선형대수학, 그 다섯 번째 이야기 | 선형 독립(Linearly dependent)

선형 독립에 대해 이야기하려면, 우리는 선형 종속에 대해 먼저 알아야 한다. 

 

체 $F$ 위의 벡터공간 $V$ 를 생각하자. 이 때,  유한한 개수의 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_n \in V$ 에 대하여, 어떤 $a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 가 존재하여 $$a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0$$ 을 만족한다면, $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 은 선형 종속(linearly dependent) 라고 한다.

(단, $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$ 은 아니다)

 

$a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$ 을 허용하게 되면, 어떠한 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 을 선정하더라도 이들이 선형 종속이게 된다. 그렇다면 우리는 이후에 알게 될 선형 종속의 좋은 성질들을 사용할 수 없게 되기 때문에, 선형결합의 계수가 모두 0인 경우는 제외한다.

 

 

위의 선형 독립을 알고 있다면, 우리는 그로부터 선형 독립을 정의할 수 있다.

 

벡터공간 $V$ 에 대해, 유한한 개수의 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_n \in V$ 를 생각하자. 만약 $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 이 선형 종속이 아니라면, 이들을 선형 독립(linearly independent)이라고 말한다.

 

또한, 편의를 위해 집합 $S = \{ v_1, v_2, \cdots v_n \} $ 에 대해 선형 독립이나 선형 종속을 이야기하기도 한다. $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 이 선형 독립이라면 $S$ 는 선형 독립이고, $v_1, v_2, \cdots, v_n$ 이 선형 종속이라면 $S$ 는 선형 종속인 것이다.

 

선형 종속에 대해서는 아래의 명제가 참이다.

벡터 공간 $V$ 와 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$ 인 두 부분집합 $S_1, S_2$ 를 생각하자      만약 $S_1$ 이 선형 종속이라면, $S_2$ 는 선형 종속이다.

 

Proof

 

$S_1$ 이 선형 종속이므로, $S_1 = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ 이라고 하면, 어떤 $c_1, c_2, \cdots, c_n \in F$ 가 존재하여 $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$ 이 아니고, $$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n = 0$$ 을 만족한다. 이제 $S_1 \subseteq S_2$ 에 착안하여 $S_2 = \{v_1, v_2, \cdots, v_n, v_{n+1}, v_{n+2}, \cdots, v_m\}$ 을 생각하자. 이 때, $$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_n v_n + 0v_{n+1} + 0v_{n+2} + \cdots + 0v_m = 0$$ 이 성립할 것이다. 또, $S_1$ 이 선형 종속이므로 $c_1, c_2, \cdots c_n$ 중 $0$ 이 아닌 것이 분명히 존재한다. 따라서 $S_2$ 는 선형 종속이다.

 

 

위의 정리로부터, 우리는 아래와 같은 따름정리를 얻을 수 있다.

벡터 공간 $V$ 와 $S_1 \subseteq S_2 \subseteq V$ 인 두 부분집합 $S_1, S_2$ 를 생각하자      만약 $S_2$ 가 선형 독립이라면, $S_1$ 는 선형 독립이다.

 

Proof

 

$S_2$ 가 선형 독립일 때, $S_1$ 이 선형 독립이 아니라고 가정하자. 그렇다면 $S_1$ 이 선형 종속인데, 위의 정리에 의해 $S_1$ 이 선형 종속이면 $S_2$ 도 선형 종속이어야 한다. 이는 $S_2$ 가 선형 독립이라는 조건에 모순이다.

 

따라서 $S_2$ 가 선형 독립이라면 $S_1$ 은 선형 독립이다.

 

 

선형 종속에 관한 정리를 하나 더 소개하면서 이 글을 마치겠다.

 

체 $F$ 위의 벡터 공간 $V$ 와 $V$ 의 선형 독립인 부분집합 $S$ 를 생각하자.      만약 $v \in V$ 가 $S$ 에 포함되지 않는다면, $S \cup \{v\}$ 가 선형 종속임과 $v \in \mathrm{span}(S)$ 는 동치이다.

 

Proof

 

$S \cup \{v\}$ 가 선형 종속이라고 하자. 위의 정리에 의해, $S \cup \{v\}$ 의 부분집합이 선형 종속이라면 $S \cup \{v\}$ 가 선형 종속임을 알고 있으므로, 어떤 $u_1, u_2, \cdots, u_n \in S \cup \{v\}$ 과 $a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 가 존재하여 $$a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n = 0$$ 이다. 그런데 $S$ 는 선형 독립이므로, $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 중 하나는 $v$ 와 같아야 한다. 일반성을 잃지 않고, $u_1 = v$ 라고 하자. 그렇다면 $a_1 \neq 0$ 이어야 한다. 이 때, $$a_1 v + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n = 0$$ 이므로 $$v = {a_1}^{-1}(-a_2 u_2 - \cdots - a_n u_n) = -({a_1}^{-1}a_2) u_2 - \cdots - ({a_1}^{-1}a_n)u_n$$ 가 성립한다. 이는 곧 $v$ 가 $u_2, \cdots, u_n$ 의 선형결합임을 의미하므로, $v \in \mathrm{span}(S)$ 이다.

 

반대로, $v \in \mathrm{span}(S)$ 라 하자. 그렇다면 어떤 $v_1, v_2, \cdots, v_m \in S$ 와 $b_1, b_2, \cdots, b_m \in F$ 가 존재하여 $$v = b_1 v_1 + b_2 v_2 + \cdots + b_m v_m$$ 이다. 따라서 $$b_1 v_1 + b_2 v_2 + \cdots + b_m v_m + (-1)v = 0$$ 이고, $v \neq v_i (i = 1, 2, \cdots, m)$ 이므로, $\{v_1, v_2, \cdots, v_m, v\}$ 가 선형 종속이다. $S \cup \{v\}$ 의 부분집합이 선형 종속이므로 $S \cup \{v\}$ 는 선형 종속이다.