로, $n - m = 0$ 일 경우 $v_{m+1}$ 이 $v_1, v_2, \cdots, v_m$ 의 선형결합이 되어 모순이다. 따라서 $n - m > 0$ 이어야 한다. 그런데 $n, m$ 은 벡터의 개수이므로, $n \geq m + 1$ 이 참이다.

 

또한, 위의 식에서 $b_1 = b_2 = \cdots = b_{n-m} = 0$ 일 수는 없으므로, 일반성을 잃지 않고 $b_1 \neq 0$ 이라 하자.

그렇다면 우리는 $u_1$ 을 아래와 같이 쓸 수 있다. $$u_1 = (-{b_1}^{-1} a_1)v_1 + (-{b_1}^{-1} a_1)v_2 + \cdots (-{b_1}^{-1} a_m)v_m + ({b_1}^{-1})v_{m+1} + \\ (-{b_1}^{-1} b_2)u_2 + \cdots + (-{b_1}^{-1}b_{n-m})u_{n-m}$$

 

이제, $H = \{u_2, \cdots, u_{n-m}\}$ 으로 정의하자. 그렇다면 위의 식에 의해 $u_1 \in \mathrm{span}(L \cup H)$ 이 성립한다. 따라서, $$\{v_1, v_2, \cdots, v_m, u_1, u_2, \cdots, u_{n-m}\} \subseteq \mathrm{span}(L \cup H)$$ 이다. 그런데 $\{v_1, v_2, \cdots, v_m, u_1, u_2, \cdots, u_{n-m}\}$ 는 $V$ 를 $\mathrm{span}$ 하므로, $\mathrm{span}(L \cup H) = V$ 이다.

이는 이 글의 첫 번째 정리에 의해 보장된다.

 

$H$ 는 $G$ 의 부분집합이고, $(n - m) - 1 = n - (m+1)$ 개의 벡터를 가지므로 수학적 귀납법에 의해, 처음의 명제는 참이다.

 

 

이 정리를 말로 풀어 설명해보자면, $V$ 를 $\mathrm{span}$ 하는 어떤 유한집합 $G$ 가 있으면, $V$ 에서 선형 독립인 벡터를 골라 만든 집합 $L$의 원소의 개수는 $G$ 원소의 개수를 넘을 수 없고, $L$ 에 벡터 몇 개를 더 넣어서 그것이 $V$ 를 $\mathrm{span}$ 하게 만들 수 있다는 뜻이다.

 

또한, Replacement Theorem 의 따름정리로 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다. 

 

유한집합을 기저로 가지는 벡터 공간 $V$ 를 생각하자.      이 때, $V$ 의 어떠한 기저도 서로 같은 개수의 벡터를 갖는다.

 

Proof

 

$V$ 기저 중 $n$ 개의 벡터를 가지는 $\beta$ 를 생각하자. 만약 $V$ 의 다른 기저 $\gamma$ 가 존재하여, $n$ 보다 많은 개수의 벡터를 가진다고 가정하면, $\gamma$ 의 부분집합 중 $n + 1$ 개의 벡터를 가지는 $S$ 가 존재한다. 그런데 $S$ 는 선형 독립인 집합의 부분집합이므로 선형 독립이다. 

 

그런데 Replacement theorem 에 의하면, $n$ 개의 벡터로 $\mathrm{span}$ 된 벡터 공간에는 $n + 1$ 개의 선형 독립인 벡터가 존재하지 않으므로, $S$ 는 존재하지 않아야 해서 모순이다. 따라서, $\gamma$ 는 반드시 $n$ 개 이하의 원소를 가진다.

 

만약 $\gamma$ 가 $n$ 보다 적은 $m$ 개의 벡터를 가진다고 가정하면, $V$ 는 $m$ 개의 벡터를 가지는 기저로 $\mathrm{span}$ 된 벡터 공간이므로, Replacement theorem 에 의해 $V$ 는 $m$ 개보다 많은 선형 독립인 원소를 가질 수 없다. 그러나 $\beta$ 의 원소가 $m$ 개보다 많으므로 이는 모순이다. 

 

따라서 $\gamma$ 는 정확히 $n$ 개의 벡터를 가져야 하고, 이는 곧 모든 기저의 원소 개수가 같음을 보장한다.