선형대수학, 그 두 번째 이야기 | 벡터 공간의 기본적인 성질

벡터 공간이 반드시 만족하는 8개의 조건으로부터, 우리는 몇 가지 간단한 성질을 보일 수 있다.

 

1. $x, y, z \in V$ 이고, $x + z = y + z$ 이면 $x = y$      2. $\exists ! 0 \in V s.t. \forall x \in V, x + 0 = x$      3. $\forall x \in V, \exists ! y \in V s.t. x + y = 0$

 

Proof 1.

 

벡터 공간의 정의에 의해, $\exists v \in V s.t. z + v = 0$

 

$x = x + 0 = x + (z + v) = (x + z) + v = (y + z) + v = y + (z + v) = y + 0 = y$

 

등식의 시작과 끝을 보면, $x = y$ 가 성립한다.

 

Proof 2.

 

$0$ 이 존재함은 벡터 공간의 정의에 의해 보장되므로, 유일함을 보이자.

 

만약 $0$ 과 다른 $0'$ 이 존재하여, $\forall x \in V, x + 0 = x + 0' = x$ 가 된다고 가정하면,

 

$0 + 0' = 0 = 0'$ 이 벡터 공간의 정의에 의해 성립한다. 따라서 $0$ 은 유일하다.

 

Proof 3.

 

만약 어떤 $v \in V$ 에 대해, $v + x = v + y = 0$ 인 서로 다른 $x, y \in V$ 가 존재한다면,

 

$v + x = v + y$ 가 성립하므로 위의 1번 명제에 의해 $x = y$ 가 되어 모순

 

따라서 $v \in V$ 에 대해 $v + x = 0$ 인 $x \in V$ 는 유일하게 존재한다.

 

 

여기서, $0$ 을 $V$ 의 영벡터라고 부르고, $x \in V$ 에 대해 $x + y = 0$인 $y \in V$ 를 $V$ 에서 $x$ 에 대한 덧셈 역원이라고 한다. $x$ 의 덧셈 역원은 종종 $-x$ 라고 쓴다. 

 

이제, $V$ 의 영벡터와 어떤 원소의 덧셈 역원에 대해, 아래 세 가지 명제가 참임을 증명하자.

 

1. $\forall x \in V, 0x = 0$      2. $\forall a \in F, x \in V, (-a)x = -(ax) = a(-x)$      3. $\forall a \in F, a0 = 0$

 

Proof 1.

 

$0x + 0x= (0 + 0)x = 0x = 0x + 0$ 가 성립하므로, $0x = 0$

 

Proof 2.

 

$-(ax)$ 는 $ax + -(ax) = 0$ 가 성립하는 유일한 $V$ 의 원소이다.

 

그런데 $ax + (-a)x = (a + (-a))x = 0x = 0$ 이므로, $-(ax) = (-a)x$ 이다.

 

또, 여기서 $(-1)x = -x$ 가 되므로 $a(-x)= a((-1)x) = (a(-1))x = (-a)x$ 가 되어 주어진 명제가 참이다.

 

Proof 3.

 

$a0 + a0 = a(0 + 0) = a0 = a0 + 0$ 이므로 $a0 = 0$