선형대수학, 그 여덟 번째 이야기 | 벡터 공간의 차원(Dimension)

바로 앞선 글의 말미에서, 유한 집합을 기저로 가지는 벡터 공간 $V$ 의 모든 기저의 개수는 같음을 증명했다. 이는 우리에게 아주 중요한 정의를 할 수 있도록 돕는다.

 

벡터 공간의 차원은 다음과 같이 정의하고, $\mathrm{dim}(V)$ 라고 쓴다.

 

벡터 공간 $V$ 가 원소가 $n$ 개인 집합을 기저로 가진다면, $V$ 는 $n$ 차원이라고 말한다.      만약 $V$ 가 유한집합을 기저로 가지지 않는다면, $V$ 는 무한차원이라고 말한다.

 

이 때, 특정되지 않은 어떤 벡터 공간이 유한집합을 기저로 가짐을 표현하고 싶을 때, $V$ 는 유한 차원(finite-dimensional)이라고 말한다. 이제 벡터 공간의 차원에 대해 성립하는 몇 가지 정리를 알아보자.

 

유한 차원 벡터 공간 $V$ 와 그 부분공간 $W$ 를 생각하자.      이 때, $W$ 는 유한 차원이고, $\mathrm{dim}(W) \leq \mathrm{dim}(V)$ 이다.      또한 만약 $\mathrm{dim}(W) = \mathrm{dim}(V)$ 라면, $V = W$ 이다.

 

Proof

 

$\mathrm{dim}(V) = n$ 이라 하자. 만약 $W = \{0\}$ 라면, $W$ 는 유한 차원이고 $\mathrm{dim}(W) = 0 \leq n$ 이다. $W \neq \{0\}$ 이라면, $W$ 는 영벡터가 아닌 벡터 $x_1$ 을 원소로 가진다. 여기서 $L = \{x_1\}$ 은 선형 독립인 집합이다.

 

이제, $W$ 에서 계속하여 벡터 $v$ 를 골라 $L \cup \{v\}$ 가 여전히 선형 독립이라면, $v$ 를 $L$ 에 추가하는 작업을 반복하자. 이러한 작업은, $V$ 가 $n$ 개보다 많은 선형 독립인 원소를 가지고 있지 않기 때문에 $L$ 의 원소가 $k \leq n$ 개가 될 때, $L = \{x_1, x_2, \cdots, x_k \}$ 가 될 때 종료된다.

 

이렇게 만들어진 $L$ 은 이 글의 마지막 정리의 증명과정에서 $W$ 의 기저임이 보장된다. 따라서, $W$ 는 유한 차원이고 $\mathrm{dim}(W) \leq \mathrm{dim}(V)$ 이다.

 

그런데 만약 $\mathrm{dim}(W) = n$ 이면, $W$ 의 기저는 $n$ 개의 선형 독립인 $V$ 의 원소의 집합이다. Replacement theorem 에 의해, 이는 곧 $V$ 의 기저가 된다. 따라서 $V$ 와 $W$ 는 같은 기저를 가지므로 $V = W$ 이다.