선형대수학, 그 두 번째 이야기 | 벡터 공간의 기본적인 성질

벡터 공간이 반드시 만족하는 8개의 조건으로부터, 우리는 몇 가지 간단한 성질을 보일 수 있다.

 

1. $x,y,z\in V$ 이고, $x+z=y+z$ 이면 $x=y$      2. $\mathrm{\exists }!0\in Vs.t.\mathrm{\forall }x\in V,x+0=x$      3. $\mathrm{\forall }x\in V,\mathrm{\exists }!y\in Vs.t.x+y=0$

 

Proof 1.

 

벡터 공간의 정의에 의해, $\mathrm{\exists }v\in Vs.t.z+v=0$

 

$x=x+0=x+(z+v)=(x+z)+v=(y+z)+v=y+(z+v)=y+0=y$

 

등식의 시작과 끝을 보면, $x=y$ 가 성립한다.

 

Proof 2.

 

$0$ 이 존재함은 벡터 공간의 정의에 의해 보장되므로, 유일함을 보이자.

 

만약 $0$ 과 다른 $0^{\prime }$ 이 존재하여, $\mathrm{\forall }x\in V,x+0=x+0^{\prime }=x$ 가 된다고 가정하면,

 

$0+0^{\prime }=0=0^{\prime }$ 이 벡터 공간의 정의에 의해 성립한다. 따라서 $0$ 은 유일하다.

 

Proof 3.

 

만약 어떤 $v\in V$ 에 대해, $v+x=v+y=0$ 인 서로 다른 $x,y\in V$ 가 존재한다면,

 

$v+x=v+y$ 가 성립하므로 위의 1번 명제에 의해 $x=y$ 가 되어 모순

 

따라서 $v\in V$ 에 대해 $v+x=0$ 인 $x\in V$ 는 유일하게 존재한다.

 

 

여기서, $0$ 을 $V$ 의 영벡터라고 부르고, $x\in V$ 에 대해 $x+y=0$인 $y\in V$ 를 $V$ 에서 $x$ 에 대한 덧셈 역원이라고 한다. $x$ 의 덧셈 역원은 종종 $-x$ 라고 쓴다. 

 

이제, $V$ 의 영벡터와 어떤 원소의 덧셈 역원에 대해, 아래 세 가지 명제가 참임을 증명하자.

 

1. $\mathrm{\forall }x\in V,0x=0$      2. $\mathrm{\forall }a\in F,x\in V,(-a)x=-(ax)=a(-x)$      3. $\mathrm{\forall }a\in F,a0=0$

 

Proof 1.

 

$0x+0x=(0+0)x=0x=0x+0$ 가 성립하므로, $0x=0$

 

Proof 2.

 

$-(ax)$ 는 $ax+-(ax)=0$ 가 성립하는 유일한 $V$ 의 원소이다.

 

그런데 $ax+(-a)x=(a+(-a))x=0x=0$ 이므로, $-(ax)=(-a)x$ 이다.

 

또, 여기서 $(-1)x=-x$ 가 되므로 $a(-x)=a((-1)x)=(a(-1))x=(-a)x$ 가 되어 주어진 명제가 참이다.

 

Proof 3.

 

$a0+a0=a(0+0)=a0=a0+0$ 이므로 $a0=0$